книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

240

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

спираль, наматывающуюся на KUl при t ->■-|- оо и на К„2 при t -»■ — оо (рис. 50). Если выполнено второе из неравенств (21), то решение (22) представляет собой спираль, наматывающуюся на Ahi при t-*- — оо и на Ки„ при j - оо (рис. 51). Таким образом, кольцо Q заполнено однотипными спиралями одного из двух видов в зависимости от того, какое из неравенств (21) выполняется на интервале Ui<^p<^u.2. Если множество N ограничено и и* — его верхняя грань, то на бесконечном интервале гг*<^р<^4-оо траектории (22) в одну сторону наматыва­ ются на окружность К,,*, а в другую сторону уходят в бесконечность.

Рис.	50.	Рис. 51.
Если точка	и0 множества N является его	изолированной точкой,

то замкнутая траектория К„0 является предельным циклом, вид кото­

рого зависит от типа спиралей,	заполняющих кольца, примыкающие
к траектории KUo. Если точка	и0 множества /V не является его изоли­

рованной точкой, то периодическое решение Кио не является пре­

дельным циклом.			Если		при этом	в N содержится целый интервал
с центром в г/0, то				периодическое		решение /С„0 содержится внутри
целого	семейства		периодических решений, составляющих совокупность
концентрических			окружностей с общим центром в начале координат.
Если к числу и0 с одной стороны						примыкает	целый	отрезок	чисел
множества N, а с другой — интервал из Д то траектория Ки„ является
крайней	в	семействе			замкнутых	траекторий,	примыкающих		к ней
с одной	стороны,		а	с другой стороны на нее наматывается семейство
спиральных траекторий. Возможны,						однако, и более сложные случаи
примыкания замкнутых траекторий к периодическому								решению Kntt.
Их легко себе представить; например, N может быть канторовым
совершенным множеством.
Запишем		теперь		систему (20) в декартовых координатах, положив:

X =

cosр < р ,

у sin= у . Р

(23)

8 28] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 241

Дифференцируя соотношения (23), мы получаем:
jc = р cos ср — pip sin ер =	р g(p2) • 7 - — Р • у		= ■* £ С*-* +		У ) — У, ]
Р Sin ср + рф cos <p =	p g V ) - - ^	!	= y g ( x i ~[- У2) - h AT.			(24>
		+ p - y				J
Итак, в декартовых координатах		система	(20)	записывается		в виде:
х = x g (x 9 +	у9) — у;	j> = .y g (x 2+		/ ) +	х.	(25)

(Здесь сможет быть, например, произвольным многочленом.) Система (25) имеет в начале координат положение равновесия.

2. Пусть
х 1= / ’ (х \ х-, р);	х 1= / * (х \ х \ р)
— нормальная автономная система	второго порядка, правые части

которой зависят от числового параметра р и обладают непрерывными

частными производными

первого порядка

по всем своим аргументам х 1,

х 9, р. Пусть,

далее,

Х = /( Х , р)

(26)

— векторная

запись

этой

системы. Решение

уравнения

(26) с началь­

ными значениями

0,

|

обозначим

через cp(i,

|,

р);

предположим,

что

ф (t, So>

Ро) есть

периодическое

решение

уравнения

(26) при (р =

рп)

периода

Т. Выясним вопрос о

том, что

происходит

с этим решением

при изменении параметра р вблизи значения р0.

Решения уравнения (26) будем изображать в одной и той же

плоскости Р независимо

от значения параметра р. Пусть К — замкну­

тая траектория, соответствующая решению ф(^, So, р0)

и L — гладкая

кривая,

заданная в плоскости Р параметрическим векторным уравнением

х =

ф (гг),

которая

пересекается

с траекторией К в единственной

точке

1о —

ф (0,

|о, Ро) =

ф ( Т, |о, Ро) =

Ф (»о),

(2 7 )

не касаясь ее. Рассмотрим векторное уравнение:

