книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

90	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

Из этой формулы видно, что при заданной амплитуде г источника напряжения амплитуда s силы тока достигает своего максимума при

собственной

частоте со = ш, — ■ __контура

5.

При

этой

частоте

V w

г

амплитуды

«

и

г

связаны

соотношением

« =

кон­

—, т. е.

тур

при

этой частоте ведет себя так, как будто

в

нем

имеется

лишь

сопротивление.

Для остальных

частот

амплитуда

s

тока

имеет

меньшее

значение,

f

явление называется

р е з о н а н с о м

чем -й , Это

(ср. § 12,

И

контур

L,

R,

С

р е з о н и р у е т

пример). Колебательный

на свою

собственную

частоту

_

2

( Трансформатор). Трансформатор

состоит

из

двух

обмоток

п е р в и ч н о й

и

в т о р и ч н о й ,

помещенных

на одной

катушке.

К первичной обмотке подключается источник

переменного

напряже­

ния,

ко

вторичной — нагрузка,

например

внешнее

сопротивление.

п

Каждая обмотка имеет индуктивность и сопротивление (внутреннее). Между обмотками имеется взаимоиндукция. Таким образом, транс­ форматор можно рассматривать как электрическую цепь, состоящую из двух раздельных контуров, связанных индуктивно. Первый контур состоит из трех двухполюсников: а^Ьу— индуктивность Z.,; й,с1— внутреннее сопротивление R\] — источник напряжения UaiC= 0(1).

Второй контур состоит также из			трех	двухполюсников:		— ин­
дуктивность	/_2; Ь.гСъ— внутреннее		сопротивление		с2а4— сопро­
тивление нагрузки R. Кроме того, имеется взаимоиндукция ^ а 1ь1!а^ь3~
= М (рис.	15). В силу	1-го закона	Кирхгофа имеем:
Idi&i — Ia,Ci — I		— I ь	!	11>2С%	1с*а% ^2*
Таким образом, мы имеем два контурных тока /[,					/ а. Применяя вто­
рой закон Кирхгофа, получаем:

U О) ==

L p l , { - M p I ^ - R O i - V RU = 0,

§ 13]	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ	91
или	иначе

(LiP -|- Ri) /j-f- М р 1^= U (t), M p l, -f- (L2p -f- -f- R) / 2= 0.

Детерминант D (p) этой системы имеет вид:

D (р) = (UL, - М2)	р2 + (L, /?, + £,/? + U R t) p + Ri (Rt -f- R).
В силу предложения Б) § 9 этот многочлен устойчив (так как Z.t		—
— Л12^>0). Рассмотрим	работу трансформатора в случае, когда	нап­

ряжение U{t) изменяется гармонически, и будем искать установив­

шееся	решение по способу § 12,		Б). Положим:
		£/(*) =	и,еы ,
где «1 — действительное		положительное число (амплитуда напряжения,
поданного на первичную		обмотку).		Неизвестные функции 1и 1.2 будем
искать	в форме			/, = о,еш ,
	/ 1= а1е<“',
где о,,	а4 — комплексные	амплитуды		токов.
Наибольший теоретический интерес представляет идеальный тран­
сформатор, т. е. такой		трансформатор, в			котором	величины R u Rt
и LiL4 — М'г малы. Пренебрегая этими величинами						в уравнениях для
определения величин о, и с4, получаем:
	Lj • 1ша1-|- М • tmai =				ы„
	М */шо| —|—(Z^4• /ш —|—R)				= 0.

Так как М я» то, вычитая из второго уравнения первое, умно­

женное на 'j/'jr*, мы получим:

Таким образом,		амплитуда		ua = ^ |o 2|		падения напряжения на		нагруз­
ке R оказывается			равной
				и2=		Hi!
величина		называется коэффициентом					трансформации.	Таким
образом,	если		Llt то мы		имеем	трансформатор, повышающий
напряжение
				—	> 1;
				«1	^
при	мы		получаем	трансформатор,			понижающий напряжение

- 2 < I.

и.

