книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

2 0 0

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

теоремы анализа (см. § 33, пример 2), следует существование функ­ ции W, для которой выполнено соотношение (12).

Если нам известны некоторые первые интегралы системы (1), то тем самым решение системы (1) облегчается. Точно это обстоятель­ ство формулируется в нижеследующем предложении:

Г) Пусть

иш (х)........ ип (х)	(13)
— система из п — k независимых в точке а	(см. Б)) первых инте­

гралов автономной системы уравнений (1). Пользуясь функциями (13), можно понизить порядок системы уравнений (1) на п — к единиц, т. е. заменить ее автономной системой порядка k; в частности, когда имеется максимальное число п — 1 независимых первых интегралов, порядок автономной системы (1) можно свести до первого и, следо­ вательно (см. § 2, пример 1), решить ее в квадратурах.

Докажем предложение Г). Так как первые интегралы (13) незави­

симы, то в функциональной матрице
jdu‘ (а)'	i =	1, ....	Щj = 1........п,
v w r

имеется квадратная матрица порядка п — k с отличным от нуля де­ терминантом. Будем считать для определенности, что отличен от нуля детерминант матрицы

	ди1(а)		U j ■— k - f - 1, ...,	п.
	, дх!	,
	Пользуясь этим, введем		в окрестности точки	а новые координаты

вместо прежних

положив

у ' = х \ ..

	У ......... У
	х *
	S* 9 . . . у х",
	•
ч II	+	JI
	йг

(14)

... , у = „»(*). (15)

Этими формулами действительно вводятся новые координаты у ‘, ..., у п, так как функциональный определитель системы соотношений (16) отличен от нуля в окрестности точки а (см. § 33). В повой системе переменных (14) система (1) примет вид:

	У = 8 1(у\		Уп),	1 = 1 , . . . , «•	(16)
Но так как	каждая	функция	(13) удовлетворяет условию (3), то мы
будем иметь	при i =	k - )—1,	п:
	= г>и‘ (х 1>		х п).	y * $ V w = o .

§ 25]			ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ				201
Таким	образом,
			/ +,Су) = о...... g" (у) = о.
Ввиду этого		система (16) фактически оказывается				автономной систе­
мой порядка		k.
Л и н е й н о е у р а в н е н и е в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х
			п е р в о г о п о р я д к а
Соотношение (3) можно рассматривать					как уравнение в частных
производных			относительно	неизвестной	функции	и (jc) переменных
х 1, ...,	х п.	В	предложениях	Б) и В) установлено,		что при f ( a) ф О
в окрестности			точки а существуют п — 1		независимых решений этого
уравнения и что, имея п — 1				независимых	решений	его, можно полу­
чить всякое другое при помощи формулы (12). При							этом ясно, что
всякая	функция, задаваемая			формулой (12), является			решением урав­

нения (3). В этом смысле можно считать, что уравнение (3) р е ше н о ; именно, показано, что, умея решать систему (1), мы тем самым умеем решать и уравнение (3). Можно, однако, подойти к решению урав­ нения (3) с другой точки зрения, а именно можно поставить и решить краевую задачу для уравнения (3) и даже для уравнения, более общего чем (3).

Д) Пусть

			П
		2 1/ , ( х ) £				= /?( л :’ н)		(17)
— уравнение	в частных		производных относительно неизвестной					функ­
ции и (х), где		F (х, и) — некоторая заданная					функция, имеющая не­
прерывные производные			первого		порядка по всем своим аргументам.
Пусть, далее,
			* = !(**........ t " -1)					( 1 8 )
■— заданная	в	векторной		форме	параметрическая запись некоторой
поверхности	размерности			п — 1,		проходящей	через точку	а при
£* = ... = tn~l =		0, так	что
				| ( 0, ...,		0) = а.

Мы будем предполагать, что поверхность (18) дифференцируема и в

точке а	не касается	вектора /(а ), т.		е. векторы
	<1 1 ( 0 .......0 )		<1 1 ( 0 .........0 )
		d t 1	’ ‘ ’	d t n~l	’ 1 w
линейно	независимы.	Пусть,	наконец,

....