			ср((,	ф (гг), р) — ф (г>) =			0,			(28)
в котором	независимыми			переменными	будем		считать	р, гг,	а	неизве­
стными функциями t и V .				Независимые	переменные			пусть	меняются:
и вблизи г/0, р вблизи р0.				Решения будем искать при t, близком к Т,
v> близком	к	гг0.	При и = и0, р = р0			имеется очевидное				решение
уравнения (28):		t —	Т, г> = гг0 (см. (27)),			и функциональный				опреде­

литель соответствующей системы уравнений при этих значениях пере­

менных отличен от нуля, так как	векторы /(So, Ро) и Ф’(»о) незави­
симы. При р = р0 уравнение (28)	определяет функцию последования

242			УСТОЙЧИВОСТЬ				[Гл. 5
v =	у (и, ;а„) уравнения		(26) (;а=	jju0) вблизи замкнутой траектории К.
При	[х, близком	к [а0, функция		v =	x ( n> !х)	также	определяется	из
уравнения (28)		и может	считаться		функцией	последования уравне­
ния	(26) вблизи	периодического		решения К.		Однако	уравнение	(26)

при [а-ф. р,0 может и не иметь периодического решения. Для отыска­

ния периодического решения	уравнения	(26) при [а, близком	к (а0,
j ассмотрим уравнение
/(»/,	^ ) - и =	0	(29)

относительно неизвестной функции и (а) переменного ]а. Если произ­

водная левой части уравнения		(29)	по	переменному	и	при н = »0,
[i = [A0 отлична от	пуля, т. е. если
	1	(«о. 9и) Ф 1,				(30)
то уравнение (29)	заведомо имеет		дифференцируемое		решение и (]а),
и тогда уравнение	(26) имеет	при	р,	близком к р0,		единственное

периодическое			решение, гладко зависящее от		р и превращающееся
в К	при	р =	;.0. Условие (30) означает предположение			г р у б о с т и
цикла	К.	В полученном результате		заключается	оправдание термина
«грубый».		Грубый предельный цикл		не и с ч е з а е т (п		остается гру­

бым) при малых изменениях правых частей системы, он «прочен» при этих изменениях.

	Если график уравнения
			v = y(u, !А)					(31)
в	плоскости	переменных и,	v при	р =	ро	касается	в точке	(и0, и„)
биссектрисы			v =	и				(32)
с	порядком	касания единица	(рис.	52,6'),	то	кривая	(31) при	р = р0

лежит по одну сторону биссектрисы (32), и предельный цикл К является

§ 281

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

243

полуустойчивым (рис. 53, б). При изменениях параметра р вблизи [х0 наиболее естественное поведение графика (31) заключается в том, что при значениях р, лежащих по одну сторону от [г0, точка пересечения графиков (31) и (32) вовсе исчезает (рис. 52, а), а при значениях р., лежащих по другую сторону, появляются д ве точки пересечения этих графиков (рис. 52, в), так что у уравнения (26) появляются два гру­ бых предельных цикла, близких к К (рис. 53, в). Таким образом, при прохождении параметра р через значение р0 мы сначала не имеем предельного цикла (рис. 53, а), далее при р = р0 появляется один полуустойчивый цикл, и при дальнейшем изменении параметра р он

распадается па два грубых предельных цикла, близких к К. Описан­ ное явление принято называть «рождением» предельных циклов урав­

нения (26)	при изменении его правой части.
3.	Отметим некоторые очень важные свойства периодического
решения К уравнения			(2) в случае аналитических правых частей. Здесь
мы без доказательства используем тот факт, что решение ф (t, |)
уравнения	(2)	является	в этом случае аналитической функцией	пере­
менных t	и $*,	При	построении функции последования будем	счи­

тать, что кривая L задается аналитическим уравнением. В этих пред­ положениях функция последования х(и) оказывается аналитической, будучи решением аналитического уравнения.