92	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2
3	(Электрический	фильтр). Рассмотрим электрическую	цепь
с четырьмя узлами a, b,		с, d и пятью двухполюсниками (рис.	16):

ab — индуктивность				L,
Ьс — индуктивность				той	же	величины			L,
bd — емкость		С,						U (О»
ad — источник			напряжения Uad(t) =
cb — сопротивление				нагрузки R.
Положим:				^а&==А>			1 Ьс —
Тогда в силу 1-го закона Кирхгофа имеем:
			lbd — h —					hd==h'
На основании 2-го			закона		Кирхгофа получаем:
			U a b		U b c “ Ь U c d 4 ~ U d a —
					U b c + U c d “Ь U d b —
ИЛИ
			L p l i	+	L p U	+	R U —		U(t) =	0,
			L p l %	+	R h ~^~~Cp				— ^i) =
Умножив	второе		уравнение			на	p,	получим		следующую систему;
			L p li + (Lp-{-R)Ii = U(t),
	—ZT ^1				Rp ~Ь "с) ^ ~
Детерминант этой			системы имеет вид:
		D(p) = L V +				W		+	^ T + - § .
Согласно теореме 6 многочлен D (р) устойчив. Будем теперь считать,
чго и =	Ьеш ,	где Ь — действительная							амплитуда напряжения (см.

§	u	.i		НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА					93
§	12). Неизвестные функции /,				и	будем	искать	в форме
				Ii = a1eimt,		1, = а,еш }
где		at и	а2 — комплексные		амплитуды		токов,	т. е. ограничимся
отысканием			установившегося режима.			падения напряжения (Jcd=			Rh
		Поставим		задачу об определении
на нагрузке.				Мы имеем:	Ъ

(г-^+Чтг

откуда находим амплитуду а — | аг | R напряжения Ucd: bR

С

а = | аа | R =

При малых значениях частоты w мы имеем: ~ ^ 1; иначе говоря, на­

пряжения малой частоты легко передаются через фильтр, почти не меняя амплитуды. При больших значениях частоты мы имеем:

а ^	R
Ъ ~	C L W

так что напряжения высокой частоты почти не проходят, «фильтру­ ются».

§14. Нормальная линейная однородная система

спостоянными коэффициентами

Вэтом параграфе решается система уравнений

•** = 2 а'У> 1 = 1 , ..., п,	(1)
;=1

с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения (см. § 1 1 и, в частности, пример 2 в §11). Здесь она решается путем приведения матрицы Л = (а‘) к жордано-

вой форме. В случае, когда все собственные значения матрицы А различны, возможность приведения ее к жордановой, т. е. в данном случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарный алгебраический факт. В общем случае возможность приведения ма­ трицы А к жордановой форме относится к наиболее сложным резуль­ татам курса линейной алгебры. В дальнейшем в этой книге исполь­ зуются лишь те результаты настоящего параграфа, которые опира­

9 4 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

ются на приведение матрицы А к диагональному виду в случае различных ее собственных значений. Результаты, использующие воз­ можность приведения матрицы А к жордановой форме в общем слу­ чае (предложения В), Г), Ж)), в дальнейшем не применяются и при чтении могут быть пропущены.

Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для реше­ ния системы (1) используется путем линейного преобразования неиз­ вестных функций х \ . . х п. Этот способ изложен в конце настоя­ щего параграфа под заголовком «Преобразование переменных». Дру­

гой

способ, по

существу также

опирающийся

на

приведение матри­

цы

А к жордановой форме,

изложен в первой части

параграфа.

В этом параграфе мы не будем делать

различия

между

матрицей

А и соответствующим ей преобразованием А

в

пространстве векто­

ров

jc = (лг1, .

. ., х п),

так

как

базис

меняться

не будет.

Исключе­

ние составляет

лишь доказательство предложения Е).

С л у ч а й п р о с т ы х к о р н е й х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о

у р а в н е н и я

А)

Система

дифференциальных

уравнений

(1)

в векторной форме

переписывается

в виде:

х — Ах.

(2)

Здесь

А = (а ,),

а вместо системы

х 1...........х п

неизвестных

функций

введен

неизвестный

вектор

х =

(х'...........х л);

под

производной х

вектора

х

понимается

вектор (х 1, . .

£ п). Ес­

ли

h

есть собственный

вектор

матрицы

А с

собственным

значением

X т.

е. если

Ah — Xh

(см.

§

34, Б)),

то векторная

функция х, определяемая соотношением

x =

heu,

является решением уравнения (2).
Последнее утверждение проверяется путем подстановки х =		heu в
соотношение	(2).
Т е о р е м а	10. Пусть
	х — А х	(3)

— такая система дифференциальных уравнений (см. А)), что соб­ ственные значения Хп матрицы А попарно различны, и пусть

Н\, • • •, Йд

§ М]	НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА		9 5
— соответствующие собственные		векторы этой матрицы.	По-
ложим:
	Xi = hieKi?, i —	i, . . п.	(4)
Тогда	векторная функция
	X = ClXi~\~. . . —|—с”х п,		(5)

где с1, . . сп — константы, является решением уравнения (3),

ивсякое решение уравнения (3) задается этой формулой.

