книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

220 УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. S

ч е с к о е рассмотрение регулятора.	В действительности мы имеем здесь
д и н а м и ч е с к о е явление. Масса	т, находясь под воздействием

силы (5), совершает движение, описываемое дифференциальным урав­ нением. Кроме силы (5), на массу т действует при ее движении сила трения в сочленениях шарниров. Сила эта весьма сложным образом зависит от происходящего движения. Существенно упрощая имеющуюся здесь сложность, мы будем считать, что сила трения пропорциональна скорости ф движения массы т и имеет знак, противоположный этой скорости, т. е. имеет величину

— Ь$,

где Ъ— постоянная. Таким образом, если принять ср за координату, определяющую положение массы /я, то мы получим для ср дифферен­ циальное уравнение:

тЦ = mb'1sin ср cos ср — mg sin ср — £ср.

(7)

(Расчет силы (5) проведен здесь в предположении, что 0 и ср посто­ янны. При меняющихся 0 и ср возникают добавочные силы, которые, однако, уравновешиваются реакциями стержней и шарниров, заставля­ ющих стержни двигаться в одной плоскости. Таким образок, уравне­ ние (7) оказывается справедливым.)

Паровая машина представляет собой маховое колесо с моментом инерции J, приводимое во вращательное движение силой пара и спо­ собное совершать полезную работу, например поднимать клеть из шахты. Дифференциальное уравнение паровой машины может быть, таким образом, записано в виде:

		Уш = Рх— Р,	(8)
где с» — угловая	скорость	вращения маховика,	Я, — момент силы
действия пара,	Р — момент	силы воздействия	на маховик тяжести

клети. Момент силы воздействия пара Рх зависит от того, насколько

приоткрыта заслонка, подающая			пар	в цилиндры		паровой	машины,
а	момент Р зависит от загруженности клети.
	Центробежный	регулятор присоединяется			к	паровой	машине
с	целью поддержать равномерность ее хода.				Он	«измеряет» ско­
рость вращения		махового колеса	ги,	если она	оказывается		слишком

большой, уменьшает подачу пара, а если она оказывается слишком малой — увеличивает подачу пара. Для осуществления этой цели махо­

вое колесо паровой машины связывается при помощи					зубчатой	пере­
дачи с вертикальным		стержнем регулятора (рис.		41),	так что	между
угловыми	скоростями	со и 0 возникает постоянная		связь:
		0 = яш,				(9)
где я — так называемое переда точное число.			Таково в о з д е й с т в и е
ма ши н ы	на р е г у л я т о р , в результате		которого		осуществляется

§ 2 7 ] ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР 2 2 1

измерение скорости вращения маховика. С другой стороны, муфта М

регулятора связана

с заслонкой, подающей пар, так что

Рх — Fx-f- k (cos cp — cos cp*),

(10)

где

— некоторое

«среднее»

значение

cp, вблизи

которого

должно

поддерживаться

значение

регулируемой

величины

<р,

— значение

силы воздействия пара Рх при

ср =

ср*,

а

— постоянный коэф­

фициент

пропорциональности.

Как

видно из (10), о б р а т н о е

в о з д е й с т в и е

р е г у л я т о р а

н а

п а р о в у ю

м а ш и н у

осуществляется

таким

образом,

что при

увеличении угла

ср

подача

пара (а

вместе

с ней и

сила

воздействия

пара Pj) уменьшается. В результате описанных взаимодействий маши­ ны и регулятора, последний, казалось бы, полностью осуществляет поставленную перед ним задачу, увеличивая подачу пара при умень­ шении скорости вращения маховика и уменьшая подачу пара при

увеличении скорости. В связи с этим естественно ожидать,	что ско­
рость вращения маховика будет стабилизироваться. Это и	наблюда­
лось в паровых машинах, строившихся до середины XIX	столетия.

Для того чтобы выяснить причины начавшего наблюдаться после середи­

ны

XIX

столетия

нарушения

работы

регулятора,

необходимо было

точно изучить

д и н а м и к у

работы

системы

машина — регулятор и

исследовать ее устойчивость,

что

и было сделано

Вышнеградским.