Так как нулям функции ^(м) — и соответствуют периодические решения уравнения (2), то ввиду аналитичности функции х (и) возможны лишь два взаимно исключающих друг друга случая: 1) К есть предельный цикл — случай, когда щ есть изолированный нуль функ­ ции %(н) — н; 2) Периодическое решение К содержится внутри семейства периодических решений — случай, когда функция '/(и )— и тожде­ ственно равна нулю. Если на траекторию К спирально наворачивается какая-либо другая траектория, то К не содержится внутри семейства

периодических		решений и,	следовательно,	является	предельным
Циклом.	Таким	образом, при	аналитических	правых частях в слу­
чае 2)	теоремы	21 периодическое решение		К является	предельным
циклом.					N

244

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

§ 29. Ламповый генератор

Здесь схематически будет описано устройство простейшего лампо­ вого генератора — прибора, являющегося источником периодических (незатухающих) электрических колебаний. Будет дана качественная математическая теория работы генератора. Урав­ нение, описывающее работу лампового генера­ тора, нелинейно. Его предельный цикл и соот­ ветствует периодическим колебаниям, возбуждае­ мым генератором. Адэкватность математического понятия предельного цикла и физического понятия незатухающего колебания, возбуждаемого ламповым генератором, была впервые установлена выдающим­ ся советским ученым А. А. Андроновым. До ис­ следований Андронова работу лампового генератора пытались объяснить при помощи линейных диффе­ ренциальных уравнений, что не могло дать правиль­ ной математической картины работы генератора.

А) Триод (один из видов электронной лампы) представляет собой трехполюсник aks. Условное изображение триода показано на рис. 54. Здесь а — анод, k — катод, s — сетка. Между полюсами s h A подается разность напряжений Us (сеточное напряжение), однако ток между полюсами s и k отсутствует; от полюса а к полюсу k через лампу течет ток 1а (анодный ток). Закон, управляющий работой триода, записывается формулой

/«=/(£/,)■

(О

Функция f называется характеристикой триода. Мы будем считать, что она является монотонно возрастающей и положительной и удовлет­ воряет условиям:

	us	Нт	/(£ /,) = ■ о,
		03
	iim		f{U s)-		: In,
	£Д-+со
где	In — Т0К			насыщения
триода (рис. 55). Обычно
предполагают				также,		что
максимум функции / ' (Us)
достигается			в точке		Us — 0.
	Описанный в А) под на­
званием		триода		трехполюс­
ник	в действительности					включает в себя, кроме электронной лампы,

еще анодную батарею, батарею сеточного смещения и батарею нака­ ливания катода.

§ 2 9 ]		ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР	245
Б)	Ламповый	генератор с колебательным контуром в анодной
цепи имеет следующее устройство (рис. 56).			Он имеет четыре узла а,
k, s, b	и состоит	из триода aks (см. А)) с	характеристикой f{ U s),

конденсатора ak с емкостью С, сопротивления аЪ величины R, индуктиЬности Ьк величины L и еще одной индуктивности sk, величина которой не имеет значения.

Индуктивности		kb	и ks		связа­
ны	отрицательной			взаимоин­
дукцией — М (М			0),	которая
осуществляет		так	называемую
обратную связь в ламповом ге­
нераторе. Если обозначить че­
рез J силу тока, идущего через
сопротивление		Ьа,		или,	что
то	же самое,	через		индуктив­

ность kb:

	J ^ = l Ьа === I k b ’
то оказывается, что величина J, как функция времени t,										удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
			U + R j + ± = ± f( M j) .								(2)
Выведем уравнение				(2). В силу		первого	закона		Кирхгофа		мы
имеем:
					Ika =						(3)
где 1ка — ток,		идущий		через	конденсатор		/га.	Кроме		того, в	силу
свойств	триода	имеем:
					hk —						(4)
Применяя второй закон Кирхгофа к колебательному контуру											kbak,
получаем (см. (4)):
			l-hib ~Ь Rha		-Q	^ 1ak dt = 0.
Дифференцируя		это соотношение, получаем:
			L-hb Rha +			lak =	0-				(6)
В силу	взаимоиндукции			между	индуктивностями			kb	и	ks получаем
(ем. (4),	а также §		13,	Б)):
				u s= M		i kb.					( 6 )
Таким образом,		из	соотношений (1),			(3), (5), (6)		следует (2).

