книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

2 3 0

УСТОЙЧИВОСТЬ

(Гл. Б

налом и,

т, е.

Xi (X 100) = «■

X

1(Xi (")) =

".

Функция

у =

/,

называется функцией

последования.

Для

доказательства предложения

Б)

используем предложение А),

считая, что

=

а,

| — g(u),

tv =

k~,

где

k — произвольное целое

число.

(В действительности

мы используем

лишь

значения

k =

— 1,

О, —j—1.)

В силу

предложения А), существуют непрерывные функции

tk {u) =

tk (g (»))

и

Xk00 = vk(ff00)> удовлетворяющие условиям:

Ф(М")>

g 00) — g (lk 001

tk {uli) = kx,

х*(«о) =

"в.

(7)

причем,

в силу

единственности, функции, удовлетворяющие

этим

условиям, определены однозначно. В частности, / () (и) = и.

Докажем,

что

X* 0/л (»)) == 1ш 00•

(8)

Пользуясь

соотношением

(7) и

предложением

В) § 26,

получаем:

g (X* (X/ (и))) = Ф (** (X/ (и)),

g

(Xi («))) =

=

Ф Ok (Xi («)). Ф (^i(«). £ (и))) =

Ф Ok (Xi (и)) -г гг (и). £

(«)).

причем

выполнены

условия

lk (Xi («о))

(«в)=

(н«)

0 Oh) — 0* ~т 0

Ik (X/ Oh)) — <h-

С другой

стороны,

мы имеем:

g(Zk+iOO) = <fOk+iOO, gOOl,

причем

У м

Oh) =

Oh) — {k - f 0 t.

В силу единственности функций, удовлетворяющих условиям (7), мы получаем:

**(X i(«)) + * i(") =	**+i (и);
lk (Xi («)) =	Х*ы («)*
Таким образом, соотношение (8) доказано.
В частных случаях, когда k — — 1, / — + 1 и k =		1 = — 1,
получаем:

X-i(Xi ('О)= Хо ('О = «.

XI (Х-1(и)) = Хо 00 = и-

Таким образом, функции х — Xi и Х- 1==Х- 1 взаимно обратны. Докажем теперь, что при достаточно малом I и — н01 траектория

ф(<, и) первый раз пересекается с L при возрастании t в момент

5 23 1

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

231

времени /, (н), а при убывании

t

— в

момент времени t_x (и).

Из един­

ственности пересечения (см.

А))

следует,

что

на каждом

из

интерва­

лов 11 — (— т) | <( г,

| f | <

в,. I # — х]<^г

траектория tp (i,

и)

пересе­

кается с отрезком L в единственной

точке.

Других

пересечений

с

отрезком

L

траектория

<р(t,

и)

при

1^ 1<С(£ +

")

и достаточно

малом | и — ий \ вообще

не

имеет

по

сле­

дующим соображениям.

Часть

К*

траектории

К,

списываемая

точкой tp (t, а),

когда

г -g; t ^

(т — г)

или

—

— г) sg; t ^

— г,

(9)

является замкнутым множеством, которое

не

пересекается

с

замкну­

тым множеством

L

и

потому

расстояние

р между

множествами

К* и

L положительно. Далее, в силу предложения Г) § 23, расстояние

между

точками

ср(^,

а)

и

<р(^,

и),

когда

t

принадлежит

множеству

(9), меньше р, если только величина

| и — иа \

достаточно

мала.

Таким

образом, и траектория ср(^ и),

когда t

принадлежит

мно­

жеству (9), не пересекается с отрезком L.

Итак, предложение Б) доказано.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

20.

Выберем

на

фазовой

пло­

скости Р прямолинейный отрезок L, пересекающий кривую К, не ка­

саясь ее,

в единственной точке а, внутренней для отрезка L. Введем

на отрезке I. числовую координату и обозначим через

координату

точки а. Для определенности

будем

считать,

что точкам

отрезка L,

лежащим

вне кривой К, соответствуют координаты, большие н0,

а точкам,

лежащим

внутри

К, — координаты,

меньшие

н0Через X

обозначим

функцию последования, соответствующую отрезку L (см. Б)).

