книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

140 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3

а вектор b(t) определяется формулой

*(*) = (0, о,..., b(t)).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны между собой; именно, каждому решению y = ^(t) уравнения (1) соответствует решение

		* = ч > ( о = о к о . «		к о , ф4"-1»(0 )
уравнения	(2),	и наоборот,	каждому	решению		. . s
		■ « = ф ( 0 =	( ' Р 1 ( 0 ,	У (	0 .............? " ( 0 )
уравнения	(2)	соответствует	решение
			У =	<Р1	( О

уравнения (1), причем соответствие это взаимно однозначно. Если

решения	уравнения	(lj	и	q>(^)		уравнения (2)	соответствуют
в указанном смысле друг		другу,		то	мы будем писать
		К 0 ^ ф ( 0 -
Из эквивалентности уравнений			(1)		и	(2), в частности,	следует, что

любое решение уравнения (1) может быть продолжено па весь интер­

вал q i< ^ t < + 2 (см-

теорему 3), так что в дальнейшем

мы

будем

считать, что

каждое

рассматриваемое решение

уравнения

(1)

задано

на этом интервале и каждое рассматриваемое значение

t

принадле­

жит ему.

В первую очередь изучим однородноеуравнение

’

Пусть

У п) + М О У " " 1' +

•••+

«л (0у = 0.

(4)

X — А (() X

(5)

— соответствующая

ему

система

уравнений,

данная в

векторной

записи,

где матрица

A (t)

определяется

формулой

(3).

Б)

Пусть

М О .

«МО. ....

М О

(6)

— некоторая

система

решений уравнения

(4).Непосредственно

про*

вернется,

что

функция

.

«КО =

‘ 4 1 ( 0 +

••• +

‘ + ( 0 ,

где с1,

...

,

сг — константы,

является

решением

уравнения

(4). Си­

стема решений (6) называется линейно зависимой, если

существуют

такие константы с1,

..., сг,

не обращающиеся

одновременно в

нуль,

что

+ М 0 + ••• + с гМ О = о.

(7)

§ 18]	ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ п-го ПОРЯДКА	141
Оказывается, что	если
	<М0> •••> 4>г(0	(8)

— решения уравнения (5), соответствующие решениям (6):

Ф ;(0^Ф ;(0> / = 1 . ■■■> г

(см. А)), то решения (8) линейно зависимы (см. § 17, Б)) тогда и только тогда, когда линейно зависимы решения (6).

Докажем это. Допустим, что решения (6) линейно зависимы, т. е. имеет место соотношение (7). Выписывая соотношение (7) и те соот­ ношения, которые получаются из него путем дифференцирования, получаем:

с 'М О -Ь	•••	+	с'ФДО =	о,	■
c4 'i ( 0 +	•••	- f	(0 =	о,	/(П
...	- f	c V " _n(0 =		o. .
Принимая во внимание, что
<Fi(0 = (M0.	ф.СО, .... Ф/л-,,(0).
мы видим, что соотношения	(9)	в	векторной		записи имеют вид:
c'<Pi(0+	•••	-г ^ ф Д 0 =		0.	(и))

так что имеет место линейная зависимость и между решениями (8) Допустим, наоборот, что решения (8) линейно зависимы, т. е. что имеют место соотношения (10). Ставя в соотношение (10) вместо каждого вектора <рг(() его первую компоненту, получаем соотноше­ ние (7), так что решения (0) линейно зависимы.

В) Система решений

■МО....ыо (•')

уравнения (4) называется фундаментальной, если она линейно неза­

висима (обозначениями предусмотрено, что число решений					системы
(11)	равно порядку уравнения (4)).	Оказывается,	что	фундаменталь­
ные	системы решений уравнения (4)	существуют	и что	если	система

(П ) является фундаментальной, то каждое решение уравнения (4) может быть записано в виде:

ф(0 = с'ф1( 0 -U ... + 6 - 4 n(t),

где с1, ..., с" — константы. Из сказанного видно, что для нахожде­ ния всех решений уравнения (4) достаточно найти его фундаменталь­ ную систему решений. (Для линейного однородного уравнения с по­ стоянными коэффициентами фундаментальная система решений была построена в § 7, 8.) .

