книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

180

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

R некоторую кривую Q. Пусть а и b — два положительных числа. Обозначим через П совокупность всех точек (t, х , pi) пространства R, удовлетворяющих условиям:

tn^ t ^	r b \ Х — ф	(/, pi*)|-=^a, |в — В * | < # -	(4)
Из того, что Q	представляет	собой замкнутое ограниченное	множе­

ство, содержащееся в открытом множестве Г, следует существование

таких положительных чисел а и Ь, что множество П

также

содер­

жится

в Г. В дальнейшем мы будем считать, что числа

а и b удовлет­

воряют этому условию. Так как производные (2)

непрерывны

и

по­

тому

ограничены

по модулю

некоторым

числом

К

на

множестве

И, то, в силу неравенства

(6) § 21, для точек ( i , Х\,

ft), (t,

х ь

pi)

множества П выполнено соотношение

I/O .

Х-i, pi) —/ ’(t,

р ,)]^:л 9/С|л:2 — дг,|.

(5)

Далее, из равномерной непрерывности (см. §

32,

И)) функции f ( t , х,

jli)

на множестве Н следует

существование

такой

монотонной

положи­

тельной функции

(32(е) положительного

переменного

s,

стремящейся

к нулю вместе с е, что для точек (t, х, pi*), (/, х, pi)

множества

Й

выполнено соотношение

\ f ( t ,

х,

х, p i * ) | < M l B — 1**1).

(6)

Пусть теперь л' = ф(Б

pi), | pi — pi* | ^ . b

— решение уравнения (3)

с начальными значениями

(f„, лг„). В силу

предложения

Б)

§

22

точка

(Р, ф(Р, pi), pi) должна покинуть замкнутое множество П

при Р

(pi).

Через Р2 мы обозначим то значение Б при котором точка (t , ф (Р, pi), pi)

впервые достигает границы			множества		П. Очевидно,	что Р0<^ Р2 sc; О-
Дадим оценку	разности	|ф(Р, pi) — ф(Р,			pi*) | на отрезке		+
Для этого запишем уравнение (3) в интегральной форме (см. § 21,							А))
для значений	параметра	pi	и pi* и	вычтем второе		интегральное	со­
отношение из	первого;	мы	получим:
		t			pi) —/О , ф(т, pi*), pi*))di
ф(<> pi)— ф(Р, В * )= $ (/0 > ф(т,				|i),

to

: Ч)•

Оценим разность, стоящую справа под знаком интеграла. Мы имеем:

I/O . фО. В), в)— /О. фО> В*). В*)1<!/0> ч>0> в ). в) —

— /О, ф й , в*), в) 1+ 1/0. ф 0> в*), в)— /0. ф О. в*), в*)I-

Первое из слагаемых, стоящих в правой части, оценивается в силу неравенства (5), второе — в силу неравенства (6); объединяя эти

§ 231 ' непрерывная зависимость от начальных значения

181

оценки, получаем:

| ф(t, (А) — ф(^,			t
		pi*) I -г: К[«!АГ| ф(^,				pi) — ф(т, pi*)| - f Pi(| pi — pi* !)1 flfc-
			(\i
Полагая u(t) =		|q>(f,	jLi) — tp(t, pi*)|, мы, в силу предложения Д) §								21,
получаем при		«g;Р ^ Р .3:
|ф(*. м )-я>(*.						{еа'к “-		‘°' -	1) <
	<	!Г1\		{eniK^		"	-	l) =	с, р4(! fi -	pi* I).	(7)
Пусть р.2— положительное число, удовлетворяющее										неравенствам*
					Pi		b,				(8)
				Ъ Рг (Pi) <			«•				( 9 )
В дальнейшем будем			считать, что			pi удовлетворяет неравенству
			! м- — д* I <				р.2>				(Ю)
и покажем,	что	ti =	ri, так	что	решение со (/,				(и) определено па всем
отрезке	точка (Р.>, гр(П,			pi),	pi),	по предположению, лежит па гра­
. Так как

нице множества П, то для этой точки одно из неравенств (4)

должно

переходить в точное равенство.

В силу

неравенств

(8),

(10),

имеем

| pi — pi*|<^6.

Далее,

в

силу

неравенств

(10),

(9) и

(7),

имеем

|ф(Р3,

pi) — ср(f-2, pi*)|< я . Так

как,

наконец,

РаД>Р0> то

из всех

не­

равенств (4) в равенство может переходить лишь неравенство

и

потому

мы имеем

=

г,..