Таким

образом,

для

всех

чисел

достаточно

малого

интервала

| и — пи|

а

траектория

уравнения

(2),

начинающаяся

на

отрезке L

в точке р

с координатой и, при возрастании

времени

впервые

пере­

секает

отрезок

L в точке

q

с

координатой

y(u) — v.

Мы

имеем, очевидно:

у (н„) =

щ.

Далее,

если

для

числа и

выполнено

равенство

у (и) — и,

( 10)

то траектория,

начинающаяся

в точке р

с координатой

и,

замкнута.

Так как,

по

предположению,

траектория

К

является

изолированной

замкнутой

траекторией,

то

существует

настолько малое

положитель­

ное число

а,

что

при

|и — Мо|<Са уравнение

(10) имеет единственное

решение

и — ц0.

Из

этого

следует,

что

для

всех

точек

интервала

'С 11

» « а

имеет место одно из

неравенств:

X 0 0 <

">

0 1 )

X (" )> « •

( 12)

232	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
В самом деле, если бы	для некоторых точек этого интервала	имело

место неравенство (11), а для некоторых — неравенство (12), то, в силу непрерывности функции у, на том же интервале нашлась бы точка и,

для которой выполняется равенство (10), что невозможно.

Так

как

траектория, начинающаяся в точке р

с координатой и, принадлежащей

интервалу

н0

и <[ н0+

а> пе может

пересечь

траектории

К,

то

обе

точки р

и

q

лежат

по

одну

сторону кривой

К

(а именно,

вне

К),

так что

X (") > "о-

(13)

Рассмотрим

теперь

случай,

когда

для

всех

точек

интервала

и0

и

«о -j- а

имеет место

неравенство

(11). Пусть н, — произволь­

ное число этого интервала.

Определим индуктивно последовательность

чисел иь и.ь ...,

положив:

Н/+1 =

X(и|)>

г =

1,

2 ,...

(14)

В

силу

неравенств

(11)

и (13)

эти

числа

расположены

на

интервале

ио <С w <С г,« “f" а

и образуют

убывающую

последовательность.

Следо­

вательно, они имеют некоторый

предел и*. Переходя в равенстве (14)

к

пределу

при

г о о ,

получаем

у (и*) — и*,

а

так

как

точка

и*

принадлежит интервалу | и — z/0 !<^a,

то>13 силу единственности реше­

ния уравнения

(10)

на

этом

интервале,

и* — щ.

Итак,

lim

ut =

u0.

i

-> оо

Обозначая через /?, точку отрезка L с координатой и{, мы видим, что

последовательные

точки

р ь

р.ь ...

пересечения траектории,

начина­

ющейся

в p lt

с отрезком L сходятся

к точке а, лежащей

на траек­

тории К ■Так как время

перехода

по

нашей

траектории

от

точки p t

до

точки p i+i

близко

к

периоду т предельного цикла К (и, в

частно­

сти, ограничено), то при

росте

i весь

отрезок

траектории от точки р {

до

точки

p i+i

прижимается

к

траектории К

(см.

§

23, Г)).

Это и

значит,

что

траектория, начинающаяся

в точке р 1у

спирально

наматы­

вается на траекторию К при £-*■-}- оо. Таким образом, доказано, что при выполнении неравенства (11) траектория, начинающаяся в любой точке отрезка L с координатой и, принадлежащей интервалу н0<^и<^

а, спирально наматывается на К при t-+ -\-co .

Если	на интервале	щ	и н0 а имеет место неравенство (12),
то для обратной к у		функции у 1 на некотором интервале
Uq-f- р	имеет место	неравенство

'/Г1( ® ) 0

Исходя из пего, мы точно так же покажем, что в этом случае любая траектория, начинающаяся в точке отрезка L с координатой v, при­ надлежащей интервалу и№ v Чц-{- р, спирально наматывается на траекторию К при t — оо.