Как

видно

из

соотношений

(7) — (10),

система

машина — регу­

лятор описывается

двумя дифференциальными

уравнениями:

то =

//гя9or sin cp cos cp — mg sin cp — £<p,

J<h — k cos cp — F,

где F =

P — F, -\-k cos cp* — величина,

зависящая от нагрузки. Первое

из

этих

уранений

имеет

второй

порядок.

Для приведения

системы

к нормальному виду

введем

новое

переменное ф,

положив:

6 =

&.

Тогда система

( 11)

запишется

в нормальной

форме:

&=

ср,

Ср=

лг(й4 Sill cp COS ср — g Sin cp — ~ ср,

( 12)

k

F

(0 ==7

c o s c p - 7 .

Правильная

работа

паровой

машины

заключается в том, что

угловая

скорость

со вращения ее

маховика

остается

постоянной при

неизменной нагрузке Р, т. е. при

постоянном

F,

а заслонка, подаю­

щая

пар,

неподвижна.

Последнее

означает,

что

угол ср

остается

2 2 2 УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл S

неизменным. Таким образом, речь идет об отыскании такого решения системы ( 12), которое имеет вид:

<р= ср0) 1[)= 0, ш = «о,

т. е. об отыскании положения равновесия этой системы. Задача заклю­ чается в том, чтобы, найдя положение равновесия системы ( 12), иссле­

довать его устойчивость.
Приравнивая	нулю правые		части соотношений (12) и решая
получающиеся уравнения,		найдем координаты		положения равновесия:
			— О,
			F
		COS 9o = J>		(13)
			g
			coscp0 •
Положим:
ср—	—Ц Дер,	б —	фо—[— Дф, ш —	(л)^—{— Дш.

В результате такой замены и линеаризации уравнений (12), мы получаем систему:

Дэ = Д({),

А6 — Л® cos 2ср0Дср -f- /г4«)0 sin 2ср0Аш — g cos 9„Дср — - Дф,

ДО) =	— j	sin ср0Дер.
Подставляя		во второе		из	этих	уравнений	значение величины
rPw'l из (13),	получаем после			простых		вычислений:
	Дф:		g sin-<р0			■2g sin	До).
			COS (р0 д ?
					— й	■

Характеристический многочлен полученной линейной системы уравне­ ний для Дер, Дф, А») равен:

	■Р	1	О
		Ь _	2g sin	?0
D(p)-	g sir»a?0
	cos ?0	т ^	м0	>
	k .	О	- р
	-у Sin <P*

или, после вычисления определителя и умножения на — 1,

b p +	J*0
COS <p0

Все коэффициенты этого многочлена положительны, и потому необ­ ходимым и достаточным условием его устойчивости является (в силу

§ 27 1 ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР 223

теоремы 6) выполнение неравенства

		Ъ	g sin2 у,,		^	t	2kg sin2 tp0
		т	cos tp0		^			Уш0
или,	иначе, неравенства		bJ ^	Ik		cos cp„		2F
											(14)
			m			ш0		ш0
(cm. (13)). Соотношение (14) представляет собой, в силу											теоремы
Ляпунова (теорема 19), д о с т а т о ч н о е								у с л о в и е у с т о й ч и в о с т и
системы машина — регулятор.									последнего нера­
Для того чтобы выяснить смысл правой части
венства, введем		играющее важную					роль в технике		понятие		неравно­
мерности хода паровой машины.							Из соотношений (13)			видно, что
при	изменении	величины	F =	P — /•)-)- k cos 9* (т. е. при						изменении
нагрузки Р) меняется стабильная скорость и>0. Величина											харак­
теризует скорость изменения				величины				ш0 при изменении нагрузки Ру
ее абсолютная		величина	v:	d<*о		(как		мы сейчас	увидим,		производ­
				dP
ная	отрицательна) и		называется неравномерностью хода паро­
вой	машины. Мы имеем в силу (13):

Fu>l = const,

и потому, дифференцируя, получаем:

d<*о	“о
dp —	2Г

Таким образом,

__ “о v — 2F’

и условие устойчивости (14) переписывается окончательно в виде:

(’5)

Из формулы (15) Вышнеградским были сделаны следующие выводы:

1. Увеличение массы т шаров вредно влияет на устойчивость.