Таким

образом,

доказано, что при t * ^ t 9 существуют

такое

чис-

ло

г3 > Р *

и

такое

положительное

число

р4,

что

при

и

1pi — pi* |

р4 точка (t,

pi) принадлежит

множеству

Т и

выполнено

неравенство

(7).

чис­

Аналогично

доказывается, что при t* «--г Р0 существуют такое

ло

г , < Р *

и

такое

положительное

число

р1(

что

при

и

| pi — fi*|<^pj

точка (t,

pi) принадлежит

множеству

Т и

выполнено

неравенство

|ф(А

pi) —

ср (г1, рТ1:) I <

с, ?, ( j pi — (i*|),

( И )

аналогичное

неравенству

(7).

Из сказанного следует, что если точка (Р*, pi*) принадлежит мно­

жеству Т, то, каково бы

ни было расположение точки Р*

относитель­

но

Р0,

всегда

существуют

такие положительные числа г и р, что

при

\t — f*\< .r,

|pi— pi *| <p,

( 12)

точка

(Р, pi)

принадлежит

множеству

Т и

имеет

место

неравенство

|<р((,

fi) — фД, pi *)l <cP(| pi — pi*|)-

( 13)

182 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4

Так как совокупность всех точек (t, ц), удовлетворяющих условию (12),

составляет окрестность точки (t*, fi*),			то Т есть открытое множество.
Докажем теперь, что функция ф (t,			]ш) непрерывна в точке (t*,		fi*).
Для этого оценим разность ф (t,		ц) — ф (t*, pi*). Мы имеем:
1ч>(*. fA) —	М'*)1< 1ф (*, /а) — ф (А д *)| +
			+ |ф(*> PA*) — q>(f*,		pi*)|.
Первое из слагаемых, стоящих в правой части, мало, когда					мало
число | pi — pi* |	(см. (13)). Второе из		слагаемых	мало, когда малым
является число	11— t* |, в силу	непрерывности		функции ф (t,	pi*)

переменного t. Таким образом, ф(£, pi) есть непрерывная функция пары переменных t, pi.

Итак, теорема 13 доказана.

Н е п р е р ы в н а я з а в и с и м о с т ь р е ш е н и я

от н а ч а л ь н ы х з н а ч е н и й

Теперь мы будем рассматривать нормальную систему уравнений:

x ‘ =

f ‘ (t,

х 1.

х п),

1 =

1,

п,

(14)

правые части которых определены и непрерывны

вместе

со своими

частными производными

др_

I, j =

1,

п,

(15)

dxi ’

на

некотором

открытом

множестве

Г

пространства

R

переменных

t,

х 1, ... ,

х п.

Пусть

x = f ( t ,

х)

(16)

— векторная запись

системы

(14).

Б) Каждой точке (т, |)

множества Г соответствует непродолжаемсе

решение

ф(А

т, |)

уравнения (16)

с

начальными

значениями Г„ = т,

Хц= §, определенное на интервале mt (т, |)

t

m

(т, |) (см. § 22, А)),

который зависит от начальных значений

т,

Множество

5

всех

то­

чек (t, т,

|) пространства

переменных t, т,

...,

$л, для

которых

функция

ср^,

т, |)

определена,

описывается,

очевидно,

условиями:

точка т, |

принадлежит множеству

Г,

а

число

t удовлетворяет

при

этом неравенствам /л,(т, §)

t

mt (т,

§).

Т е о р е м а

14.

Множество

S всех

точек

(t,

т,

|),

на кото­

рых определена функция ф(А т, |), являющаяся непродолжаемым решением уравнения (16) с начальными значениями т, |, есть откры­

тое	множество в пространстве переменных t, т,	.... \п. Далее
оказывается, что функция ф (/, т, |) непрерывна по		совокупности
всех	своих аргументов на множестве S.

§ 231

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ

183

Конструкция, излагаемая в нижеследующем предложении В), де­

лает эту теорему непосредственным следствием теоремы

13.

В) Пусть (х,

|) — произвольная

точка

множества

Г.

Вместо

не­

зависимого

переменного

t,

имеющегося

в

уравнении

(16),

введем

новое

независимое переменное s по формуле

f= T-j-s.

