5.3.2. Двухфакторный непараметрический

анализ

Двухфакторный непараметрический анализ используется при проверке гипотезыH₀, если о распределении случайной величиные_ijизвестно только то, что она непрерывна и независима. Рассмотрим решение задачи с использованием критерия Фридмана, который не предъявляет требований к упорядочению уровней факторов.

5.3.2.1. Двухфакторный непараметрический анализ

по критерию Фридмана (произвольные альтернативы)

Критерий основан на идее перехода от значений x_ijк их рангамr_ij.В отличие от однофакторного анализа ранжирование происходит не по всей таблице ||x_ij||, а по блокам, т.е. рассматривается каждая отдельная строка таблицы. При фиксированномjосуществляется ранжирование величинx_ijприi = 1,2...k. Тем самым устраняется влияние мешающего фактораВ, значение которого для каждой строки постоянно. Обозначим полученные ранги величинx_ijчерез r_ij. Ясно, чтоr_ijизменяются от1доk, а каждая строка представляет перестановку чисел1,2...k(при совпаденииx_ijнадо использовать средние ранги). При гипотезевсеk! перестановок равновероятны. Введем величину– среднее значение ранга по столбцу. ПриH₀значение для каждого столбца не должно сильно отличаться от– среднего ранга всех элементов таблицы.

Статистика Фридманаимеет следующий вид:

.

(5.21)

Гипотеза H₀отвергается в пользу альтернативы о наличии эффектов в обработке, если. Для небольших значенийn, kвеличина критерия ФридманаS(q, n, k) может быть найдена по специальным статистическим таблицам.

Пример 5.5. Исследованы зависимости дрожания мышц рук от тяжести поднятого груза (тремор). Каждое табличное значение – среднее пяти экспериментальных измерений частоты тремора у испытуемого. Каждая обработка (уровень фактораА) соответствует весу груза. Исходные данные приведены в табл. 5.11.

Таблица 5.11. Исходные данные к примеру 5.5

Испытуемый	Уровни фактора А (вес груза в кг)
	1-й (0)	2-й (0,5)	3-й (1,0)	4-й (2)	5-й (3,0)
1	3,01	2,85	2,62	2,63	2,58
2	3,47	3,43	3,15	2,83	2,7
3	3,35	3,14	3,02	2,71	2,78
4	3,1	2,86	2,58	2,49	2,36
5	3,41	3,32	3,08	2,96	2,67
6	3,07	3,06	2,85	2,5	2,43

Решение. Заменим числовые значения рангами (табл.5.12).

Таблица 5.12. Ранжированные данные

Испытуемый	Уровни фактора А (вес груза в кг)
	1-й (0)	2-й (0,5)	3-й (1,0)	4-й (2)	5-й (3,0)
1	5	4	2	3	1
2	5	4	3	2	1
3	5	4	3	1	2
4	5	4	3	2	1
5	5	4	3	2	1
6	5	4	3	2	1
	30	24	17	12	7
	5	40	2,833	2	1,1667

Статистика Фридмана, вычисленная по формуле (5.21),

S = 22,533.

Критическое значение , следовательно,иH₀отвергается. Согласно таблицамминимальный уровень значимости, при котором гипотезаH₀ может быть принята,

q = 0,0001.

Задания для самостоятельной работы

1. Решите задачу 1 самостоятельной работы предыдущего пункта и данных, приведенных в табл.5.10 непараметрическим методом Фридмана, т.е. установите, влияют ли затраты на рекламу на реализацию товара.

2. Сформулируйте задачу обработки экспериментальных данных, с использованием критерия Фридмана. Подготовьте выборку исходных данных статистической задачи и приведите её решение