5.2.2.2. Однофакторный непараметрический анализ

на основе критерия Джонкхиера (альтернативы

с упорядочением)

Нередко исследователю заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора. Пусть первый столбец таблицы ||x_ij|| соответствует наименьшему уровню, а последний – наибольшему. В таких случаях критерий Джонкхиера более чувствителен (более мощный) в сравненииcупорядоченным влиянием фактора.

Рассмотрим сначала случай, когда сравниваются только 2 способа обработки (2 уровня фактора). Фактически речь идет тогда об однородности двух выборок. Для проверки этой гипотезы рассмотрим статистику Манна–Уитни.

Пусть имеем 2 выборки: . Положим

(5.16)

Статистика Манна–Уитни

(5.17)

Обратившись теперь к общему случаю, когда сравниваются kспособов обработки (kуровней), поступим следующим способом. Для каждой пары уровней, где, составим по выборкам с номерамистатистики Манна–Уитни:

.

(5.18)

Получим U(1,2), U(1,3),...U(2,3)...U(2, k),… U(k–1, k).Определим статистику ДжонкхиераIкак для. Свидетельством противН₀(в пользу альтернативы) служат большие значения статистикиI, полученные в эксперименте. Для больших объемов выборок в отношении статистикиIдействует нормальное распределение , с математическим ожиданием и дисперсией

(5.19)

где n_j – количество наблюдений в каждом уровне;

N– общий объем наблюдений;

Свидетельством против Н₀(в пользу альтернативы) служат большие значения статистики, полученные в эксперименте, в сравнении сР-процентными точками нормального распределенияФ(I*) = Р (табличные значения нормированной функции Лапласа). Тогда q = 1 – P – уровень значимости, уровень принятия гипотезыН₀.

Пример 5.3. Для условия, изложенного в примере 5.2, решим задачу, используя критерий Джонкхиера.

Решение. Заметим, что в данном примере предлагается монотонное изменение стимулирования для оценки влияния на производительность. Поэтому оправдано применение критерия Джонкхиера. Выберем в качестве альтернативы к Н₀ утверждение, что чем выше уровень стимулирования, тем выше производительность. Для вычисления статистики I найдем значения статистик Манна–Уитни U для всех комбинаций , где.

Результаты расчета:

U12 = 17,	U23 = 17,	U34 = 16,5,	U45 = 22,
U13 = 20,5,	U24 = 20,5,	U35 = 23,5,	U46 = 23,5,
U14 = 24,	U25 = 24,5,	U36 = 25,	U56 = 18.
U15 = 25,	U26 = 25,
U16 = 25,

Отсюда .

Для нахождения минимального уровня значимости воспользуемся нормальной величиной I*:

MI = 187,5; ;

= 5; Ф(I*) = 0,999997 = P; .

Заметим, что мы получили более значительный результат () по сравнению с критерием Краскела–Уоллеса(), так как минимальный уровень значимости понизился на 3 порядка.

Задания для самостоятельной работы

1. Решите задачу, используя критерий Джонкхиера, для условия самостоятельного задания 1 предыдущего пункта и данных, приведенных в табл. 5.7.

2. Сформулируйте задачу обработки экспериментальных данныхс использованием критерия Джонкхиера. Подготовьте выборку исходных данных статистической задачи и приведите её решение.