§ 2 8 ]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

233

Аналогично исследуется поведение траекторий, начинающихся на отрезке L в точках с координатами и, из достаточно малого интер­

вала д0^> и ^> lh — Т-

Так как каждая траектория, проходящая достаточно близко от

траектории К,	пересекает отрезок L			в	точке с	координатой, доста­
точно близкой	к н0, то мы		разобрали		поведение	в с е х траекторий,
близких к предельному циклу.
Таким образом,		теорема	20 полностью доказана.
З а м е ч а н и е .		Для того	чтобы	объединить		в одной формули­

ровке связь между поведением функции у (и) вблизи нп с поведением

как внешних, так и			внутренних		траекторий,		мы рассмотрим нера­
венства
			1X00 — но I <			I н — ио1> 1
			IX(") —"о I >			I « —»о I- I
Если	в полуокрестности линии			К (внешней			или внутренней) выпол­
нено	первое	из этих	неравенств,		то	точка q	находится	на линии L
б л и ж е к а,		чем р,	и потому	в	этой полуокрестности			траектории
спирально наматываются на К при					£ -> -{-оо. Если же в полуокрестно­

сти выполнено второе из неравенств (15), то в этой полуокрестности

траектории спирально		наматываются	на	К при			t — — оо.
В) Функция последования x = /.i			и	ее обратная функция					у-1 — y_i
(см. Б)) имеют непрерывные производные.							/л (и), k — ±		\ ,	опре­
Для	доказательства	напомним, что функция
деляется	из уравнения	(7):
	<Р0 *. £(«)) — £ Ы				=	°>				(16)
где и является независимым переменным,						a tk и yk		определяются
как неявные функции		переменного и.	Так		как		функция	ф(£,	|)	имеет

непрерывные частные производные по компонентам вектора | (см. теорему 17), а функция § = g(ii), являющаяся линейной относительно й, имеет непрерывную производную по и, то левая часть соотноше­ ния (16) имеет непрерывную производную по и. Поэтому, в силу

теоремы 28,	неявные функции	tk (u)	и yft(n), определяемые уравне­
нием (16), имеют непрерывные производные по и.
Таким образом, предложение В) доказано.
Большую	привлекательность	имеет геометрическое изучение функ­
ции последования у (и). Изобразим ее			в виде графика	уравнения
	v = x 0 0			(17)
в плоскости	переменных м, v,	считая	при этом для	удобства, что

»о^>0. Для того чтобы изучить решение уравнения (10), мы рас­

смотрим наряду с кривой (17) биссектрису первого		координатного
угла	U
V—		(18)

2 3 4	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
(рис. 45). Для	нахождения всех решений уравнения (10)	следует

найти все точки пересечения линий (17) и (18). Для того чтобы замкнутая траектория К была предельным циклом, необходимо и доста­ точно, чтобы точка (//0, н0) являлась изолированной точкой пересечения графиков (17) и (18). Если эти

графики	не касаются		друг друга
в точке	щ), т. е.	если / ' (и,) ф 1,
то точка	(»0, ut)	их	пересечения

обязательно изолированная. В этом

случае	траектория		К называется
грубым	предельным		циклом.		При
X (?,о) <С 1 (см.		Рис-	45)	в	обеих
полуокрестностях		очевидно		выпол­

нено первое из неравенств (15), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При у'(и0)^>1 (рис. 46)

выполнено второе из неравенств (15), и, следовательно, предельный

цикл К вполне неустойчив.
Если графики (17) и (18)	касаются друг	друга в точке	(мв, и0),
но кривая (17) переходит с	одной стороны	биссектрисы	(18) на

другую, то предельный цикл К является либо устойчивым, либо вполне неустойчивым. Если же кривая (17), касаясь биссектрисы (18), нахо­ дится по одну ее сторону (рис. 47), то соответствующий предельный цикл является полуустойчивым.

К р и т е р и й с у щ е с т в о в а н и я п р е д е л ь н о г о ц и к л а

Г) Пусть <р (t) — некоторое решение уравнения (2) (п првизвольно), определенное для всех значений и остающееся для этих зна­ чений t в замкнутом ограниченном множестве F, расположенном в Л.

