книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

190 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4

причем правые части ее заданы и непрерывны на открытом множе­

стве,	которое описывается неравенствами
	'	|Мч — -u * |<Р>		М < Р -		(10)
Так как система		(9) линейна, то в	силу теорем		3 и 13	эта система
имеет	решение
		1*1» 'с)> •••>	У =	х"(*»	Ми. *)	(И )

с начальными значениями £0, 0 , определенное и непрерывное на всем открытом множестве (10). Согласно теореме единственности (теорема 2),

па всем открытом множестве (10)			при	т ^ О		справедливы			равенства
У (С Ми ~) = 'Х.1У> Mi. т).					г =	1,	.... п.
Мо правые части	равенств (11) определены и непрерывны								на	всем
открытом множестве (10), включая и значения						т =	0. Поэтому,			пере­
ходя в равенствах (11) к пределу			при	т —> 0,		мы	получаем:
<У(С гч).	Пт (t, Mi	x) =	\\m x‘ {t,		M-i. х) =			г 1Ц, ц„	0).	( 12)
	Т—0		х-*0
Так как правая часть этого равенства определена								и непрерывна на
открытом множестве
	П < < < '■ * •		I Mi — М* ! <			Р>				(13)
то на всем этом	открытом множестве			частная		производная			ду* (ty и..)
									— - - V -
определена и непрерывна. В частности,				она					ф .
					определена и непрерывна
в некоторой окрестности течки (t*, (х*).
Так как, далее, функции		y ’ — yl (t,		р,,,	0),	г =	1, ... , п,		удовлет­
воряют системе дифференциальных			уравнений			(9)	при т = 0, то			этой
же системе уравнений удовлетворяют и функции
	< _ <¥'(б Pi)		i = l,			n.

Таким образом, все эти функции на открытом множестве (13) обла­ дают непрерывными частными производными по t. Иначе говоря, на открытом множестве (13) существует и непрерывна смешанная про­ изводная

д				(Н )
dt
Подставляя в систему	(1) ее решение х ‘—		(.ц), г =	1 ,..., п,
заведомо определенное на	открытом	множестве (13), мы		получаем:
= /'( * , Ф в и д		|*д), * =	1........П.	(15)

S 241		ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ				191
Так	как функции cpJ (t, ц,), j = \ , . . . , n ,				в силу доказанного имеют не­
прерывные		частные	производные	по	jx* на всем открытом множе­
стве	(13),	а правые	части системы	(1)	имеют непрерывные	производ­

ные по переменным X х, ... , х п, jx1........fx', то правые части соотноше­ ний (15) имеют непрерывные частные производные по [х* на всем открытом множестве (13). Таким образом, и левые части соотноше­

	ний (15) имеют непрерывные частные производные
	д I	ii)	(16)
	Ф? V	dt .

на открытом множестве (13).

Итак, обе частные производные (14) и (16) непрерывны на откры­ том множестве (13), а потому в силу известной теоремы анализа они

совпадают между	собой на	этом множестве.
Так как точка (t*, ц*)		принадлежит открытому множеству (13),
то доказательство	теоремы	16 этим полностью завершено.

Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь по н а ч а л ь н ы м з н а ч е н и я м

Мы будем рассматривать ту же самую систему дифференциальных

уравнений
— / ' ft X х, ..., х"),	1 = 1 , . . . , п,	(17)

что и в § 23 (см. § 23, формула (14)), правые части которой опреде-

лены и непрерывны вместе с их частными производными др на неко­

тором открытом множестве Г пространства R переменных t, х 1, ... , х п. Пусть

х =/ft х )

(18)

—векторная запись системы (17).

Вотличие от § 23, мы будем считать переменным лишь начальное

значение § неизвестной функции х , а начальное значение т перемен­

ного t зафиксируем, положив т =	^0. Дифференцируемость решения
по т в дальнейшем не используется,	а для того, чтобы она имела место,

система (17) должна удовлетворять дополнительным условиям (непре­ рывная дифференцируемость правых частей по t).