О7)

Вместо неизвестной

векторной

функции

х,

имеющейся

в

уравнении

(16),

введем новую неизвестную

векторную

функцию у

по

формуле

•*= 1~г.У-

О8)

В новых переменных

уравнение (16) запишется

следующим

образом:

U = / ( *

+ * S - Ы .

■

(19)

Так как функция f(t, х) переменных t,

х

определена на

открытом

множестве Г, то

функция

S(s,

У,

х,

1 ) = / ( т - |-s,1-гУ )

(20)

переменных s, у,

х,

|

определена при условии,

что точка (x-j-s,

принадлежит множеству Г. Это условие, как

легко видеть,

выделяет

в пространстве R

переменных

s, у,

х,

§

некоторое

открытое

мно­

жество Г, и на этом множестве векторная

функция (20)

непрерывна,

а ее компоненты

имеют

непрерывные

частные

производные

по

пе­

ременным

у 1.........у".

Будем

считать, что

величины

х,

|

являются

параметрами в уравнении

(19),

и пусть

y =

^(s,

х,

g)

(21)

— иепродолжаемое

решение уравнения (19)

(см. § 22, А))

с

фикси­

рованными

начальными

значениями s =

0, _у = 0,

т. е.

решение,

удов­

летворяющее начальным

условиям

Ч»(0, х, 1)=0.

’

(22)

Переходя к старым переменным по формулам (17) и (18),

мы

полу­

чим функцию

* =

Ф it,

I) = 1-!- У it -

х, I),

(23)

являющуюся, как показывает непосредственная проверка, решением уравнения (16), удовлетворяющим начальному условию

ф(х, х, 1 ) = |.

Из того, что решение (21) непродолжаемо, следует, что решение (23) также непродолжаемо, так как если бы решение (23) можно было продолжить, то можно было бы продолжить и решение (21).

184	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ			[Гл. i
Д о к а з а т е л ь с т в о		т е о р е м ы 14.	Предложение В)	сводит изу­
чение зависимости	решения от начальных		значений к изучению зави­
симости решения	(при	ф и к с и р о в а н н ы х начальных		значениях)

от параметров, входящих в правую часть уравнения. Это изучение

было

осуществлено

в теореме

13.

В

силу этой

теоремы,

непродол-

жаемое решение _y = ij)(s, т, |)

уравнения (19),

содержащего в правой

части

параметры

т,

взятое при фиксированных начальных

значениях

$0=

0, _у0=.- О, определено на некотором открытом множестве

Т в прост­

ранстве переменных s, т,

|

и

непрерывно на

этом множестве

по

совокупности

всех

своих

аргументов.

Непродолжаемое

решение

д

т

,

|)

уравнения

(16)

с

начальными

значениями

т, |

выра­

жается через решение у) =

г|з(5,

т,

|)

по

формуле

(23). Переход

от

аргументов

s,

т, |

функции

ф

к

аргументам t,

т, |

функции

осу­

ществляется

формулами

t =

т = т,

1 =

1-

(24)

Это

преобразование

пространства переменных

s,

т, | в пространство

переменных

t,

т, |

является

аффинным

и потому

переводит

открытое

множество Т, на котором определена функция ф, в некоторое открытое множество S', на котором определена функция гр (см. § 32, пример 1). Таким образом, множество S' всех точек (t, т, £), на котором опре­ делена функция ср, является открытым в пространстве переменных f, т, |. Непрерывность функции <р следует из непрерывности функции ф,

в силу формулы перехода (23). Таким				образом, теорема 14 доказана.
Теоремы 13 и			14 могут быть объединены в одну:
Т е о р е м а		15.	Пусть x = q>(t, т,	|,	pi) — непродолжаемое ре­
шение уравнения (3) с начальными значениями т,						Тогда функция
tp(t, т,	р.)	определена на некотором			открытом множестве
пространства		переменных t, т, |, р		и непрерывна на нем.
Эта	теорема	доказывается так же,		как	теорема	14,— путем заме­

ны переменных (17), (18) и последующей ссылки на теорему 13.