§ 2 8 ] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 235

Почка р пространства		R называется	^-предельной	точкой решения
Ц (0,	если существует	такая неограниченно возрастающая последова­
тельность значений (больших /0)
	11)	•••> tk,	lim tk — oo,
			A-^co
ЧТО		lim Ф (<*) = p .
		A -►oo
Совокупность 2 всех («-предельных			точек решения <р (t) называется
его	ш-предельным множеством.		Оказывается,	что множество 12

непусто, замкнуто, ограничено и состоит из целых траекторий; последнее

означает, что если точка |

принадлежит 2 ,

то решение ф (t,

|)

с началь­

ными значениями (0, |)

определено

для всех значений t, и вся траек­

тория ф (t, |)

входит

в

множество

2. Очевидно, что м-пределыюе

множество траектории ф(£, |) целиком содержится в 2 .

Докажем предложение Г). Из замкнутости и ограниченности мно­

жества F следует,

что

множество

2

(очевидно,

содержащееся в F)

непусто и ограничено.

Покажем, что оно замкнуто. Пусть

Р н />*•••. />*. • • •

— некоторая

последовательность

точек

множества

2 ,

сходящаяся

к некоторой

точке р

множества Д;

докажем,

что р

принадлежит 2 .

Пусть £], £.2; ..., £*, ... и

s2, ...,

sk, ...

— две такие последователь­

ности положительных

чисел, что

Пгп

= 0;

lim s/; = oo.

А-* 00

А-►СО

Так

как точка

p k

принадлежит 2,

то найдется такое значение

что

расстояние

между точками р и и ф^*)

меньше

еА. Для выбранных

значений

th

t.h ..., tk, ...;

lim tk — oo

A-+oo

мы получаем

lim <$(tk) ~ p ,

A-*oo

а это значит, что точка р

входит

в 2 .

Покажем теперь, что множество

2

состоит

из

целых

траекторий.

Пусть | —произвольная точка множества

2

и ф (t, |) — решение с началь­

ными значениями (0, |).

Пусть, далее,

Т — такое

значение

перемен­

ного

t (оно

может

быть и отрицательно), для которого решение ф (*, |)

определено,

так что точка

ф(7", |)

существует. Так как точка | при­

надлежит 2 , то найдется такая неограниченно возрастающая последо­ вательность

• • •)	• • •»	lim tk — oo,
		ft-» 'jo

23 6	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
Ч Т О
	Пт ф (**) = £.	(19)
к	оо

Так как решение <р(0 определено для всех достаточно больших зна­ чений t, то при заданном Т определены (начиная с некоторого А) точки

<Р(^+ 7-) = q>(7; ч>(*л))

(см. § 26, В)). Из формулы (19) в силу теоремы 14 мы имеем:

lim ф (tk -(-

Т) =

Пш ф ( Т,

ф (/*)) = ф (7, I),

к - * со

k ~ * c o

а из этого

следует,

что

точка

ф('/',

§)

принадлежит

множеству

2 ,

а следовательно, и множеству F. Таким образом,

траектория

ф (t,

|)

не может

покинуть

множества

F ни

при

t

возрастающем,

ни

при t

убывающем, а потому в силу

предложения

В) §

22 она

определена

для всех значений t.

Итак, предложение Г) доказано.

Рассмотрим некоторые частные случаи

(«-предельного

множества.

Если решение ф (t) (см. Г)) есть положение равновесия, т.

е.

ф (t) =

х„,

то («-предельнее множество решения ф (t)

состоит,

очевидно, из однс й

точки дгп. Если ф (t)

есть периодическое решение, описывающее замкну­

тую траекторию К, то («-предельное множество решения ф (/), очевидно, совпадает с К . Наконец, если К есть периодическое решение, а ф(^)---

спирально навертывающаяся на него при t —»--j-oo траектория, то К есть («-предельное множество решения ф (t).

Докажем теперь теорему, дающую возможность установить в неко­ торых случаях существование периодического решения. В случае анали­

тических правых		частей системы (1) это периодическое решение будет
либо предельным		циклом, либо будет	содержаться внутри			семейства
периодических траекторий (см. пример 3).
Т е о р е м а	21. Пусть qi(t)— решение			уравнения	(2)	(п = 2),
определенное	для	всех значений	и	остающееся	при этих

значениях t в замкнутом ограниченном множестве F, содержа­ щемся в Д, и пусть 2 есть ш-предельное множество решения ф (t). Если множество 2 не содержит положений равновесия, то оно состоит из одной замкнутой траектории К■ При этом воз­ можны два случая: 1) ф (t) есть периодическое решение, а К — опи­ сываемая им траектория, 2) траектория, описываемая реше­