Т е о р е м а 17. Пусть

ф ft U, 1) = ф ft I) = (<F1ft !)»•••» ?" ft I))

■— непродолжавмое решение уравнения (18) с начальными значе­ ниями 10, |. Из теоремы 14 непосредственно следует, что Функция ср(t, |) определена и непрерывна на некотором откры­ том множестве S' в пространстве переменных t, S1, ...,

192		ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ							[Гл. 4
Оказывается, что на всем множестве S' существуют и непре­
рывны	частные производные
	<¥ (t,		I)	i, 7 = 1,
кроме	того, на этом множестве				непрерывны			и не зависят		от
порядка дифференцирования				смешанные		частные производные
	д-'У (t, Ц			и У	= . . 1. . . . .П...
		dt di>	’
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Конструкция,			данная		в	предложении	В)
§ 23,	сводит доказательство			к теореме		16. Так			как правая часть
уравнения (19) § 23		имеет		непрерывные			частные		производные	по
всем переменным у \		... ,	у п,	. . . ,	\п, то,		в силу теоремы 16, част­
ные производные

	(к t0, 1)	i, 7 = 1 ,
	dV

функций ф‘ (см. § 23, В)) определены и непрерывны на всем откры­ том множестве S' и на нем же непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования смешанные частные производные

		дУ(К К»	I)	7 = 1 ,	. . . . п.
		dt №
Далее, так как решение (p(f,				|) = q>(^ t№,	|)	определяется	через ре­
шение фД, ^0, |)		по формуле (23) § 23 при				x= f0, то из найденных
свойств функции		(t, t0,	|)	вытекают	соответствующие		свойства
функций <р1(t, |),		указанные	в формулировке			теоремы 17.
Теоремы 16	и	17 могут быть объединены				в одну:
Т е о р е м а	18. Предположим, что правые части системы (1)
на всем открытом множестве Г имеют непрерывные							производ­
ные по параметрам р', ... ,				р*. Пусть
ф (t,		Д) = (?' (К 1. в).......ср" 0				1, в))

— непродолжаемое решение уравнения (2) с начальными зна­ чениями t0, Тогда функция q>(t, §, в) определена на неко­

тором открытом множестве Г пространства переменных t, §, В и непрерывна на нем (см. теорему 15). Оказывается, что част­ ные производные

<V (Т I, В)	<V' (б В)	t i __1	... и _ 1	,
■— w — ’	— ф *—	*, J ~ ,	1.........

определены и непрерывны на всем открытом множестве 1’. Кроме того, смешанные частные производные

d - f ( t , 1, в)

d"f(t, §, в)

§24] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 193

определены, непрерывны, и не зависят от порядка дифференциро­

вания на всем множестве Г.

Эта

теорема доказывается

так же,

как

теорема

17, — путем

за­

мены переменных (17), (18) § 23 (при

х — £0) и последующей

ссылки

на теорему

16.

У р а в н е н и я в в а р и а ц и я х

Иногда

бывает

нужно

получить

некоторые

сведения

о

производ­

ных решения ф(£, р) уравнения

(2) по

параметрам

р.* при

фиксиро­

ванном

значении р =

р*.

Оказывается, что для этого нет надобности

искать решение (p(t, р)

уравнения

(2)

при

переменном

цл

и

затем

дифференцировать

его

по

р*

а можно

получить эти сведения из

рас­

смотрения некоторой системы линейных дифференциальных

уравне­

ний.

Аналогично обстоит

дело и с

изучением

производных

решения

ф(С

I)

Уравнения (18)

по начальным

значениям

\}

при

фиксирован­

ном

| =

х 0.

р) =

(ср1 (t,

|и),

. . . , ср" (t,

р)) — непродолжаемое ре­

Б) Пусть ф (t,

шение

уравнения

(2)

с

начальными

значениями

t0,

х 0,

и

пусть

mx<^t

— интервал

его

определения при

фиксированном

значе-

нии

(Lt =

jul*. Если частные производные

df‘

правых

частей

системы

^

(1) непрерывны

в области

Г,

то,

в силу

теоремы

16,

частные

произ­

водные

ц*) =

ф '(0 ,

вычисленные при

р =

р*,

определены

и непрерывны

как

функции t

на всем интервале mi<^t <^т.2. Положим:

/}(<>

х,

р ) =

dfl{t'd *,'

^

;

/ ‘(0 = /j ( C

ф(С М*)>

И*).

ei (t,

х,

р) =

:

gi (0 =

ei V.

ф (*.

V*)>

V*)•

В силу

теоремы 13,

функции

и g k‘ (t)

переменного t

определены

и непрерывны

на

всем

интервале

mx<^t <^/я4.