До к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения А) каждая функция Xi представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу пред­ ложения А) § 6 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). До­ кажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть запи­

сано в виде (5). Пусть

<р (t) — произвольное

решение

уравнения

(3).

В силу теоремы 3 решение

ср (t)

можно

считать

заданным

на

всей

бесконечной прямой

— с о < ^ < ^ о о . Таким образом, решение

это

оп­

ределено и при t =

0.

Положим <p(0) =

jCo-

Пусть

.—

—j

X q===Ф h\ —

—j

.enJin*

— разложение

вектора

х 0 по

векторам

базиса ft(,

. .

hn (векторы

hi..........

ft„ образуют базис

в

силу

предложения

В) § 34).

Тогда

решение х, определяемое формулой (5),

очевидно,

удовлетворяет на­

чальным условиям

х (0) = х а.

Тем

же начальным

условиям

q? (0) =

лс0 удовлетворяет

и

решение

<р(*); таким образом,

в силу

теоремы

единственности (см. теорему 2),

х =

ф (t).

Итак, теорема 10 доказана.

В случае,

если

матрица

(а}),

задающая

уравнение

(3),

действи­

тельна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений.

Б) Будем считать, что матрица (а}), задающая уравнение (3), дей­ ствительна, и выберем векторы Н\, . . ., Нп таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действитель­ ные векторы, а комплексно сопряженным — комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каж­ дым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены.

Правильность предложения Б) непосредственно вытекает из пред­ ложения Г) § 7.

9 6	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2
	О б щ и й с л у ч а й
	Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матри­

ца (а'■) может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказываемую

алгебраическую теорему о приведении		матрицы к жордановой фор­
ме (см. § 36).
В) Запишем систему (1) в векторной		форме
х — А х		(6)
и пусть
hi,	, hk

— некоторая серия с собственным значением X (см. § 36, А)) отно­ сительно матрицы А, так что выполнены соотношения

Ahi = Xhi, АН^ = Xh-i- f - , ... , Ah^ = Xh/,- j- hk_i-

Введем последовательность векторных функций, положив:

w/- (0 = (r _	j), hi -f- ^ _ 2)! Ь* +			+*/■»	r = \ ......... k.	(7)
Оказывается тогда, что векторные			функции
	Xr — (ar {t)eu,			r = \ , . . . , k ,		(8)
являются решениями уравнения		(6),		причем
	x r (0) — 1гг .					(9)
Таким образом,	каждой серии	из	k	векторов	соответствует система
из k решений.

Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно век­

торных функций (7). Тождества эти следующие:
ior (t) = (ar_i(t),	r =	\ , . . . , k ,
Ator (t) = AO)r (0 + wr-l(0>		r = l ,	k.

В этих соотношениях принято (о0(2) = 0. Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции

(8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:

x r (t) — о>r(t) ёи -|-Хыг (t) eu — ((^r _ i (t) -(-'ш г (0)elt =

= Av>r (t)eu = А х , (t).

Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае.

§ И ] НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 97

Т е о р е м а

11. Пусть

х = А х

(Ю)

— векторная запись системы (1). В силу

теоремы

30 (см. § 36)

существует базис

hi,

... t

hn,

состоящий

из

серий относительно

матрицы

А. Для определен­

ности будем считать, что hi,

...

,

есть серия с собственным

значением

).t;

есть серия с собственным зна­

чением

\ г,

и т. д. В силу

предложения В) каждой из серий соот­

ветствует

система

решений,

так

что

мы

мож< м

выписать

следующие решения уравнения (10):

Xl =

h ie ^ ‘, ...

,

...

X k i - | - 1 : h k i -{-1

!

. . . »

3 — 1

\

/ ' 1 П

—X

\

/

Оказывается,

что

формула

JC =

c1JCj —

... -{- cn x n,

(12)

где cl,

... ,

cn — константы, всегда дает

решение уравнения (10)

и что

каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

функции

х х,

. . . ,

х п

являются

решениями

уравнения

(10)

(см. В)), то в силу предложения

А)

§

6

формула (12) всегда дает

решение уравнения (10).Покажем,

что

вся­

кое решение

уравнгния

(10)при

надлежащем

подборе

констант

с1, ...

, сп записывается

в

виде (12). Пусть

q>(t) — произвольное

ре­

шение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение

<р(7)

можно

счи­

тать заданным

на

всей

прямой

— оо<^7<^оо,

и

потому вектор

ф (0) =

jt0 определен.