( 2 0 )

2 0 2			ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ			[Гл. 4
—	некоторая	функция,		заданная на поверхности		(18). Оказывается,
что	в окрестности		точки	а существует,	и притом единственное, реше­
ние и( х) уравнения			(17),	совпадающее	на поверхности (18) с заданной
функцией (20),		так	что

..., ?-')) = щ( Р, ..., Г 1).

Для нахождения решения и (л;) используются траектории системы (1),

начинающиеся	на поверхности (18). Эти траектории называются х а р а к ­
т е р и с т и к а м и	уравнения (17).
Докажем предложение Д). Для этого введем в окрестности точки а
фазового пространства			системы		( 1) новые координаты вместо коорди­
нат х 1, ..., х п. Пусть			х —		t l, .	tn~l) — решение уравнения (2),
начинающееся в точке §(£*, •••>					^я-1)	поверхности (18), т. е. решение
с начальными	значениями 0,			|( i \	...,	<пм).
Мы имеем тогда		систему		соотношений
	x l =	f ‘ (t, t \		..., tn~l ),		/ = 1,	и,	(21)

правые части которых имеют непрерывные частные производные по переменным t, t l, ..., tn~x (см. теорему 17). Если считать в ней не­ известными величинами переменные

	t n- \	(22)
то система эта при х = а	имеет очевидное	решение
t =	t l = . . . = tn~1=	0,

и функциональный определитель ее не обращается в нуль в этой

точке,

как это следует из линейной независимости

векторов (19).

В самом деле, ф (0,

£*, ...,. tn~J) — § (£*, ..., t n~x), и потому частная

производная

ф (0, ...,

0)

равна

(0, . . . , 0); далее, ~ ф (0, ... , 0) =

= / ( а ) . Таким

образом,

система

соотношений (21)

дает возможность

ввести

в некоторой

окрестности

точки

а

вместо координат ::1,

х п

новые

координаты

(22)

(см.

§ 33). В этих новых

координатах

урав­

нение

(17) записывается особенно просто,

и легко может быть решена

поставленная в предложении Д)

краевая

задача. Пусть п ( х ) — неко­

торая

функция, определенная в окрестности

точки а. Подставим в ней

вместо

переменных

X х,

... ,

х п

переменные

(22)

по формулам

(21);

тогда

мы получим

функцию

v { t ,

t l,

..., f"-1) =

н (ф (*,

0 ,

. . . . t n-')).

Мы имеем:

d o ( t ,

t ' .......t 1 > )_

d u ( x )

ri

ot

i= I

d.\l

1

§ 2 5 ]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

203

где л; =

ф(У, t1,

tn 1). Таким образом,

в переменных

(22) уравне­

ние (17)

получает

вид:

dvit,

t*~')

= /7 ( ф в

p '

f in-i)t

v(ti

tl>

*«->)). (23)

Так

как

поверхность

(18)

в

координатах

(22)

задается

уравнением

t =

0, то нам следует

найти

решение уравнения

(23),

обращающееся

в заданную функцию н0(tl, ...,

i"-1)

при t

=

0.

Для

нахождения та­

кого решения следует решить уравнение (23), считая его обыкновен­ ным дифференциальным уравнением с независимым переменным I, а

переменные t',	...,	— параметрами. При этом следует искать реше­
ния с начальными		значениями
		О,	u0(tl........
Получающаяся	функция v(t,		t1........ в силу теоремы 18,		имеет
непрерывные производные по всем переменным.
Этим краевая задача, поставленная				в Д), решена.
З а м е ч а н и е .		Пусть
			х \	х п)	(24)

— неавтономная система дифференциальных уравнений. Для того чтобы ввести понятие первого интеграла этой системы, преобразуем ее в авто­ номную систему, введя дополнительную неизвестную функцию

x " ^ = t.

Тогда система (24), дополненная уравнением

* я+1 = 1,

будет автономной; ее первые интегралы считают первыми интегралами системы (24).