Система

линейных

Уравнений

*

V = 2 / ‘ (ОУ + 4 (0 .

(19>

J= 1

определенная па интервале mi<C,t

называется

системой

у р а в ­

не ний

в в а р и а ц и я х

(по параметрам) для системы ( 1) при

М' =

р*. Оказывается,

что

система

функций

VI =

ф» (о........./■ =

<!>£'О

(20)

7 Поитряпш Л . С. •

194

ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

является

решением

системы

уравнений

(19)

при

начальных

усло­

виях

ФК<о) = 0.

(21)

Для

доказательства

предложения

Б)

подставим

в систему

(1) ее

решение х = цi(t, fi).

Мы получим

тождество

=

Ф (t,

fi),n).

(22)

В силу теоремы

16

обе

части

этого

тождества имеют производную

по jx* при pi =

[!.*,

определенную

па

всем

интервале

причем

д д<р‘(t,

ц )

д

d<f' (t, pi)

dfik

dt

dt

dijk

Дифференцируя тождество (22) по [л* при pi = p*, мы, в силу сказанного, видим, что функции (20) составляют решения системы (19). Для получения начального условия (21) достаточно продифференци­ ровать по р.* начальные условия

			< р '( < о .			=
Таким образом,		предложение		Б)	доказано.
В) Пусть	<р(7,	§) = (<?'(*> 1),....			<рn(t, I)) — непродолжаемое ре­
шение уравнения (18) с начальными значениями							t0, | и		—
интервал его определения при фиксированном значении								| =	аг0. Вейлу
теоремы 17	частные		производные
				*,) =		ф*(0 ,
вычисленные	при |	=	дс0, определены		и	непрерывны		как	функции t
на всем интервале			т.2.	Положим
f ‘j(t, х ) =			df2 j Х> ■		(0 = /,( * .		ф(*> *<,))•

Функции / ‘ (О переменного t определены на всем интервале m2<^t <^mt. Система линейных уравнений

		7 = 1				(23)
определенная	на	интервале vi2<^t<^m%,		называется	с и с т е м о й
у р а в н е н и й	в	в а р и а ц и я х (по	начальным значениям)			для си­
стемы (17) при начальных значениях			t0,	Оказывается,	что	система
функций		у'=ть. . . .	у = * 7 ( 0			(24)

§ 241

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

195

является

решением системы

уравнений

(23)

при начальных условиях

% (*«) = S',

(25)

где

8‘. =

0 при /

у,

а 8| =

1.

Тот факт, что

система функций

(24)

составляет

решение линей­

ной

системы (23), доказывается точно так же, как в предложении Б), —

путем подстановки в систему (17) решения

лг =

ф(£, |) .и последую-

шего дифференцирования полученного тождества по

Начальные

условия

(25) получаются

из

начальных

условий

?Ч*о, 1 ) =

*''

дифференцированием

их

по

П р и м е р ы

1. Пусть

x ' W V ,

....

* " ) = /'( * ) .

/ =

1,

п,

(26)

— автономная система дифференциальных

уравнений

и

x — f ( x )

(27)

— ее векторная запись.

Пусть,

далее,

а = (а\

. . . ,

ап) — положение

равновесия этой системы (см. § 15), так что

f L{a) — 0

и

система

функций

х 1= а у, ....

х п =

ап составляет

решение

системы

(26). Ре­

шение уравнения

(27)

с начальными значениями

0,

§

обозначим

через

ф(*.

S) =

(?*(*.

6).

. . .f(t>.

ш

Вычислим производные

д

?‘ (t

а) :

■■Yjit)

(28)

от функций tp‘ (t,

|),

вычисленные

при |

=

а,

пользуясь

предложе-

нием В).

Функции

' yvH—

dxf

а/

являются в этом

случае

константами.

Таким

образом, система

урав­

нений в

вариациях (23)

в данном

случае

есть

линейная

однородная

система

с постоянными

коэффициентами

У =

£ )

а‘у \

(29)

7-1

ипроизводные (28), являющиеся решениями системы (29), легко мо­

гут быть	найдены, в то	время как решение ф(<, |) при переменном
| найти,	вообще говоря,	трудно.