С л е д с т в и я т е о р е м 13 и 14

Теоремы 13 и 14 представляют собой несколько необычно сфор­

мулированные	и н т е г р а л ь н ы е		т е о р е м ы н е п р е р ы в н о с т и .
Приведенные	здесь	формулировки	интегральных теорем непрерыв­
ности (теоремы 13 и		14) являются новыми; они существенно отличаются
от формулировок, имевшихся до сих пор в математической литера­

туре. Нижеследующие предложения Г) и Д) являются прямыми след­ ствиями теорем 13 и 14. Эти предложения по своим формулиров­ кам ближе к обычным формулировкам интегральных теорем непре­ рывности. Следует, однако, отметить, что формулировки теорем 13 и 14 наиболее полно охватывают факты, относящиеся к непрерывной зависимости решений от параметров и начальных значений. Предло­ жение Г) по существу было установлено в процессе доказательства j

5 24.].

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

1Я5

теоремы 13, по здесь

оно

выводится из

самой

теоремы

13,

чтобы

подчеркнуть полноту ее содержания.

Г) Если ранение ф (t , }i) уравнения (1) с начальными значениями

<0, Ху, при

р = р* определено

на

отрезке

г, sg: f sc; г.., содержащем /«

(это означает, что отрезок Г)

г2 содержится в интервале опреде­

ления решения ф (t,

р*)), то

существует

такое положительное

число

Р, что при

| р — р* |

р непродолжаемое решение ф ((, р )

с началь­

ными условиями f0, л'ц

также определено на отрезке

Далее,

для

всякого положительного

е найдется

такое

положительное

8

р,

что

при

|р — р * | < ^ о

имеем

|ф((,

р ) — ф(£,

р *)|<^е-

При доказательстве этого предложения используем

теорему

13.

Так

как множество

Т всех

пар

t,

р, на котором определена функция

Ф (!, р), открыто,

а

точки

( г ь

pi*) и (г.2, р*)

принадлежат ему, то

существует

настолько

малое

положительное

число

р,

что

при

|р — р *| « ср точки

(г|, р )

и

(г.2,

р)

принадлежат множеству Т.

Это

значит, что интервал определения непродолжаемого решения ф (t, pi)

содержит весь отрезок г,.vC£

г2, т. е.

решение ф

(t,

р )

определено

на этом отрезке.

Множество

Р

всех

точек

(t,

pi),

для

которых

| Д ■— pi*|s^p, замкнуто, ограничено и

расположено

в

Т.

Так как Р содержится в Т, а функция ф (t, pi) непрерывна

па

7,

го

она равномерно непрерывна на Р.

Отсюда

непосредственно

вытекает

правильность второй части предложения Г).

Д) Если решение ф (t , £) =

ф (t, t0,

|)

уравнения

(16)

с началь­

ными значениями

/0, | при $ =

л;0

определено

па отрезке

О

га,

содержащем 10,		то существует такое положительное число р, что при
	непродолжаемое решение ф (t, |) также определено на
отрезке г, <с: t		г.2. Далее,	для	всякого положительного			е	найдется
такое положительное 8 <^р,			что	при	| | — х 0 |< [ 8 имеем:
		1ф(<. I) — Ч>(*. АГ0) |< е .
Предложение Д) выводится из теоремы 14 точно							так	же,	как
предложение	1")	из теоремы	13.
§ 24.	Дифференцируемость				решения по начальным
		значениям		и параметрам
В предыдущем параграфе была доказана непрерывность								решения
по начальным	значениям и параметрам. Здесь будет					установлено,			что
в некоторых предположениях решение дифференцируемо							по	началь­
ным значениям и параметрам.				параграфе, сначала		мы	рассмотрим
Так же как в предыдущем
дифференцируемость решения по параметрам, а затем на							основе		по­
лученных результатов при			помощи		конструкции, данной		в	предло­

жении В) § 23, докажем дифференцируемость решения по начальным значениям.

186

ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь по п а р а м е т р а м

Мы будем

рассматривать

такую

же

систему

дифференциальных

уравнений

P

— f ‘(t,

х п,

[Д, . . .

I — 1, .. . ,

п,

(1)

как и в § 23;

правые

части

ее

определены

и

непрерывны

вместе

с их частными

производными

^d f‘

в

некотором

открытом

множестве

Г пространства

R

переменных

I,

x i, . . . , x n,

[Д ,...,

[Л Пусть

x = f ( t ,

х,

*г)

(2)

— векторная запись системы

(1).

Доказательство

дифференцируемости

решений

по

параметрам

[Д,... , [Д будет

проведено в предположении, что правые

части си­

стемы (1) непрерывно дифференцируемы по этим

параметрам

в от­

крытом множестве

Г.

мы

предпошлем

предложе­

Доказательству

дифференцируемости

ние А), называемое обычно леммой

Адамара.