2.Уменьшение коэффициента трения b вредно влияет на устой­ чивость.

3.Уменьшение моментов инерции J маховика вредно влияет на

устойчивость.

4. Уменьшение неравномерности v вредно влияет на устойчивость. Чтобы сделать свои выводы доступными для инженеров и при­ влечь внимание к наиболее важным из них, Вышнеградский формули­

рует в конце работы свои знаменитые «тезисы».

2 2 4	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 3
П е р в ы й	тез ис : Катаракт (трение)	есть существенная принад­

лежность чувствительного и правильно действующего регулятора, короче: «без катаракта нет регулятора».

В т о р о й	тез ис :	астатические	регуляторы (т. е. регуляторы
с нулевой неравномерностью) даже			и с катарактом не должны быть
употребляемы, короче: «без неравномерности нет регулятора».
Нарушения	работы	регуляторов	в середине XIX столетия объяс­

няются тем, что благодаря развитию техники все четыре величины, входящие в соотношение (15), стали изменяться в направлении, ухуд­ шающем устойчивость. Именно, ввиду увеличения веса заслонок (связанного с возрастанием мощности машин) стали применяться все более тяжелые шары. Совершенствование обработки поверхностей деталей приводило к уменьшению трения. Увеличение рабочей ско­ рости машин сделало необходимым уменьшение момента инерции J маховика. Наконец, стремление уменьшить зависимость скорости от нагрузки приводило к уменьшению неравномерности хода.

Уяснив неблагоприятное влияние всех указанных факторов, Вышне­ градский в своих тезисах рекомендует искусственное увеличение тре­ ния (при помощи специального устройства — катаракта) и увеличение неравномерности хода (за счет изменения чисел п и k, зависящих от конструкции машины).

§28. Предельные циклы

Вэтом параграфе будет определено и до некоторой степени изу­

чено	понятие п р	е д е л ь н о г о цикла , введенное великим француз­
ским	математиком	Пуанкаре, а также дан один критерий, позволяющий

в некоторых случаях установить существование предельного цикла. Понятие предельного цикла играет важнейшую роль как в самой теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в ее при­

ложениях		к технике.
Мы	будем		рассматривать		нормальную автономную (см.	§	15)
систему	уравнений
							О)
правые	части		которых	определены и имеют непрерывные частные
		dfi			открытом множестве Д фазового		про-
производные ~ на некотором
странства		R	переменных х 1,		..., х п. Мы будем пользоваться	также
векторной		записью этой		системы:
					к — f{x).		(2)

Все наиболее существенные построения этого параграфа будут отно­

ситься к	случаю п = 2. Чтобы подчеркнуть двумерность, мы будем
говорить	о ф а з о в о й п л о с к о с т и Р системы (1), а не о ее фазо­

$ 281

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

225

вом пространстве R. При рассмотрении фазовой плоскости будут играть существенную роль геометрические построения, обладаю­ щие большой наглядностью. Случай, когда открытое множество Д совпадает со всей фазовой плоскостью Р, отнюдь не является три­ виальным, и для простоты можно сосредоточить все внимание на нем.

П р е д е л ь н ы й ц и к л и п о в е д е н и е т р а е к т о р и й

в б л и з и

не г о

Предельным

циклом

уравнения

(2) (п =

2)

называется изолиро­

ванное периодическое

решение

этого уравнения.