нием ф (t),	при £-»--|-оо		наматывается на траекторию К,	как
спираль.			Если ф (t) — периодическое решение,
Д о к а з а т е л ь с т в о .				то
множество	2	состоит из	единственной периодической траектории К,
описываемой		решением q>((), и утверждение теоремы очевидно (слу-

§ 281	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ		237
май 1). Допустим, что	решение ф (0	не является	периодическим и
пусть Ь — произвольная	точка множества 2. Через точку Ь проведем
прямолинейный отрезок	L, не коллинеарный вектбру f ( b ) фазовой
скорости, выходящему из точки Ь		так как,	по предположе­

нию, точка Ь множества 2

не

является поло­

жением равновесия), и выберем этот отрезок

настолько коротким, чтобы все траектории,

проходящие через точки этого отрезка, пере­

секали его (не касаясь) в том же направлении,

что и траектория,

проходящая

через Ь (рис. 48).

Так как точка b является w-пределыюй для

траектории <р (<), а

последняя

не

является

зам­

кнутой, то эта траектория должна, очевидно,

Рис.

-JK.

бесчисленное множество

раз

пересечь

отрезок

L и

притом в различных точках

(см.

А)). Пусть

а, =

ф(П) и а.г — (f(t2) — две следующие друг за

другом

во

времени

точки пересечения траектории ф(£) с отрезком L. Кусок

траектории ф(0,

обозначим

через

М.

Вместе

с отрезком

а ха.г он

образует

замкнутую

кривую Q, которая разбивает плоскость

па

две

области

Gx

и

G2.

Пусть

h — малое

положительное

число.

Геометрически очевидно (рис. 49),

что точки ф (t2— /г)

и

ф (tt -j-

h)

ле­

жат по разные стороны кривой Q;

будем

считать,

что

первая принад­

лежит

области

G„

а

вторая — об­

ласти

G.2.

Через

отрезок

а ха г

все

траектории

входят

из

области Gi в

область G2. Таким образом, ни одна

траектория

не

может

выйти

из

об­

ласти G* через этот отрезок. Войти

или выйти в область G2 через кри­

вую

М

никакая траектория

также

не может, так как М есть кусок

траектории, а траектории не

могут

пересекаться

между

собой.

Так

как кусок М траектории ф(Г) пе­

ресекается с отрезком L только в

своих

концах,

то

концы

от­

резка L лежат по разные стороны

кривой

Q.

Обозначим

через

а

тот конец отрезка L, который лежит в области

О.,.

Траектория ф (t),

начиная

с t^ > t24 -h ,

вся

протекает

в

области

G* и не

может

пере­

секать отрезок а ха.2,

поэтому

точка

b

не

принадлежит

отрезку

(см. А)), и, следовательно, она должна лежать на отрезке ааг. Если теперь а 3= ф(£3) — следующая (во времени) после а.> точка пересе­ чения траектории ф (^ с отрезком L, то из аналогичных соображений

238	УСТОЙЧИВОСТЬ			[Гл. 5
видно, что она лежит на отрезке Ьа2 (рис. 49).			Обозначая	через
	Й4 — ф (h)> •••> а* =	ф(*л). •••
следующие друг	за другом (во времени)	точки	пересечения	траекто­

рии tp(ft) с отрезком L, мы убедимся, что они образуют на отрезке L

монотонную последовательность

точек,

идущих

в направлении

от ах

к Ь. Покажем,

что

предел

Ь’

последовательности

а 2,

а*

...,

ак> ...

совпадает

с Ь.

мы, прежде всего, докажем,

что

последовательность

Для этого

ftJ;

tb ....

tk, ...

неограниченно возрастает.

Допустим,

что

limftA=

k-* -0 0

=

т <[ -)- оо. Тогда ф (т) =

Ь’ и /( £ ') =

ср' (т) = lim

а это

невозможно, так

как вектор ф (т) — <р (tk) направлен вдоль отрезка L,

а вектор /(* ')

не коллинеарен

этому отрезку. Таким образом, должно

быть

выполнено

соотношение

lim ftA=

оо,

и потому

вся

траекто-

рия

<р (ft)

при

k-* -0 0

аь

а,г........ак, ...