1 4 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Г л . 3

Покажем прежде всего, что фундаментальная система решений уравнения (4) существует. Для этого воспользуемся фактом сущест­ вования фундаментальной системы решений уравнения (5) (см. § 17, В)). Пусть

4>i(0. •••> фЛО

02)

— фундаментальная система решений уравнения (5) и пусть

М О . - " . М О

(13)

— соответствующие решениям (12) решения уравнения (4):

Ф,-(0 Фг (0>

1 — \ , ..., п

(см. А)). Так как решения (12) линейно независимы, то в силу Б) линейно независимы и решения (13), и потому они составляют фун­ даментальную систему. Допустим теперь, что система (11) является фундаментальной для уравнения (4) и пусть решения (12) соответ­ ствуют решениям (11). Пусть, далее, ty(t) — произвольное решение уравнения (4) и ф (t) — соответствующее ему решение уравнения (5). Так как система (11) по предположению фундаментальна, т. е. ли­ нейно независима, то соответствующая ей система (12) также линей­ но независима, т. е. фундаментальна. Таким образом, в силу предло­ жения В) § 17, получаем:

	<р(0 =	с,< р ,(0+		••• + <^фЛ0-
Заменяя в этом соотношении каждый					вектор	его первой	компонен­
той,	получаем:
	«К0 =	*,М 0 +		•••
Таким образом, предложение В) доказано.						решений (11)	уравнения
Г) Детерминантом		Вронского системы
(4)	называется детерминант:
		■МО • • w o
	W(t) =	4»i(0	•	•	4 ,(0
	W n~ " v )		•	•	(0

Если решения (12) уравнения (5) соответствуют решениям (11) (см. А)), то детерминант Вронского (см. § 17, Г)) системы решений (12) урав­ нения (5) совпадает с детерминантом (14); это видно непосредственно.

Таким образом, то, что верно для детерминанта									Вронского системы
(12),	верно	и для детерминанта				(14). Отсюда		в силу предложения Г)
§ 17	заключаем,			что детерминант (14) или			не обращается в нуль ни в
одной точке,			или	равен	нулю тождественно;			для того		чтобы система
решений (11)			была линейно независимой,				т. е.		фундаментальной,		не­
обходимо		и	достаточно,		чтобы	детерминант		(14) не		обращался	в

§ 181

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ п-то ПОРЯДКА

143

нуль. Из предложения Ж) § 17 следует формула Лнувилля для детерминанта (14):

t

- J «ICO*

W ( j ) = W ( U ) e

.

(15)

Она получается из формулы (16) § 17, если учесть, что след, т. е. сумма диагональных членов матрицы (3), равен — аг(2). Ниже, в при­ мере 2, будет дано более простое непосредственное доказательство формулы (15).

Д) Пусть

г<в>+ о1(0*(я-1,+				... ~j-а„(9*=&(9				(16)
— неоднородное уравнение		и пусть
У ЯЧ « 1 ( 9 У ',", , 4- ...					4-«»(9>' =		о	(17)
— соответствующее	ему	однородное			уравнение.		Из предложений
§ 6 непосредственно следует, что если					х#(9 есть частное решение
уравнения (16), то произвольное решение						уравнения (16) имеет		вид:
	* =		ф(0 + -/.о(0.
где ф ( 9 — решение	уравнения		(17).
Ме г о д в а р и а ц п и п о с т о я ин ы х
12) Пусть		'М0> •••>*,(О						О8)
— какая-либо фундаментальная				система		решений	уравнения	(17).
Тогда решение уравнения (16)			может быть получено в виде:
				•••	- и * ( о ы о ,			(19>
где функции		с'{1), .... г”(0						(20)
получаются как решения системы алгебраических уравнений:
<M0'c40-j- ... 4-«»(9ёя(9=о,
ф|(0с»(0Ч- ... 4-ФЛО с”(9= 0,								(2 1 )
<}\п- 2>(0С' (9 ■		. . 4 - ■			2)(0с"(9= 9.
“1(9с* (t) 4- ... 4-$ " ” (9с" (9= ь (9- I