2 4 6		УСТОЙЧИВОСТЬ		[Гл. 5
В) Уравнение (2)	в фазовой плоскости переменных У,			У имеет
единственное положение равновесия			с координатами:
	У = / (0)»		У = 0.	(7)
Это положение равновесия		асимптотически устойчиво, если
		R > ^ f ’ (0),		(8)
и вполне неустойчиво (см.		§ 26, Е)),	если
		Ж ^ / Ч О ) .		(9)

Бесконечно удаленная точка плоскости переменных У, У во всех слу­ чаях вполне неустойчива. Это значит, что существует настолько боль­

шой круг К в плоскости У, У, что всякая траектория уравнения (2), начиная с некоторого момента времени, приходит в этот круг и остается в нем. При выполнении неравенства (9) положение равновесия (7)

также вполне неустойчиво.	Таким	образом,		в силу	теоремы	21
(см. § 28) («-предельное множество		любой	траектории,		отличной	от
положения равновесия (7),	представляет		собой	замкнутую траекто­

рию. Итак, в случае выполнения неравенства (9), ламповый генератор является источником периодических незатухающих электрических

колебаний.
З а м е ч а н и е . При надлежащем		выборе характеристики / урав­
нение (2) имеет	е д и н с т в е н н ы й	предельный цикл, а все осталь­
ные траектории	уравнения (2), отличные от положения равновесия (7),

наматываются на него. Одна из характеристик, обладающих этим свойством, будет указана в примере.

Для доказательства предложения В) введем вместо неизвестной

функции У новую неизвестную функцию х, положив;
		У = * + / ( 0 )		(Ю)
с тем, чтобы точке	(7)	соответствовало	начало координат	плоско­
сти х, х.		(10), получаем из	уравнения (2) уравнение
Сделав подстановку
* +	r *	+ /i* = Z ^ 1/(AW)_/(0)]-		(11)

Функцию переменного х, стоящую в правой части этого уравнения, обозначим через g(x:). Непосредственно видно, что функция g является ограниченной, монотонно возрастающей и обращается в нуль лишь при нулевом значении аргумента (рис. 57). Полагая сверх тою,

ft _ 0 5

1 __ , . л

§ 2 9 ]	ЛАМПОВЫЙ г е н е р а т о р			247
мы запишем уравнение ( 11) в виде:
	X	2?>Х -j- 0)9JC =	j% ( х ) .
Вводя новое	переменное	у — х, мы из	этого уравнения	получаем
нормальную	систему:
	х =	у,		( 12)
	У — — и"х — 28у -|- У (у).

Для отыскания положении равновесия системы ( 12) приравниваем ее правые части пулю:

У— О,

—а-х — 2Ьу -j- g (у) = 0.

Полученная	система имеет
единственное	решение
л"= 0,	у — 0.
Таким образом, начало ко­
ординат является единствен-		Рис. 57.
ным положением равновесия

системы (12), а из этого следует, что единственным положением равновесия уравнения (2) является точка (7).

Выясним теперь		условия устойчивости положения равновесия (0, 0)
системы	(12), для чего линеаризуем эту		систему в точке (0,		0).	Мы
получаем	систему:
		' х = у,
		У — — ш<>х— 2Ьу -j- /		(0) у.		^
Легкие вычисления		дают характеристический		многочлен
		X2-!-( 2 5 - / (0)) X-j- со9
линейной системы (13). В новых обозначениях условия (8) и (9)						со­
ответственно принимают вид: 28 ^ > /(0 ),			28	< //( 0 ) . Таким	образом,

при выполнении условия (8) положение равновесия (0, 0) асимптоти­

чески устойчиво (см.		теорему 19 и §		9, Б)),	а при выполнении усло­
вия (9) оно вполне неустойчиво (см. § 26, Е)).
Для	выяснения	поведения	траекторий		системы	(12) в далеких
частях	фазовой плоскости х, у		рассмотрим		линейную	систему:
		-V=	у,			(14)
		J1— —		— 2Ьу,

полученную из системы ( 12) отбрасыванием ограниченного во всей плоскости члена g(y). Легкие вычисления дают характеристический

248	УСТОЙЧИВОСТЬ	1Гл. S
многочлен системы	(14):
	Х2+ 28Х + ш2;	(15)