Пусть	П р и я е р
/ 7 = Н ( х \	х п- у1, ..., у г‘) = И(х, у)	(25)

— функция двух систем переменных. Система обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений:

х 1= ^р Н (X, у), у1— — ^ /7 (л;, у), i = 1, ..., п,

(26)

называется гамильтоновой системой, о функция Н (х, у) — гамиль­ тоновой функцией этой системы. Непосредственно проверяется, что функция (25) является первым интегралом системы (26).

ГЛАВА ПЯТАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Работа очень многих механических, электрических и другого типа устройств (машин, приборов и т. п.) описывается системами обыкно­ венных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений имеет всегда бесконечное множество решений, и для задания одного определенного решения нужно указать его на­ чальные значения. Между тем употребляемые в практике устройства обычно работают на вполне определенном режиме, и в их работе, во всяком случае на первый взгляд, невозможно обнаружить наличия бес­ конечного множества режимов работы, соответствующих различным решениям системы уравнений. Это может объясниться либо тем, что начальные значения решения при запуске устройства выбираются каким-то определенным образом, либо тем, что начальные значения при продолжительной работе прибора утрачивают свое влияние, и устрой­ ство само стабилизирует свою работу на с т а ц и о н а р н о м решении. С последним явлением мы уже сталкивались, когда разбирали работу электрических цепей. Приведем еще один пример. Стенные часы идут с совершенно определенным размахом маятника, хотя при запуске их маятник можно отклонить от вертикального положения более или менее сильно. Если при запуске часов маятник отклонить не доста­ точно сильно, то после небольшого числа колебаний он остановится. Если же отклонение достаточно велико, то через короткое время амплитуда колебаний маятника станет вполне определенной, и часы будут идти с этой амплитудой колебаний неопределенно долго, прак­ тически бесконечно долго. Таким образом, у системы уравнений, описы­ вающей работу часов, имеются два стационарных решения: положение равновесия, соответствующее отсутствию хода, и периодическое реше­ ние, соответствующее нормальному ходу часов. Всякое другое решение, а этих решений, несомненно, имеется бесконечное множество, очень быстро приближается к одному из этих двух стационарных и по исте­ чении некоторого времени становится практически не отличимым от -него. Каждое из отмеченных двух стационарных решений является

§ 2 6 ]		ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА		205
в некотором смысле устойчивым. Это значит, что				если мы берем не
стационарное	решение,	а решение, отклоняющееся		от стационарного
в начальный	момент и	притом не слишком сильно,	то взятое нестацио­

нарное решение приближается к стационарному. Таково не вполне точно формулированное определение устойчивости решения. На этом же примере видно, что фазовое пространство системы уравнений, опи­ сывающей работу часов, распадается на две области притяжения. Если взять начальное значение в одной из областей, то решение будет стремиться к положению равновесия; если взять начальные значения в другой области, то решение будет стремиться к периодическому решению.

Из сказанного уже видно, что для полного понимания работы какого-либо устройства желательно иметь хорошее представление о фазовом пространстве системы уравнений, описывающей работу этого устройства. При этом важнее всего знать все устойчивые решения этой системы уравнений.

Из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных

значений (см.	§ 23) мы уже знаем,		что если	задаться определенным
к о н е ч н ы м	промежутком	времени,	то при достаточно малом откло­
нении начальных значений		решение	отклонится	мало на всем заданном

промежутке времени, но это свойство решения вовсе не означает

устойчивости. Когда речь идет об устойчивости, отклонение	на н е-
о п р е д е л е н н о б о л ь ш о м отрезке времени должно быть	малым,

если только отклонение начальных значений мало.

Настоящая глава в основном посвящена проблеме устойчивости положений равновесия и периодических решений.

В нее включены также два важных приложения к техническим задачам: излагаются исследование Вышнеградского о работе паровой машины с регулятором Уатта и исследование Андронова о работе лампового генератора электрических незатухающих колебаний. Пер­ вое из ;этих исследований явилось основополагающим в теории ав­ томатического регулирования, второе — в теории нелинейных ко­ лебаний.