144 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3

Так как детерминант системы уравнений (21) относительно неизвест­ ных величин (20) есть детерминант Вронского системы решений (18), то в силу предложения Г) он не обращается в нуль ни при одном значении t, и потому из системы уравнений (21) можно определить величины (20), а по ним определяются квадратурами и нужные нам функции

.... с"(0-

Доказательство предложения Е) вытекает из предложения 3) § 17. Можно также провести его и непосредственно. Сделаем эго. Предпо­ лагая, что на величины (20) наложены условия (21), мы получаем из формулы (19) путем дифференцирования следующие соотношения:

•г =	с‘ ( 0 М 0 ц - ...
г =	с1(*)<!>i ( 0 + ...	+ с " ( 0 ф п(0.
г <»-» =	с» (*)фр- “ (* )+	...	+ с » ( 0 < _1,(0.
■г(л)	(0 <]/,"> (0 + ...	+	с" (t) ф<л' (t) -\-
+ С1(0Ф,л~1) (0+		•■ •+ (0< " 1(0=

=С1(0Ф(л) (ОН- •••+ *“(0фГ(0Н-*(О-

Подставляя эти выражения в уравнение (16), получаем тождество. Таким образом, если функции с1(t), ..., cn(t) удовлетворяют соотно­ шениям (21), то функция (19) является решением уравнения (16).

Г1 р и ме р ы

1. Если известно нетривиальное (не равное тождественно пулю) решение ф(£) уравнения (4), то порядок этого уравнения можно снизить на единицу, т. е. свести его решение к решению линейного уравнения порядка п — 1. Для этого произведем замену

V =	ф (0 v,				(22)
где v — новая неизвестная функция. Мы покажем			сейчас,	что	резуль­
тат подстановки (22) в левую часть уравнения			(4) приводит нас к
уравнению
*o(0®l“, + *i(Ow(""1, + - " + * » - i( 0		* +	*-«)x» =	0	(23)
для v, причем	K ( t ) =	0 .
М 0 = ф(0>					(24)

Так как все наше исследование справедливо для уравнения w-ro порядка, коэффициент при и-й производной у которого равен едини­ це, то соотношение (23) приходится делить на *0(О = ф(О> и потому

1 8 ]

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ п-го ПОРЯДКА

145

сведение уравнения (4) к уравнению (23) имеет место лишь на таком интервале, где ф(0 не обращается в нуль. Полагая

M l

Ф(0

и заменяя неизвестную функцию v новой неизвестной функцией

			W — V,
мы приходим к уравнению
	w [n~l)		Л (t) w(n~2)		-f- i (t)w =	0
порядка п — 1. Е сли			имеется решение		i(t) этого уравнения, то ре­
шение г» уравнения		(23) получаем квадратурой:
			t, =	$X(0 dt■
а решение у	уравнения (4) получается				подстановкой	найденной функ­
ции v в (22).
Докажем,	что	подстановка		(22) приводит уравнение (4) к виду

(23), причем выполнены соотношения (24). Дифференцируя соотноше­ ния (22), получаем:

	y (k) =.		+ • • • I
где не выписаны члены, содержащие производные					от т\ порядков,
меньших	чем к. Из этого	следует,	что	уравнение (4)	принимает	вид
(23), причем b0(t) = ф (£).		Так как	<]>(f)	есть решение	уравнения	(4),
то т>=1	есть решение уравнения		(23).	Подставляя	решение г >=]

в(23), получаем bn(t)— 0. Таким образом, соотношения (24) доказаны.

2.Приведем доказательство формулы Лиувилля (15) для одного уравнения п-го порядка, не опирающееся на формулу Лиувилля для системы (см. формулу (16) § 17). При этом мы будем пользоваться

правилом дифференцирования		детерминанта, данным в § 17 (см. §	17,
Е)). В силу этого правила дифференцирования мы получаем из			(14):
&(о= т+• ••-I- щ(о+....+ w„(о,
где Wt (t) есть	определитель	Вронского W(t), в котором продиффе­
ренцирована l-я	строка. Если	1<^п, то в результате дифференциро­

вания /-й строки мы получаем строку, совпадающую с (t-j- 1)-й стро­ кой определителя W(t), и потому мы имеем:

Wl (t)= W ^(t) = . . . = W n_i (0 = 0.

При дифференцировании п-й строки мы получаем строку

г ;(о.---ечо.