так как числа 28 и со2 положительны, то его корни имеют отрица­ тельные действительные части. Таким образом, в силу предложе­ ния Д) § 26 для линейной системы (14) существует функция Ляпу­ нова W (л:, у), удовлетворяющая условию:

			^ (14) (•*> У)		— $W (x,			у).		(16)
Вычислим теперь		производную			(х,		у) функции		W (дг, у) в	силу
системы (12). Мы имеем:
	Ww	(x, y) = W{H)(x, у) +					™	^ Л § (у).		(17)
Так как функция		g(y) ограничена, то				имеет		место	неравенство
		д \ У (х , у)		g (y )				у)		(18)
			ду
(см. формулу (14)			§ 26), где f — некоторая положительная							кон­
станта.
Полагая	теперь
мы из (16),	(17)	и (18) получаем			неравенство
^ ( 1-2) (•*, У) ^			— 2aW (х,		у)	при		W (х,	у) ^ с \	(19)
Уравнение				W (x, j ) =		c2				(20)

определяет в плоскости х, у эллипс. Из неравенства (19) непосред­ ственно следует, что в точке (х , у), принадлежащей эллипсу (20) функция W (х, у) убывает вдоль траектории системы (12), проходя­ щей через точку (х, у). Таким образом, все траектории системы (12), пересекая эллипс (20), входят внутрь этого эллипса. Если

		•*= ? ( 0 > У = И*)			(21)
— решение		системы (12), начинающееся		в точке (£, tj)	вне эллипса
(20), то, полагая
		w ( t ) =	W ( y ( t ) ,	ф (0).
мы для	функции w (i) получаем		неравенство
		w (t)	— 2aw (t),		(22)
верное	при	условии

§ 2 9 ]		ЛАМПОВЫП г е н е р а т о р							24 9
Интегрируя неравенство		(22), получаем:
				ТО*"**'.
Из этого следует, что траектория (21) обязательно входит в									эллипс
(20). При этом	ни одна	траектория		не может выйти из этого эллипса,
так как в его граничных точках все траектории входят внутрь.
Пусть теперь К — некоторая			окружность		в плоскости л;, у,				содер­
жащая э л л и п с	(20). Из	доказанного		следует,	что	всякая		траектория
системы (12), отличная от положения равновесия						(0, 0),		обязательно
входит в окружность К и остается				в ней. Так как точка (0, 0) вполне
неустойчива, то траектория эта			не	может иметь		ее	в	числе	своих
w-предельных	точек и	потому	в силу теоремы			21	(см. § 28) она

есть либо спираль, наматывающаяся на периодическое решение, либо периодическое решение.

Итак, предложение		В) доказано.
		Г1 р и м е р
А. А. Андронов, который впервые составил для					лампового			гене­
ратора нелинейное уравнение (2), рассмотрел случай,					когда		характе­
ристика / триода	имеет особо простой вид,		а	именно		она		равна
пулю при отрицательных значениях аргумента			и	равна		положитель­
ной константе b	при	положительных значениях		аргумента.			Считая,

что / ( 0) = -^- и производя замену переменных (10), мы придем к си­

стеме (12), в которой функция g (y) определяется условием:

	g ( y ) =			— ю2а		при_у<^0,				(23)
				ига		при у		0,
где а = ~ . Система		(12)	с	выбранной			таким		образом	разрывной
функцией	g (y) записывается			при	_у^>0,			т. е.	в верхней	полупло­
скости, в	виде:	х = у ,
	|									(24)
	|	у =			— 2Sv —J—ога,
			—	ч у х
а при _у<^0, т. е. в нижней				полуплоскости, в виде:
		f х=у,								(26)
	\ _р — — ч)гх				— 2оу — чуа.

Мы будем считать, что корни многочлена (15) комплексные. Таким образом, положение равновесия (0, 0) системы (14) представляет собой устойчивый фокус (см. § 16, В)); системы же (24) и (25) отли­ чаются от системы (14) только сдвигом: их положения равновесия помещены не в начале координат, как у системы (14), а в точке (а, 0)