Более

полно,

пусть

х = ф (t) — периодическое

решение

уравнения

(2) и К — описываемая

этим

решением

замкнутая

кривая в

плоскости Р. Решение x =

<p(t)

(а также

траектория

К)

считается

изолированным периодическим

решением

и

называется

предельным

циклом,

если существует такое

положительное число р, что, какова

бы ни была точка |

плоскости Р,

находящаяся

от

кривой

К на

положительном

расстоянии, меньшем

чем р, решение уравнения (2), проходящее через точку

не является

периодическим.

фазовой

картине

урав­

Сказанное означает геометрически, что в

нения

(2)

на

плоскости

Р вблизи

замкнутой

траектории К не

про­

ходит других замкнутых траекторий этого уравнения. Вопрос о том,

как ведут		себя траектории уравнения (2) Еблизи предельного цикла К ,
решается		следующей			теоремой.
Т е о р е м а			20.	Пусть x — <p(t) — предельный цикл уравнения (2)
(п =	2) и К — замкнутая					траектория, описываемая этим реше­
нием	на	плоскости			Р. Замкнутая кривая, как известно, разби­
вает	плоскость			на	две	области: в н у т р е н н ю ю	и вне шнюю,
а так как			траектории			уравнения (2) не могут	между собой,

пересекаться, то каждая отличная от К траектория является внутренней или внешней по отношению к траектории К. Оказы­ вается, что как для внешних, так и для внутренних траекто­ рий имеются две взаимно исключающие друг друга возможности

поведения	вблизи К.	Именно, все внутренние траектории, начи­
нающиеся	вблизи К,	наматываются на К, как спирали, либо при
f-> -j-o o	(рис. 43, а),	либо при	£->- — оо (рис. 43,(5).	То же самое
имеет место и для		внешних	траекторий (рис. 43,	а, б).

Если все траектории (как внешние, так и внутренние), начинаю­ щиеся вблизи К, наматываются на К при £-*--|-оо, то предельный

цикл называется устойчивым (рис. 43,		а). Если все траектории, начи­
нающиеся	вблизи К, наматываются на	К при t —>■— оо, то предель­
ный цикл	К называется вполне неустойчивым (рис. 43, б), в двух

других случаях (т. е. если внутренние траектории наматываются на К при — оо, а внешние — при £-»--j-co, или наоборот) предельный цикл К называется полуустойчивым (рис. 43, в).

8 Поитрягин Л. С.

226

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

Как само доказательство теоремы 20, так и более полное описа­ ние «наматывания» траекторий на предельный цикл опираются на понятие функции последования. Эта функция имеет наглядный гео­ метрический смысл и без детального доказательства ее свойств может быть описана сравнительно коротко.

Дадим это описание. Пусть К — замкнутая кривая на фазовой пло­ скости Р, соответствующая периодическому решению с периодом т.

					Рис. 43.
Пусть, далее,		L — прямолинейный отрезок				в плоскости Р,	пересекаю­
щий	кривую	К,	не	касаясь	ее, в единственной точке а,		внутренней
для	отрезка	L.	На	отрезке	L (точнее, на	прямой, содержащей этот

отрезок) обычным образом введем числовую координату. Координату

точки	а обозначим через и0. Через точку р отрезка			L с	координа­
той и	проведем траекторию уравнения (2)	и будем	двигаться по ней
в направлении возрастания времени t.
Геометрически ясно, что если точка р		близка	к а,	то	мы будем

двигаться вблизи кривой К, и потому вновь и вновь будем встречать

отрезок L.	Первая встреча	произойдет через время,	близкое к т,
в некоторой	точке q (рис.	44), координату которой	мы обозначим

i Ml

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

227

через у, (п).

Точно так же, если

мы

будем двигаться из

точки р по

траектории

в

направлении

убывания

времени,

то через

время, близ­

кое к т, мы впервые встретим отрезок L в некоторой точке г, коор­

динату

которой

обозначим

через

(гг). Обе функции у х

и н е п р е ­

рывны

и

взаимно

обратны,

т.

е.

У .