В § 30 проводится исследование поведения траекторий вблизи положений равновесия автономной системы второго порядка, что не вполне относится к проблеме устойчивости. Этот параграф по своей трудности несколько превосходит средний уровень книги. Еше более трудным по своему содержанию является последний параграф этой главы (§ 31).

§ 26. Теорема Ляпунова

Здесь будут даны понятие устойчивости по Ляпунову и достаточ­ ные условия устойчивости применительно к положению равновесия автономной системы (см. § 15).

296	у с т о й ч и в о с т ь	|Гл Е
	У с т о й ч и в о с т ь п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я

Пусть

(О

— нормальная автономная система, и

		x — f ( x )				(2)
— ее векторная запись. Относительно функций
	/ ‘V	........х")’	i =	1, ....	Л	(3)
мы будем предполагать, что они			определены		и имеют	непрерывные
частные	производные	первого	порядка	на некотором открытом мно­
жестве	А пространства переменных х 1, ..., х п. В дальнейшем при уста­

новлении критерия устойчивости требования дифференцируемости будут усилены: именно, будет предполагаться, что функции (3) имеют

на множестве		А	непрерывные частные производные					второго	порядка.
Не давая		формального			определения устойчивости по Ляпунову,
постараюсь	прежде			всего	выразить идею устойчивости. Положение
равновесия	а =		(а\	..., ап) уравнения (2)			следует	считать	у с т о й ­
чивым, если всякое решение уравнения						(2), исходящее при£ = 0 из
точки, достаточно близкой					к а, остается	в	течение всего дальнейшего

своего изменения (г. е. при t^> 0) вблизи точки а. Физический смысл устойчивости ясен. Физический объект (например, какая-либо машина),

движения которого	управляются уравнением	(2),	может	находиться
в положении равновесия а лишь тогда, когда		это	положение равно­
весия устойчиво, так	как в противном случае	ничтожное		отклонение

от положения равновесия, вызванное случайным толчком, может повлечь уход объекта далеко от положения равновесия.

Ниже через tp(t,	|) будет обозначаться			решение	уравнения (2)
с начальными значениями t — 0, х = | ,			так что q>(£, |)		есть векторная
функция скалярного переменного t		и векторного переменного |, удовле­
творяющая условию
	Ф(0,	|) =	1 .		(4)
О п р е д е л е н и е .	Положение	равновесия		а уравнения (2) назы­

вается устойчивым по Ляпунову, если 1) существует настолько малое

положительное число р,		что	при 11 — аI<С Р	решение		ср(t, |) уравне­
ния (2) определено для		всех	положительных	t\ 2)	для	всякого	поло­
жительного числа	в найдется		такое положительное		число S		р, что
при | | — а |< ^ 8	имеем	|<р(£,	|) — a |< ^ s при всех		t^>0. Устойчивое
по Ляпунову положение		равновесия а уравнения (2) называется асимп­

§ 261 ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 20 7

тотически устойчивым, если 3) существует настолько малое поло­

жительное число о<^р, что	при | |	— а | - \ 0	имеем:
lim	|q>(A	|) — а 1=	0.

/4“00

Дадим прежде всего достаточные условия устойчивости положения равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэф­ фициентами:

А) Пусть

& = А х

(8)

— линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, взятое в векторной записи. Решение его с начальными значениями 0, | обозначим через ф(А |). Если все собственные значения матрицы Л имеют отрицательные действительные части, то существуют так » положительные числа а и г, что выполнено неравенство

		I'M*.i)l<r|g|e-“',		t ^ O .	(в)
Из неравенства (6) непосредственно следует,				что положение	равно­
весия jc=	0	уравнения (5) является устойчивым по Ляпунову и асимп­
тотически	устойчивым.
Докажем		неравенство (6). Положим:
		Л = (a');	L (р) = (а . — рЬр.

Тогда, пользуясь символом дифференцирования р (см. § 7), урав­ нение (5) в скалярной форме можно записать в виде системы

2 Li(p)xJ = 0,

1 = 1 .........

п.