которая в силу уравнения (4) является линейной комбинацией строк определителя W ((), причем л-я строка берется с коэффициентом

1 4 6 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3

— «i(0' В силу наличия в определителе W n(t) строк определителя Вронского с номерами 1, . . . , п — 1, эти строки в линейной комбина­ ции можно отбросить, и остается лишь я-я строка с коэффициентом

— a^{t). Таким образом, для определителя Вронского получаем диф­ ференциальное уравнение

W( t ) = — ay( i ) W( f ) .

Решая его, получаем формулу Лиувилля (15).

§19. Нормальная линейная однородная система

спериодическими коэффициентами

Среди линейных уравнений с переменными коэффициентами осо­ бенно важную роль играют уравнения с п е р и о д и ч е с к и м и коэф­ фициентами. Настоящий параграф посвящается изложению некоторых свойств нормальных линейных однородных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Из приводимых здесь свойств этих систем центральным является теорема Ляпунова. При­ веденное здесь доказательство теоремы Ляпунова менее элементарно,

чем	все предыдущее		изложение книги.			Оно	опирается на		м а т р и ч-
п о е	и с ч и с л е н и е ,		необходимые		сведения		из	которого	излагаются
в добавлении		II.
Пусть
				X = A ( t ) X					(1)
— нормальная		линейная		однородная		система		уравнений,	записанная
в матричной		форме	(см.	§ 17,	К)).	Мы будем предполагать, что

коэффициенты этой системы являются периодическими функциями

времени i с периодом т, т. е. матрица A (t) удовлетворяет	условию
Л (/ -L т) = Л (О-
А) Для всякого (матричного) решения
Х = Ф(0	(2)

уравнения (1) (см. § 17, К)) найдется такая постоянная (невырожден­ ная) матрица С, что

	Ф(i -(- т) == Ф(t) С.
Матрицу С мы будем	называть	основной	для решения	(2). Если
А	другое	решение	А	а С — его
A' = ct*(0 — какое-либо			уравнения (1),
основная матрица, то мы имеем:
	С = Р гЛСР,			(3)

где Q — некоторая невырожденная постоянная матрица.

5	191	СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	147
	Для	доказательства существования матрицы С заметим,	что, наря­
ду	с решением (2), решением уравнения (1) является и		матрица

Ф—)—х). В самом деле,

Ф(t + т) = A (t + т) Ф (t + т) = А (О Ф(t + х).
Таким образом, в силу формулы (27) § 17					имеем:
	Ф(* +	т) =	Ф(ОС,
где С — постоянная матрица.
Для доказательства формулы (3)			также		воспользуемся		формулой
(27) § 17. Так как	Ф(2) есть решение уравнения (1),					то в	силу упо­
мянутой формулы	имеем:
	Ф(<) = Ф 0) А
Отсюда
Ф (t -f. х) = Ф(t + т) р =			Ф (О СР = Ф (О Р~ХСР,
что и дает соотношение (3).
Б) Уравнение (1) и уравнение
	Y =	B ® Y					(4)
с периодической матрицей В (t) того же				периода т,		что	и матрица
A (t), называются эквивалентными,			если	существует		линейное пре­
образование	Y — S (t)X
(см. § 17, Л)) с периодической		матрицей		S(t) периода т,			переводя­
щее уравнение (1)	в уравнение	(4).	Оказывается, что			уравнения (1)

и (4) тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют решения

А' = Ф(<) и Д = Ф ( 0 этих [уравнений

с

одной

и

той же

основной

матрицей.

Докажем это утверждение. Допустим

сначала,

что

уравнения (1)

и (4) эквивалентны. Пусть

Х =

Ф(1) — произвольное

решение

урав­

нения (1) с основной матрицей

С; тогда

У= W (t) =

S(Q Ф(0

есть

решение уравнения

(4), и

мы имеем:

Ф(* +

т)= 5(* +

т)Ф(* +

т)=

5(ОФ(<-Ь-) = 5(ОФ(ОС=Ч*(/)С.

Таким

образом,

основная матрица С решения Ф(<)

является основной

и для решения

(t).