пересекается с L лишь в точках

Следовательно, эта траектория имеет на отрезке L лишь одну («-пре­

дельную точку

Ь' (см. А)), так что Ь' — Ь. Отметим,

что в проведенном

доказательстве

было пока

использовано лишь то,

что

с а ма

т о ч к а ft

не является положением равновесия.

Покажем теперь, что траектория <р (ft) не может входить в («-пре­

дельное множество для какой-либо другой траектории

ф (ft).

Допустим

противоположное.

Тогда

каждая

точка

траектории

q>(ft)

является

(«-предельной для ф (ft) (см. Г)); в частности,

таковой

будет

точка а 2.

Так

как

точка

а 2 не является

положением

равновесия,

то

в силу

доказанного выше

последовательные точки

blt b.2, ..., Ьк, ...

пересечения траектории t|5(ft) с отрезком L образуют монотонную последовательность, сходящуюся к ah и других ш-предельных точек траектории ф (ft) на отрезке L не существует. Но это противоречит тому, что все точки аь а 3........лежащие на траектории <р (ft), являются («-предельными точками траектории ф (ft).

Итак, доказано, что незамкнутая траектория, среди to-предель­ ных точек которой нет положений равновесия, не может быть сама to-предельной.

Так как траектория К содержится в («-предельном множестве & траектории <р (ft), а это множество замкнуто (см. Г)), то все («-пре­ дельные точки траектории К содержатся в 2 и потому не являются положениями равновесия. Таким образом, к траектории К можно применить доказанное выше предложение, так что траектория К должна

S 28]

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ

239

быть замкнутой. Из всего построения видно, что траектория <f (t) наматывается на К, как спираль, и потому множество £2 состоит лишь из замкнутой траектории К, проходящей через точку Ь.

Таким образом, теорема 21 доказана.

При м е р ы

1.Дадим пример системы уравнений вида ( 1) (п = 2), имеющей периодические решения различного типа, в частности предельные циклы различных видов. Первоначально мы зададим ее в полярных координатах ср, р, а затем уже преобразуем в декартовы координаты х, у .

Имея в виду последующее преобразование к декартовым координатам, г:ы зададим ее в виде:

			p = pg(p%			(20)
где g(u) — непрерывно	дифференцируемая				функция своего аргумента,
определенная для всех	неотрицательных			его		значений. При рассмо­
трении в полярных координатах мы будем					использовать лишь поло­
жительные значения для р.
Множество всех положительных значений р, для которых g (p‘) = 0,
обозначим через N, а его		дополнение		в	множестве положительных
чисел — через D. Каждому		числу	п0 из N			соответствует, очевидно,
решение		<Р= t,	Р =	"о

уравнения (20); соответствующая траектория Ки„замкнута: она является окружностью в плоскости Р с центром в начале координат и радиу­

сом щ. Так как множество N

замкнуто

в

совокупности

всех

поло­

жительных чисел, то D открыто и состоит из конечного или счетного

числа

интервалов,

попарно

друг друга

не

пересекающих.

Пусть

гб<СР<Сгл2— один

из

к о н е ч н ы х

интервалов.

Тогда

замкнутые

траектории

К,ц и KUl

ограничивают

в

плоскости

Р

кольцо Q. Для

всех

чисел

р интервала Hi<^p<Cw2 функция ,^(р2) сохраняет знак,

так

что

на

всем интервале имеет место

одно нз

неравенств:

Пусть

g (Р2) <

*(Р4) > 0 .

(21)

<p=

t,

р =

р(£, и)

(22)

— решение системы (20) с начальными значениями i =

0, ср = 0, р = п,

где м,

н

г;4. В силу доказанного в примере

1

§

15

функция р (t,n)

определена

для всех значений t

и при ^-> -]-оо приближается к одному

из концов

интервала »1<^р<^п2, а

ПРИ ^

— 00 — к

другому. Из

того следует, что траектория

(22)

при t -*■-{-со

и t —>— со

нама­

тывается, как спираль на окружности К,п, А'»,. Именно,

если выполнено

первое

из

неравенств

(21),

то

траектория

(22)

представляет

собой