(7)

7=1

Пусть М\(р) — минор элемента Ll(p) матрицы L(p), взятый с надле­ жащим знаком, так что выполнено тождество

£Щ (Р) Ц (р) — 8* D (р),

i= i

где D(p) — детерминант матрицы L(p). Умножая соотношение (7) на многочлен М*?(р) и суммируя полученное соотношение по /, получаем:

0 = j j	Щ (р) L) (р) х 1 =	8*D (р) х-' = D(p) х \
i = 1/= I		/= 1

Таким образом, если

2 0 8

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гя 5

— некоторое решение уравнения (5), то каждая функция х 1 удовле­ творяет дифференциальному уравнению

D (p )x l = 0.

Так как все корни многочлена D(p) по предположению				имеют отри­
цательные действительные части, то		(см. § 9,	А)) для	функции х 1
выполнено неравенство
| лг‘ I ^ Re~at,	/ =	1........ я;	t ^ O ,
где R и 1 — положительные	числа, не зависящие от номера I. Из этого
неравенства следует неравенство
! х I ==S ■/п Re~at		(13s 0).

Последнее неравенство уже было доказано ранее (см. §11, Б)) в более общих предположениях; здесь это доказательство проведено заново.

Пусть et — единичный координатный вектор номера I, так что

<?« = (0, ..., 1........ 0),

где единица стоит на 1-ы месте. Пусть, далее, ф(- (t) — решение уравне­ ния (5) с начальным значением ег, так что

фг(0) = ег,

г = 1, ..., п.

Тогда решение ф(г, |) уравнения (5) с начальным значением

6 = (51,

6я),

очевидно, запишется в виде:

ч>(*. & = Е	*4,(0-	(8)
i== 1
Так как для каждого решения г|э,. (*)	выполнено	неравенство

1Ч>,(01<1/"nRe-« (t2S*0),

то для решения ф (2, |), очевидно, выполнено неравенство (6). Устойчивость по Ляпунову положения равновесия л; — 0 непосред­

ственно вытекает из неравенства (6). Действительно, если е — заданное

положительное число, то достаточно принять за 8 число —. Асимп­

тотическая устойчивость также вытекает из неравенства (6).

Ф у н к ц и я Л я п у н о в а
При установлении критерия устойчивости	положения	равновесия
н е л и н е й н о й системы ( 1) пользуются так	называемым	дифферен­

цированием в силу системы уравнений; дифференцирование это находит применения не только при доказательстве теоремы Ляпунова.

26]	ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА	20 9
Б) Пусть	F ( x l........ x*) = F(x)
— некоторая	дифференцируемая функция переменных х 1, х	п, опре­

деленная на множестве Д. Ее производная по t в силу системы урав­ нений ( 1) в точке л; = (лг1, х п) определяется следующим образом. Пусть ф (0 — решение уравнения (2), удовлетворяющее'при некотором значении t — tQ начальному условию:

<V(t0) = x.

Производная

^(1) (х)

в силу системы (1) определяется формулой

F(1) (x) = f t F (q>{t))\l = h ,

или в силу формулы полной производной

	F (i ) W =			2 dW		- f l(x)-			(9)
				I = 1
Из	формулы (9) видно,	что	F(1) (а:)		не		зависит		от решения <р(0>
а однозначно определяется выбором					точки		л;.
	Докажем теперь одно свойство автономной системы.
	В) Решение автономного		уравнения			(2)		с начальными значениями
О, |	по-прежнему будем	обозначать			через			ф(/, |).	Оказывается, что
функция ф(£, |) удовлетворяет				тождеству
	ф(<, Ф (-S1, §)) — Ф С*							!)•	0 ° )
Докажем формулу (10).		Положим:
			Л — <Р(5- I).						(и )

где s — фиксированное число, и рассмотрим решение

Ф1 (0 = Ф(*. Л)

уравнения (2). Так как ф(А |) есть решение уравнения (2), то в силу автономности этого уравнения (см. § 15, А)) решением является и функция ф.2(t), определяемая соотношением:

(0 =	ф it + ^	|).
Мы имеем, таким образом, два	решения	ф, (t) и фа (i) уравнения (2).
Далее,

ф1 (0) — ф (0, 11) = 1)