А) Пусть g (Д ,..., tp , и1,... ,

и4) — функция

p -\-q переменных,

определенная

в

области

Д

пространства этих

переменных,

выпуклой

относительно переменных

и1, ...,

uq. Полагая

t =

ip),

и — (к1,—

, uq),

мы сможем записать ее как

функцию g(t, а)

двух

векторов.

Будем

предполагать,

что

во

всей

области

своего

определения

функция

,.

ч

d g (t ,

и) .

.

, ... , q,

непрерывны.

g(t,

и) и ее частные производные

^ 7

—,

) — 1

Оказывается тогда, что для любой пары точек (t, их), (t, и.;) с оди­ наковой координатой t из области Д имеет место соотношение

	g ( t , u.2) —	g ( t ,	ul) = 2	hi (*• « 1. «-;) (Щ— «{),					(3)
			л=1
где функции hj(t, и и		и.г), j — 1.......q определены и непрерывны							для
всех указанных значений аргументов t,					их,	и2 (в частности,		и	при
совпадении их — иа),		причем hj(t,		и,	u) =	j ^ j g ( t ,	и).
Для доказательства предложения А) положим:
	та; (s) =	«j -J- s <гг3 —		w j,		0 < ; s s s : l .			(4)
Мы	имеем тогда
						1
g{t,	ih) — g{t, ul) =	g(t,	та»( 1)) — g(t, w (0) ) =				~ g(t,	w{s))	els.

0

S 24 1

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

187

Вычислим

теперь

производную ^

g(t, w(s))\ мы имеем:

£-s g (t, w (s)) =

^ g (t, w' (s).......

w4(5)) =

(?§(*,w(s)) dw> (s)

= 2

dwi

ds

7=1

Так

как, в силу (4),

очевидно, имеем:

dwi(s)

■и{ — и{,

j —

\,...,q ,

ds

то,

полагая

еще

" 1_

hj (t, U\, ид =

^ dg (t, w (s))

ds,

о

dwi

мы получаем формулу

(3).

Так

как,

по

предположению,

функции

непрерывны, то

функции

hj (t, ии и2) также непрерывны.

Таким образом, предложение А) доказано.

Т е о р е м а

16.

В

силу

теоремы

13 непродолжаемое решение

(А ц) = (ср1(t, ц ),...,

<рп (t, ц))

уравнения (2) при фиксированных

начальных

значениях

t0, х 0 определено

на некотором

открытом

множестве

Т пространства

переменных

t, р1....... р/

и является

непрерывной

функцией

всех

своих аргументов. Оказывается,

что если

частные

производные

правых

частей системы (1)

по аргументам р.1.......р.'

onpedeAenbi

и

непрерывны в

открытом

множестве Г, то частные производные

<¥ (t, jit)

l — 1, ... ,

п,

k — 1, ... , l,

оУ*

определены

и непрерывны

на

всем открытом множестве Т. .

Кроме того,

смешанные

частные

производные

а2

срг (A pi), t — 1,

...,

и; k = 1, ... , /,

dt ар>

определены, непрерывны и не зависят от порядка дифференци­ рования на всем множестве Т.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для	нахождения		производной		а<р‘ мы вы-
числим разность <р' (t, |Ц.2) — ? '(t, pi,).		Так	как	функция	ф(Ад) удо­
влетворяет уравнению (2), то	вычисление		этой	разности	естественно
связано с вычислением разности
/ ' it, х ь	Д2) —/ '	(А -У Щ).

188

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл 4

Последнюю разность мы вычислим с помощью леммы Адамара, счи­ тая при этом, что

t = t, и = (л:, jll),	g(t, и) =	/ ‘ (t, х,	д).
Для того чтобы применить лемму	Адамара	к этому	случаю, прежде

всего подходящим образом выделим открытое множество Д в про­

странстве		переменных (t,		u) =	(t, х , д), выпуклое			по	паре перемен­
ных х , д. При этом мы				будем иметь своей целью доказательство
существования и непрерывности производных в окрестности											произ­
вольной точки (/*,			д*) множества Т. Перейдем				к построению				откры­
того множества Д.							t =	t*,
	Так как решение ф (/,			д*)	определено	при			то	существу­
ет	такой	отрезок			содержащий	числа /0		и t* внутри себя
(т.	е. П < /„ < > .,,		г,	t	что решение		ф(/,	д*)		определено
на	этом	отрезке.	Когда		пробегает	отрезок			/ sg: г2,		точка

(/, cp(K д*), д*) описывает в открытом множестве Г непрерывную кривую. Пусть а и b — два таких положительных числа, что множе­ ство всех точек (t, л:, д), удовлетворяющих условиям

|лг — <р(К

д * ) |< а ,

|д —

(5)

целиком

содержится

в открытом множестве Г.