(«)) =

">

Уд (У. 1(»)) =

»•

Действительно,

если

двигаться

из точки q в направлении убывания

времени,

го

мы

впервые

встретим

отрезок L

в точке

р, так чю

У. | (У-i (и)) = и. Точно гак же, при дви­

жении

из

точки г

в

направлении

воз­

растания времени мы впервые встре­

тим

отрезок

L

в

точке р,

т.

е.

у, (у , („)) =

и. Функция

у — /л

назы­

вается функцией последования; для

дальнейшего

существенно,

что она не­

прерывна и имеет непрерывную обрат­

ную функцию х"1 — Х-н

функции

у

п

у 1

В

действительности

имеют

непрерывные

производные

(см. В)),

но

эго

их

свойство

не

будет

использовано при доказательстве тео­

ремы 20.

здесь

геометрические

Приведенные

соображения

наглядно достаточно

убе­

дительны. Читатель, склонный удовольствоваться ими, может озна­

комиться	с доказательством теоремы 20, не	читая предложений Л)
и Б), в	которых существование и свойства	функции последования

доказываются строго.

Л) Обозначим через ср(*, £) решение уравнения (2) с начальными

значениями		0, §. Пусть	L — прямолинейный		отрезок на фазовой пло­
скости	Р уравнения (2),		на	котором введена числовая координата v,
так что	в	параметрической		форме отрезок	задается линейным урав­
нением:				x = s(v).

Допустим, что траектория сp(t, £„) пересекает отрезок L в его внут­

ренней	точке	а с	координатой		т>0 в момент	времени	/0, так	что
				ф ((о.	I»)= ё (vo)>
причем	траектория		<р (t,	| 0) в момент времени		не касается		отрезка L.
Существуют		тогда такие положительные числа 3					и г, что:		1) при
| | — |„ |< ^ 8		определены		непрерывные функции t (|)			и г»(|),		удовлет­
воряющие условиям
ф (':!).	5) =	£'(п !));			v (Ы =	ч;
8 '

228

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 3

2)

имеет

место

единственность;

именно,

если

при

11 — | 0; <^ 3,

I*— Ci <Cs имеет место

равенство

ф(*>

I ) — £•(*») =

0,

(4)

то

величины

|,

(,

v

удовлетворяют условиям:

t =

t( |),

v = v(l).

(5)

в

Сказанное

означает

геометрически,

что

траектория,

выходящая

момент времени t = 0

из

точки

|,

близкой

к

§,„ пересекает отре-

80К L в точке с координатой х>(|), близкой

к

v 0,

в

момент

вре­

мени

£(!), близкий

к /п, причем пересечение

это

является

единствен­

ным

на

некотором

интервале

времени

11— ^ 1<Се> а Функции

f(jj)

и г>(|) непрерывны.

ф (t,

Следует

заметить,

что траектория

| 0)

может

пересекать

от­

резок

L

не только

в момент

времени t0,

но

и в

некоторый

другой

момент

времени t b

причем

точка

пересечения

может даже

совпасть

с

а

(этот случай

имеет

место, если

ф (t,

| 0) — периодическое реше­

ние), но функция t{%) (а возможно

и

т/(|)), получаемая из рассмотре­

ния

пересечения

в

момент

времени

t b

будет,

очевидно,

отличаться

от функции, получаемой из рассмотрения пересечения

в

момент

вре­

мени

t0.

предложения А)

почти

непосредственно вытекает

Доказательство

из теоремы

о

неявных

функциях

(см. §

33),

примененной

к

уравне­

нию

(4),

в котором

|

считается

независимой

переменной

величиной,

a

t

и v — ее неявными

функциями.

При

| =

| 0

уравнение (4) имеет

очевидное решение

t

— t0, v — v0. Для доказательства того, что функ­

циональный определитель левой части уравнения

(4) отличен ог

нуля

в

точке

(|„,

tQ,

w0),

запишем уравнение (4) в скалярной форме:

Ю — §*(?) =

°>

i = l , 2 .