Разложим

этот

вектор

по

базису

hi,

...

,

ft„:

x 0 =

cl hi-\- ...

Если теперь подставить найденные константы с1, ... , сп в соот­ ношение (12), то мы получим решение x(t), удовлетворяющее на­ чальным условиям

х (0) = с1Xi (0) -)- ... -(- с” Хп(0) =	с1hi -	|-	... -f- сп hn =	Хц
(см. (9)). Таким образом, решения <р(£)	и х (t)	имеют общие		началь­
ные значения и потому совпадают.
Итак, теорема 11 доказана.
Теперь нам осталось выделить из	решений,		заданных формулой

(12), действительные решения в случае, когда матрица (aj) действи-

4 Понтрягин Л. С.

98	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2
тельпа.	Делается это совершенно так	же, как и в случае		простых
корней	характеристического уравнения.
Г) Предположим, что матрица (а!), определяющая уравнение (10),
действительна. Выберем в этом случае		базис h u	hn по	способу,
предусмотренному в теореме 30 (см. §		36) для случая, когда		матрица

(а‘) действительна. При таком выборе базиса среди решений (11),

построенных	в теореме 11, будут, с одной стороны, действительныз,
с другой же	стороны,— попарно	комплексно	сопряженные. Оказы­
вается, что решение (12) тогда и		только тогда	действительно, когда

константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, ком­ плексно сопряжены.

Предложение Г) непосредственно вытекает из предложения Г) § 7. В заключение следует отметить, что изложенные выше результаты настоящего параграфа тесно связаны с результатами § 7, 8. В па­ раграфах 7, 8 было рассмотрено одно однородное уравнение «-го порядка с постоянными коэффициентами. По методу § 4 это урав­ нение может быть записано в виде нормальной системы из я уравне­ ний. Таким образом, результаты § 7, 8 можно было бы вывести из результатов настоящего параграфа. При этом оказывается, что харак­

теристический		многочлен	полученной нормальной системы			совпадает
с характеристическим многочленом исходного уравнения.
		П р е о б р а з о в а н и е п е р е м е н н ы х
Д) В	системе уравнений (1),			определяемой	постоянной	матрицей
А = ( а ‘),	вместо неизвестных функций
			х \	х п		(13)
введем новые		неизвестные	функции
			/ ........ У .			(14)
положив
		У = 2	4 у	У = 1 , ...»	Я,	(15)
		<=i

где s i — постоянные коэффициенты, образующие невырожденную мат­

рицу S = (s 'i). В новых неизвестных наша система запишется в виде:

/ =

г = 1 , . . . , « ,

(16)

§ 14.] НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ' 9 9

где	матрица B = (blj) получается	из	матрицы А		по формуле
	B =	S A S ~ K					(17)
	Докажем это. Дифференцируя соотношение (15)					по	t, получаем
	П
	/ = 2${■*',		; =	п.			(13)
	/=1
Таким образом, компоненты вектора			х = (х1, ...		,х л)	преобразуются
так	же, как компоненты вектора		х =	(хх, ...,	х п).	Из	этого уже

следует формула (17) (см. § 34, А)). Проведем, однако, доказательство, данное там, заново. В матричной форме соотношения (15) и (18)

переписываются в	виде:
	у — Sx, у = Sx;
и мы имеем таким	образом
	y — S x = S A x = S A •

Этим формула (17) доказана.

Подбирая должным образом матрицу 5, мы можем добиться того,

чтобы матрица В получила наиболее	простой вид. Так как преобра­
зование (17) матрицы А в матрицу В есть трансформация матрицей S,
то мы можем достичь того, чтобы матрица В имела жорданову форму
(см. § 36, Б)).
Е) Если собственные значения
...,	Х„

матрицы А системы (1)	все различны между собой, то линейное
преобразование (15) можно		выбрать так, что	система (16) полу­
чает вид:
=		k = \ , . . . , n .	(19)

Если, сверх того, матрица А действительна, так что в последо­ вательности Х1(... , Х„, наряду с каждым комплексным собствен­ ным значением Хк, имеется комплексно сопряженное ему значение

X; = Xft, а переменные (13) действительны, то преобразование (15) можно выбрать так, чтобы каждому действительному собственному

значению Ху, соответствовало действительное переменное							у 1, а паре
комплексно	сопряженных		собственных		значений	\ k и	X, — ком­
плексно сопряженные		переменные		у к	и У = у * .	Таким	образом,
сопряженным	собственным		значениям		соответствуют		сопряжен­
ные уравнения
	/	=	ХЛ/	=	X* у*.		(20)

4»