Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.85 Mб

Скачать

☆

1 / 191 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ С С Р

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Д. П. НИЖНИК

ОБРАТНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

Издательство	"Наукова думка"
Киев	- 1 9 7 3

УДК 5 1 7 . 9 4 8 ,	5 1 9 . 5 5
Монография		содержит оригинальные	исследования	а в т о
ра по обратным		нестационарным задачам	рассеяния.	В р а

боте дано полное описание операторов рассеяния и постро

ен алгоритм восстановления нестационарного потенциала по

известному оператору рассеяния. Разработанный математиче

ский аппарат может найти применение в смежных вопросах.

Книга рассчитана на научных работников в области м а

тематики и теоретической физики, интересующихся теорией

рассеяния, она доступна также аспирантам и студентам с т а р

ших курсов.

Ответственный редактор

	академик АН УССР Ю.А.МИТРОПОЛЬОКИЙ
Рецензенты:		член-корр.АН УССР
		Ю.М.ББРЕЗА НСКИЙ ,
		кандидат фнз.-мат.наук
		А.Ф.ШЕСТОПАЛ
^ )	Институт	математики АН УССР, 1 9 7 3 г .
..	0 2 2 3 - 5 9 1
	М 2 2 1 ( 0 4 ) - 7 3
	.	"ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

1 НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ _БИБЛИОТЕКА С С С Р

n-uwi

П Р Е Д И С Л О В И Е

Настоящая работа посвящена прямой и обратной задачам нестационарного рассеяния для одномерных гиперболических

уравнений.	Выбор гиперболических уравнений и систем о б у с
ловлен тем,	что в с е релятивистские уравнения	в квантовой
механике являются гиперболическими. С другой		стороны,	г и
перболические уравнения описывают различные		волновые	про

цессы, и поэтому полученные результаты могут найти приме

нения в	нестационарных задачах	дифракции.
В	то время, как стационарные задачи		рассеяния (прямые
и обратные) і в настоящее время		достаточно	полно изучены, по

существенно нестационарным задачам почти не имеется стро— .

гих математических работ, з а исключением	работ автора ^i—lOJ,
Теория рассеяния в настоящее время	является, по с у щ е с т

ву, самостоятельной областью теоретической и математической физики. Строгий подход к решению ряда проблем квантовомеха— нической теории рассеяния привел к созданию абстрактной т е о рии рассеяния, включающей теорию возмущеїшй на непрерывном

спектре,	а также нестационарный и стационарный подход		к п о с т
роению	волновых операторов	и операторов рассеяния.
С	другой стороны, для	ряда конкретных задач была	изуче

на	обратная задача квантовой теории рассеяния • задача о всю»
становлении потенциала по известным данным рассеяния. Для
одномерного уравнения Шредингера на полуоси			эта задача реше
на	в 1 9 5 5 г,	В.А.Марченко и М.Г.Крейном.
	Следует	отметить, что в последнее время	решению рааляч*

ных обратных задач уделяется большое внимание. При этом под обратными задачами принято ПОНИМАТЬ эпдачи опредолення коэффициентов дифференциальных уравнений но некоторым


известным функционалам от его решения. Ряд			результатов
по обратной кинематической задачо сеі'ісмикп,			геофизики, г р а
витационной и магнитной разведки имеется в			[ l і] .
Подход к обратной	задаче в настоящей	работе близок к
подходу В.А.Марченко	[1] . Разработанный	математический

аппарат может найти применение при решении нерассмотрен ных еще нестационарных задач, а также в смежных вопросах.

Излагаемые	результаты обсуждались	с ІП.М. Березонек им,
В.А.Марченко и М.Г.Крейном. Автор, пользуясь случаем,			в ы
ражает им в с е м	искреннюю благодарность	з а высказанные	з а
мечания, которые были учтены при оформлении настоящей			р а
боты.

ВВ И Д Е Н И Е

Втеории рпссеяння важным понятием является оператор рассеяния. Этот оператор определяется путем сопоставления решений свободного н возмущенного уравнений. Для нестаци онарных уравнений оператор рассеяния обычно определяется как оператор, связывающий данные Коти двух решений невоэ— мушенного уравнения, каждое из которых асимптотически при ближает решение возмущенного уравнения соответственно при

t=-°° и / = . Однако в ряде случаев можно дать э к вивалентное определение оператора рассеяния путем сравнения

асимптотик	решения		при больших		значениях пространственных
переменных.
Так, например,			для гиперболической системы уравнений
ди.1	ди
=	+c^x,t)u.Лот			J.)	,
dt	дл				( 1 )
диг	dut
=	~	*-CtX,t~iU.^CX.t)			-ста< д; <. оо
dt	дх	2	'	' .,.