(6)

Производные

от

левых

частей

этих

соотношений

по (

в точке

(1 о> *о. г»о) Дают компоненты

вектора

ф^о,

§0);

производные от левых

частей этих соотношений по v в той же точке дают компоненты

вектора---- '' •	Векторы эти		линейно независимы,			так	как тра­
ектория ф (t,	§0)	в момент t0 не касается		отрезка		L.	Следовательно,
функциональный определитель системы (6)				отличен		от нуля		в точке
( |0, £0, яц0). Таким		образом,	теорема о неявных функциях к					уравне­
нию (4) применима, и существует его непрерывное решение t								(§), v (|),
определенное	на некоторой окрестности 11 —				I <С а и обращающееся
в U, г>0 при |	= 1о-
В силу второй части теоремы существования неявных функций,
найдется такая окрестность			U точки ( |а, £0, v0)		в пространстве пере­

менных |, t, v, что всякая точка (§, t, v) из этой окрестности, удов­ летворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнениям (5).

§ 2 8 ]					ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ						229
В отличие от того, что содержится в формулировке предложения
А), эта единственность, в силу теоремы 27, имеет									место, когда малы
не только			величины		| | — | 0 1 и 11— tn|,		но	также	величина | ® — ©0 ].
Для	того,		чтобы	доказать		единственность		при малости		только двух
первых		из	указанных величин, покажем,				что если		эти	две	величины
малы	и	точка		(|,	t, v)	удовлетворяет	условию		(4),	то	величина

|© — ©01 также

мала.

Окрестность

U, в

которой

имеет

место

един­

ственность

в

силу теоремы

27, можно

задать

неравенствами

I I — !„ ] < о а,

11 — t 0 I < 8,

I О — «о Ю -

Из предложения Г) § 23 следует, что при достаточно малом

8 на

всем

интервале

времени

11— 10|<^е

имеет

место

неравенство

I ф (^>

1) — Ф (*>

So) I <С 7>

где

Т — наперед заданное малое число. Таким

образом,

точка

пересечения

траектории

<р (t,

|)

с

отрезком L

при

| | — |„ |

8,

11 — tn]<^е

лежит

тем

ближе

к

отрезку

траектории

Ф (t>

go) (| t — £ft I <C £)>

,,ем меньше

8, и

потому

малость

координаты т>

этого пересечения обеспечивается достаточной малостью числа 8.

Таким образом, предложение А) доказано.

Б) Пусть

qi(t, |)

— решение уравнения (2)

с начальными

значени­

ями 0, |; пусть,

далее,

ф(7, а ) — периодическое решение с периодом х,

К — замкнутая кривая на фазовой плоскости Р,

соответствующая реше­

нию q>(t,

а),

и

L — прямолинейный

отрезок,

пересекающий кривую К

без

касания

в единственной точке а, лежащей

внутри

него.

На

отрезке L введем числовую координату,

так

что х — g ( p )

есть

пара­

метрическое

уравнение

отрезка L,

заданное

при

помощи

этой

коор­

динаты, и пусть

v =

un — координата

точки а.

Оказывается,

что

при

достаточно

малом

а ^ > 0

траектория

<р (t,

g(t/)) —

q>(t,

и),

где

|н — п0 |<^а,

пересекает отрезок L как при

положительных

значе­

ниях

t, так

и при

отрицательных

его

значениях.

Обозначим

через

tx (и) минимальное положительное значение t,

при

котором

траекто­

рия (р (t,

и)

пересекается

с

L, и через

у, (н) — координату этой точки

пересечения на отрезке L. Точно так же обозначим через t_, (и) минимальное по модулю отрицательное значение t, при котором тра­

ектория ф (t, и) пересекается с I, и через			(и) — координату этой
точки пересечения на отрезке L.		Оказывается, далее, что если а доста­
точно мало, то при | и — Ho|<Ca все четыре			построенные функции
*i(H).	Xi OO.	t-Л"),	X-i(")
непрерывны и удовлетворяют условиям
^(но) = т> Xt(Mo) =	«o>	t-t(un) —	— т, x-t ("(>) = «<»•

Кроме того, функции yt и

взаимно обратны при достаточно