Допустим теперь, что существуют решения X =

Ф(0 и

У— Ф* (()

уравнений (1) и (4) с одной и той же

основной

матрицей

С;

тогда

мы имеем:

, ф (/ -f - ) = ф(о с,

w (t -]- -.)= чг (о с . ,

148 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3

Деля второе из этих соотношений справа на первое, получаем:

ЦТ (t -f- т) Ф 1 (t -j- т) = Ч‘ (О Ф"1(О-

Таким образом, матрица

S(t) = W(t) Ф-1 (О

является периодической с периодом т, и мы имеем:

=

(5)

Так как каждое из решений Ф(0 и ЧГ(^) однозначно определяет свое уравнение (см. § 17, Д)), то из (5) следует, что уравнение (4) полу­ чается из уравнения (1) путем преобразования с матрицей S(t).

Как видно из предложений А) и Б), каждому уравнению вида (1), рассматриваемому с точностью до эквивалентности (см. Б)), соответ­ ствует матрица С, определенная с точностью до трансформации (см. (3)). Более того, совокупность всех инвариантов матрицы С

относительно	преобразований		вида	(3)	составляет п о л н у ю	си­
с т е м у и н в а р и а н т о в		уравнения		(1),	определенного с точностью
до эквивалентности.
Следует	заметить, что	все	сказанное		в предложениях А)	и Б)

верно как в случае, когда рассматриваются только действительные

матрицы,	так	и в случае, когда рассматриваются комплексные			мат­
рицы. В	нижеследующей важной теореме Ляпунова (теорема				12)
мы будем	различать		действительный и	комплексный случаи.
Т е о р е м а		12.	Всякое уравнение	(1) эквивалентно (см.	Б))
уравнению			Y — BY,

где В — постоянная матрица. (Матрица В, вообще говоря, комп­ лексна.) Если в уравнении (1) матрица A (t) периода т действи­ тельна, то это уравнение, рассматриваемое как периодическое, с периодом 2т, эквивалентно уравнению

Y — B\Y,

где матрица В, постоянна и действительна, причем матрица

перехода S(t) от уравнения (/) к уравнению Y — B{Y также дейст­ вительна.

Доказательству теоремы 12 предпошлем следующее предложение. В) Пусть

Y = B Y

(6)

— система линейных однородных уравнений с постоянными коэффи­ циентами, записанная в матричной форме. Матрица В здесь постоянна. Оказывается, что матрица

Y = e tB

(7 )

(см. § 35, Г)) является решением уравнения (6).

§ 191

СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

149

Для доказательства того, что (7) есть решение уравнения (6),

выпишем функцию еш в явном виде.

Мы имеем:

etB =

E -\-tB +

+

•

• •

Отсюда

для

производной

е,в

получаем:

-& е,в = B [E + i B + r _ Bi + . . . ) =

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы

12.

Пусть С — основная матрица

некоторого

решения Х — Ф ф уравнения

(1).

В силу

предложения

Г) § 35 существует

матрица

В,

удовлетворяющая условию

а

II

Докажем, что

уравнения (1)

и

1

Y — BY

(8)

эквивалентны.

Действительно,

в

силу

предложения

В)

матрица

Y — e,n

является

решением

уравнения

(8).

Таким

образом, если

уравнение (8) рассматривать как уравнение с периодическими коэф­

фициентами с периодом т, то основная			матрица решения			Y = е1В
есть С, именно (см. формулу	(20) § 35):
е Ц+ т) В _ _ e t В^т В —			e t RQ'
Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнения (1)
п уравнения (8) совпадают, то эти уравнения				эквивалентны		(см. Б)).
Таким образом, первая часть теоремы			12	доказана.		Ф (^)—
Будем считать теперь, что	A (t) — действительная матрица,
— некоторое действительное	решение уравнения (1) и				С — основная
матрица этого решения, так что
Ф(* +		т) = Ф (ОС.				(9)
Так как Ф (t) — действительная		матрица, то С — также			действительная
матрица. Из (9) следует, что
Ф(*-|_2т) = Ф(* + ‘с)С = Ф (0 С * .						(Ю)
В силу предложения Г) § 35 существует			действительная матрица Bt,
удовлетворяющая условию						^
	Скв 1==с*.
Докажем, что уравнение (1) и		уравнение
	У=ВуУ ,					(П )