оператор рассеяния можйо определить следующим о б р а з о м . К о

ли	потенциал		( ci(acit)		t	cg(x,tj)		достаточно быстро			убывает
при	сс -*• І м		, то естественно,				что при >г-> А о»				и придт--»-
решение ( 1 ) асимптотически имеют								вид решений		невозмушен-
ной	(cf-=0	,	Cz=.0		)	системы		уравнений, т . е .
	ur(x,t)-af(jr			+ t) +		0(1),
											( 2 )
											( 3 )
	ya2(at,t)-		a2(i-sc)+			0(0,	,x
Функции ar(xJt)			\\ag(t~\)			в ( 2 ) - ( 3 ) имеют			смысл волн, прив
ходящих с		бесконечности,				а §,(м-{)		п & (t-x)	-	уходящих п

a,(s)

бесконечность. Другими слонами, паря

функции I „

,5.)(••><> ts<f*>)

сіатор,

переводящий

(af

\ i\

(&і

опродгчяетгя

как

рассеянуто

волну.

і т е р а т о р

рассеяния

OtlGpi

ГНИ

Если потенциал в ( 1 )

достаточно быстро

убывает

и по

пере

менной

при

і^+^а

то

оказывается,

что

оператор р а с

сеяния

б1

представим в виде

суммы

тождественного

о п е р а

тора и интегрального

оператора

Гильберта-Шмидта.

Более

точное описание

структуры

оператора

рассеяния

получается

с привлечением

операторов

преобразования,

Под

операторами

преобразования

для

системы

( 1 )

мы

понимаем

операторные функции, переводящие решение свободного урапнення в решение возмущенного, асимптотически совпадающие на "бесконечности' . При этом возникают четыре типа опера

торов преобразования в зависимости от							того,	что понимать
под	" б е с к о н е ч н о с т ь ю * а : - » - - 0 0					,	г!-—-°°	или	г'-^ + оо .
	Приведем		вид операторов			преобразования системы				(J.)
для	i £ - » - » о		. Решение		невозмущенной		системы имеет			вид
Решение		возмущенной		системы,		которое	при і		имеет
асимптотику
ut(x,t)		= a,(x*-t) + 0(O		,	(^(x,t)^cL2(i-.r)			t-ff(f)	)	(G)
представимо в			виде
			0
			- оо

В операторной		форме	( 7 )	принимает		вид
	u(x,£)	= (I+H+lx»%.a(t)				.	( 8 )
Использование		операторов преобразования для ^->-/-«э					деет
	u(xyt)-(I+		H_(JC))^		S(t)	,	( 9 )
где £ = ^	' j	определено		из	( 2 ) - ( 3 ) .
Индексы	и " - " в		формулах		( 8 ) - ( 9 ) обозначают полярность

вольтерровских операторов. Плюс означает, что соответствую щий вольтерровский интегральный оператор имеет переменный верхний предел, а минуспеременный нижний предел. Следует

стметить,	VTO матричные интегральные операторы Н+(ж)яв
ляются операторами Гильберта-Шмидта				и очень	просто	связаны
с потенциалом
c,(.x,t)=ZHn(x,t.t)		cgij:,t)=2H^CT,£,ty				( Ю )
Приравнивая ( 8 ) и ( 9 ) , полагая			не-О	и учитывая		опреде
ления (4)	оператора	рассеяния,	п о у ч а е м
	6 -	( 2 > Н_ (0)У	\l ,	//_ (О)),		(.11)
т . е . , так называемую,		левую факторизацию & .			Использование

операторов преобразования для . т ± » приводит к правой фак торизации

Таким образом, оператор рассеяния двусторонне факторизуем. Праводчпці-ifi р настоящий рябого анализ впкрывярт фтпп-

ческую сущность факторнзуемостн оператора рассеяния. Фак—


торизуемость	оператора рассеяния		выражает собой фпзпче		-
скую причинность для системы ( 1.),			связанную с конечной
скоростью распространения волн.
Операторы преобразования являются очень важным про
межуточным звеном между нестационарным потешчгалом и
оператором рассеяния.		11х использование		позволило р а с с м о
треть обратную	задачу,	заключающуюся		в восстановлении	н е