7 *

196			ТЕОРЕМЫ	СУЩЕСТВОВАНИЯ		ГГл. 4
Система уравнений в вариациях (29) играет важную роль для
изучения	поведения		решений	уравнения (27)	вблизи	положения рав­
новесия	а,	как это	мы увидим в следующей		главе.	Там, однако, си­
стема (29)		появляется не как		система уравнений в		вариациях, а как

линеаризация системы (26) вблизи положения равновесия а. Линеари­ зация системы (26) осуществляется следующим образом: вместо не­ известных функций х 1, ... , х'г вводятся новые неизвестные функции

бхг1, . . . , Зх"

по формулам

х ‘ = а14 ~ Ъх1, i — 1, . . . , п.

(30)

Производя в системе (26) замену переменных (30) и разлагая правые

части в ряды Тейлора по новым неизвестным функциям Зх1, . . . ,						ох”,
мы получим:
d	8х ‘ = / ' (а) -(- 2	д/‘ (а)	Зх'	+ . . . = 2	а1.3.	(31)
dt	j=	дх!			1
		1		/= 1

где не выписаны члены второго порядка малости относительно вели­ чины 8х ‘.

Линеаризуя систему (31), т. е. сохраняя в ней лишь линейные члены, мы получим систему уравнений, совпадающую с системой (29).

§ 25. Первые интегралы

Здесь будет дано понятие о первых интегралах и решена краевая задача для линейных уравнений в частных производных.

П е р в ы е и н т е г р а л ы

Пусть

х 1— f (х1, . . . , х"), 1 = 1 ,

(1)

— нормальная автономная система уравнений, правые части которой вместе с их частными производными определены и непрерывны на некотором открытом множестве Д пространства переменных х 1, ... , х п, и пусть

Х = / ( Х )

(2)

—векторная запись этой системы. А) Функция

и ( х \

х п) = и (х),

определенная и непрерывная вместе со своими частными производ­ ными на некотором открытом множестве Q, содержащемся в Д, на­ зывается первым интегралом системы ( 1), если при подстановке в

§ 25]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

197

нее произвольного

решения х =

ф(£)

уравнения

(2),

траектория

ко­

торого целиком расположена

в

множестве

О,

мы получаем постоян­

ную относительно t величину,

т. е. функция

и (<р (t))

зависит только

от

выбора решения

ф(£), но

не от

переменной

t.

Оказывается,

что

любой первый

интеграл и(х)

системы

(1)

удовлетворяет

условию

£

(3)

1ass 1

и что, обратно, всякая функция и (х), удовлетворяющая

условию

(3),

является

первым интегралом системы (1).

системы

(1)

удовлетворяет

Докажем, что первый интеграл ч(х)

условию (3). Пусть |

— произвольная точка множества G и х — ф (t, |) —

решение уравнения (2)

с начальными значениями

0,

Мы имеем;

d

н(ф (*.

S))|, = 0 =

Ал

(|)t i

/tv

dt

> ('5Л

1=

1

так

как

| — произвольная точка

из

G,

то

соотношение (3) выполнено

на

множестве

G.

что для

функции и (х)

выполнено соотноше­

Допустим

теперь,

ние

(3),

и

пусть

х =

ф (0 — произвольнее

решение

уравнения

(2),

траектория

которого

лежит

в

G. Подставляя

х — ф (t)

в функцию

и(х), мы получим

некоторую

функцию

V (0 = и (ф (t)).

Дифференцируя эту функцию

по t,

получаем;

П

d v ( t )

_ _ \

Л * « » =

(!.

d t

Ал

/= I

Таким образом, п(ц>(1)) не зависит

от

t.

В дальнейшем изучение первых интегралов системы (1) будет

проводиться

чисто

локально

в некоторой

окрестности

точки а

от­

крытого множества Д, не являющейся положением равновесия си­

стемы	(1);	(4)
	П а ) Ф 0.
В)	Первые интегралы
	и1(х), . . . . и* (х)

системы (1), определенные в некоторой окрестности точки а (см. (4)), называются независимыми в точке а или просто независимыми, если функциональная матрица

/ — I. . . . . ",

198

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

имеет ранг

k.

Оказывается,

что

в некоторой окрестности

точки а

(см. (4))

существуют п — 1 независимых

первых

интегралов

системы

уравнений (1).

Докажем это.

Так

как

вектор /( а ) отличен

от

нуля,

то

отлична

ст нуля

хотя

бы

одна

из

его компонент. Будем

считать,

что

/ я ( в ) ^ 0.