В

силу

предложения

Г)

§

23

существует

такое

положительное

число

р,

что

2р <^Ь

и при | д — д* |<^ 2 р решение

ф (t, д) определено

на

всем

отрезке

г,

<

г,

и

на том

же отрезке выполнено

неравенство

|ф (/,

д) —

— ф(/, д *)|< ^а. Открытое

множество Д определим

теперь

как

сово­

купность всех

точек

(/,

х ,

д),

удовлетворяющих условиям

П < ^ < 0 .

\Х — ф(К Д * ) | 0

|д — д * | < 2 р .

Очевидно, что открытое множество Д выпукло по паре переменных (х, д).

Для вычисления производной dvl обозначим через ек единичный

вектор	/-мерного пространства, направленный по k-ti							оси. Пусть Д[ —
некоторый вектор, удовлетворяющий условию							| д ( — Д*|<Ср> и х —
число,	удовлетворяющее		условию		| т|<^р.	Положим Да = Да
Тогда	оба вектора Д[ и д .2			удовлетворяют		условию
		i Д1 — Д* I < 2 Р>			I Д-2— Д* I < 2 Р-
Поэтому па		всем отрезке	rt ^ : t		имеют	место		неравенства
	!ф(/,	Д,) — ф(/, д * ) |< а ,			|ф (/, Д2) — ф(К Д *)|<а.
Таким	образом, когда		t	пробегает интервал			г,	га,	точки
(/, ф(/,	д д О	и (/, ф(/, д.г),		д а) описывают кривые,				целиком располо-
жепнне в открытом множестве Д.					Применяя	лемму		Адамара	к раз-
кости		/''(/, ф (/,	Да), Да) — Р (.t, Ф (/, Д1), Д,).

§ 24 ] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 189

мы получим:

f ' (t, <p(t, f i s),

<ф(/, Jii),

M-i) =

П

=

2

Iij (*•

т)

(Ф! (t,

}Xl) — ^ ( i ,

(*,)) +

y= 1

H-

Ц

/г'л + *(*>

До

T)

(!a2 —

lAf)-

(6)

* = i

Здесь функции

h),

j =

1,

n-\-l, непрерывно

зависят в силу лем­

мы Адамара

от

величин

t, <р(<,

д,), щ,

<р(7, щ),

щ и> следовательно,

в конечном

итоге,

от величин

t,

т

(так как

f i 2 — Мч +

те*,

а

ве­

личины (p(t,

j i,)

и

<р (t,

ц 4)

непрерывно

зависят

от t,

jcij

и

t,

f i4;

см. теорему 13).

Для вычисления производной d ф*

нужно,

очевидно,

составить

предварительное частное

Y ( t ,

ц „ т ) =

91(t, Ра) — У' (<■Mi)

Т ^ О,

и перейти в нем к

пределу

при т —»0.

Подставляя

в

систему (1)

ее решения л; =

ср(<, Mi) и лг = ф(^,

Ms)

и вычитая первое

соотношение

из

второго, мы

получаем,

в

силу

(6):

^ V	— = 2	^ V’	р » т)фУ(<>	т)+
	j = 1
			+	+	|И„	т),	/ — 1,		п.	(7)
Эти соотношения		верны	при
	Г1 < * < Г 9 . I Mi — Д * | < Р> М < р >						11 ^ 0-
Таким	образом, функции
		ф1 (t,	fij, т), . . . ,	фл (t,	f i „	т)				(8)
при т ф 0 удовлетворяют линейной				системе дифференциальных						урав­
нений
	У =		f*i-Т)У+ *«+*(<»Мк ~)							(9)
с начальными условиями
. . . .	. / и	\	Ч* (*о> М2)	9* (*о>	Mi)	_ x l —	x l	_	л
	Ф До. M^i» т)—		-------- ^			^		—	и-

В	то	время	как	функции	ф1(t, Цл,	т), i = \ ,	п,	определены
лишь	при	т ф 0,	сама	система	уравнений	(9) определена и		при т = 0,