стационарного потенциала по известному оператору рассеянии


Это восстановление проведено следующим образом.						Из	(1.1)
легко найти по	&	факторнзацнонные множители				Н+	(0)
используя теорию М.Г.КреЙна факторизации фреягольмовых
операторов [ 2 ]	. Тогда,		согласно	( 1 0 ) ,	восстанавливается
нестационарный	потенциал		лишь в	начале	координат	( cf(0,O ,

Се(0,t)		) , поэтому естественно		наряду с исходной задачей
( ] )	рассмотреть задачу рассеяния			со сдвинутым потенциалом,
ибо,	зная, в		начале координат сдвинутый потенциал при всех
сдвигах,		мы	фактически будем знать потенциал при в с е х -х-
и	і

Совершенно ясно, что задача рассеяния со сдвинутым

потенциалом	для ( 1 ) очень	тесно	связана с исходной задачей.
В частности,	оператор рассеяния		задачи		со сдвинутым
на -х. потенциалом получается из			исходного	при	помощи	уни
тарного преобразования & х		, являющегося		унитарным		пред

ставлением группы сдвига. Этот факт выражает собой принцип

ковариантности для системы (1 ) . Таким	образом,		используя
принцип ковариантности.легко найти по б	оператор		рассеяния
задачи со сдвинутым потенциалом, а,следовательно, и сам
сдвинутый потенциал в начале координат.	Так	решается		обрат
ная задача .
Однако в обратной задаче очень важным		является		также

полное описание операторов рассеяния, т . е . установления необ ходимых и достаточных условий того,что заданный оператор является оператором рассеяния. 1ак как вся вышеприведенная конструкция справедлива для потенциалов, достаточно быстро

убьтяюнч'х по		ж	п г1	, то	е с і р с і в е ч н о		выделять	класс	о п е
раторов	рассеяния		. соотв°тстйуиччнх			потенциалам		с фиксиро-
ппчнт'і	пцг-нкт)	убып-чнт'п		по	н /	мл	бесконечности.		-^ГО

приводит к определенным оценкам убывания ядер интеграль—• пых операторов 6-І и 6 - Г , являющихся операторами Гиль берта-Шмидта.

Основной результат заключается в том, что указанные оценки, приншш ковариантности и причинности (или факторизуемостн) являются определяющими для операторов рассеяния. Более точно, если f - заданный оператор, ядра операторов

иgF -I удовлетворяют нужным оценкам, а при любом

оператор J^. р У_ х	нужным образом	факторнзуем, то f
есть оператор рассеяния	для системы ( 1 )	с потенциалом,до

пускающим принятую оценку. Указанный результат легко пере формулировать в терминах тривиальной разрешимости некото рых однородных фредгольмовых уравнений, зависящих от па -

раметров -з? и г? и	построенных	по /* .
Отметим, что	при получении	указанного результата в а ж

но знать точную трансформацию оценок убывания потенциала в

оценки убывания ядер 6-І			и	6 ' 1 - 1	.	Грубые оценки				ядер
6-І	п )5~г-1 , как	известно,		приводят	к	возникновению				"нож
ниц*, когда операторы рассеяния, удовлетворяющие грубым
оценкам, могут соответствовать потенциалам								из более широко
го	класса.
	Так обстоит дело с обратной задачей рассеяния на всей
оси. Задача рассеяния на полуоси исследуется								. в	основном,
по	приведенной выше схеме .		Однако з д е с ь				имеется		одно	в а ж
ное	обстоятельство,	связанное		с принципом			ковариантности.

На всей оси сдвиг потенциала приводит к унитарной трансфор мации оператора рассеяния. Сдвиг потенциала на полуоси м о жет привести к тому, что часть потенциала попадет в нефизи

ческую область.

Поэтому

на

по;гуоси с в я з ь

оператора

р а с с е

яния

і? (ж)

, соответствующего

сдвинутому

на sc

потенциалу,

исходным

оператором

бопее сложная. Эта

с в я з ь

приводит

тому, что

через

iS1

можно

выразить

лишь

"отрицательную*

вопьтерровскую

срезку

<5>(я^)-1

и 'положительную'

вольтер -

ровскую срезку

(.х)-Т

. Однако в силу двусторонней фактов

риэуемости оператора рассеяния ( и это существенно ! ) , по

указанной информации

(

[ ( 5 ' ( ' л ) - Г ] _ т

~f(,-ry -

/'J^

)

можно

восстановить

f> (ж).

в г °

происходит,

как

и в

задач» на

всей

осп.

1 / 191 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