Пусть |

=

(Е1, . . . ,

{“'Л

а") — точка, близкая к точке а, и л; = ср (t, |) —

решение уравнения (2) с начальными значениями

0,

В координат­

ной форме

решение это

можно записать

в виде:

•*' = '?'(*>

Е\

. . . .

Е”' 1),

1 = 1 , . . . .

п.

(5)

Будем рассматривать эту систему соотношений как систему уравне­

ний	относительно		неизвестных
					Е1, . . . , Е"-1, t.			(6)
При	х 1— а1, 1 =		1, .. ., п,		эта	сист!
решение		Е1:- Я 1,	....	\п-' = ап- \			t
литель системы (5) отличен от нуля
В самом деле,
		«г(0.	Е1,	■... E"-,) = 5i.
		9я (О-		....	E"-1) =		e".
и потому
<v'(0, о1,		.... , в»-‘) _		S‘,	/ = 1 .		..	j — 1, .... я — l;
		. . . .	ап~1) = / " ( а )			7^0.		(7)

Отсюда видно, что интересующий нас функциональный определитель отличен от нуля. Таким образом, существует такая окрестность О точки а, что при х, принадлежащих О, система уравнений (5) разре­ шима относительно неизвестных (6) (см. § 33) и решение записывается в виде:

		61= н1 (ЛГ).........Е" -1 = пл 1 (х),					t — v(x).		(8)
Покажем,	что функции
			Ы1 (х), ... ,		ип~1 (х),				(9)
входящие	в эти соотношения, являются					первыми		интегралами	систе­
мы ( 1), и притом независимыми в точке						а.	Функциональная матрица
системы (5)		найдена (см.	(7)); из ее		вида		легко	следует, что	функ­
циональная		матрица
		/ да' (а) \		i, j —	1.........я — 1
		\~dxJ	У’

5 25]		ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ					199
является	единичной, и потому функции (9) независимы.					Покажем,
что они	являются	первыми	интегралами	системы (1).	Для	этого	до­
статочно	доказать,	что при	подстановке	в функции	(9)	любого	ре­

шения X— <р (t) уравнения (2) они превращаются в величины, не за­

висящие от t. Так

как система (8) является обращением системы (5),

то функции (9) удовлетворяют тождествам

и'(ф(*. §)) =

«'.

/ = 1, ....

(Ю)

(см. § 33, пример

1). Таким образом,

при

подстановке

в функции (9)

решения дс = q> (if,

|) мы получаем величины, не зависящие

от t.

Пусть

теперь

jc— ср(0— произвольное

решение

уравнения

(2),

проходящее в окрестности G. Пусть

^0, х 0 — его

начальные

значения,

причем д;0

принадлежит О. Так как система (5) разрешима при х — х а,

то

существует решение x — <f(t, |

0),

проходящее

через

точку

дсс, и

потому решение <р(0 может

быть

записано

в виде:

ф it) =

ф (* +

с, go),

где

с — константа

(см. § 15, Б)).

Таким

образом, при

подстановке

л: =

ф(£) в функцию и‘ (х) получаем,

в силу (10):

,<г (ф (0) =

иг (ф (t +

с,

£»)) =

;',

г = 1 , ....

л —

1.

Итак, предложение Б) доказано.

В) Пусть

и' (х),

... , и"-1(х)

(11)

— независимые в точке а первые интегралы системы уравнений ( 1), причем

п‘ (а) = Ь‘, 1 = 1 ,	. . . , п — 1; b = (bl,	. . . . bn~l),
и пусть w (x) — некоторый	первый интеграл	системы (1), опреде­

ленный в окрестности точки а. Существует тогда такая функция

W'fy1, •••, у п~1),		определенная на	некоторой окрестности		точки b
пространства	переменных у 1, ..., у"-1,			что имеет место	тождество
		w (x )= W ( u '( x ),	...,	H«-‘ (jf))	( 12)
на некоторой окрестности точки а.
Докажем	это.	В силу А), первые интегралы и1 (х).........и"-1 (л:),
w(x) удовлетворяют соотношениям

ди’ (х)	/'( * ) = 0	,
2 д х ‘
	С dw(x)		f
	2 д х 1

/ = !- п — 1;

(jc)= 0.

Таким образом, эти первые интегралы зависимы (см. (4)). В то же время первые интегралы (11) независимы. Отсюда, в силу известной