5.3. Двухфакторный анализ

Иногда в однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется, хотя такое влияние должно быть. Причиной этого может быть большой внутригрупповой разброс, на фоне которого действие фактора остаётся незаметным. Очень часто этот разброс вызван не только случайными причинами, но и действиями еще одного фактора. Если мы в состоянии указать такой фактор, то можно попытаться включить его в модель, чтобы уменьшить статистическую неоднородность наблюдений. Конечно, не всегда удается поправить дело введением мешающегофактора и переходом к двухфакторной схеме. Иногда приходится рассматривать трехфакторные и более сложные модели. Замысел во всех этих случаях остается прежним.

Назовём фактор А(рис.5.1) главным,В– мешающим. Пусть фактор А принимаетkзначений, а мешающий –nзначений. ФакторВразбивает все группы наблюдений (столбцы таблицы ||||) на блоки.

Рис.5.1. Двухфакторная модель

Каждый блок соответствует определенному уровню фактора В. В частном случае таблица содержит n  kнаблюдений (по одному в клетке). Отличие этой таблицы от однофакторной в том, что наблюдения в любом столбце не являются однородными, если влияние мешающего фактора значимо (табл. 5.8).

Таблица 5.8. Форма представления экспериментальных данных двухфакторной модели

Блоки фактора В	Уровни основного фактора А
	1-й	…	i-й	…	k-й
1		…		…
…	…	…	…	…	…
j		…		…
…	…	…	…	…	…
n		…		…

Для описания двухфакторного эксперимента обычно применяют аддитивную модель. Она предполагает, что значения отклика x_ijявляются суммой вкладов соответствующих уровней факторовАиВи независимых случайных факторов:. В этой модели величины вкладовАиВне могут быть восстановлены однозначно. Действительно, при одновременном увеличении всехa_iна одну и ту же константу и при уменьшении всехb_jна ту же константу значенияx_ijне изменяются.

Для однозначности вкладов удобно перейти к представлению в виде

x_ij=+α_i +_j, при ..

Параметр интерпретируется как среднее всехx_ij(т.е.), аa_i и_j– отклонения отв результате действия факторовАиВ.

5.3.1. Двухфакторный дисперсионный анализ

Если есть основания предполагать, что случайные величины е_ij имеют нормальное распределение с нулевым средним и одинаковойпри всехiиjдисперсией, можно использовать метод, аналогичный однофакторному дисперсионному анализу. Предположим , что влияние фактораАотсутствует. Сформулируем гипотезу. Проверим гипотезуН₀, также основываясь на сравнении двух независимых оценок:.

Для решения задачи находятся средние дисперсии:

;

(5.20)

Если выполняется неравенство

, то Н₀отвергается и влияние фактораАсчитается существенным.

Пример 5.4.Имеем наблюдения – среднюю по группам успеваемость студентов за выполнение лабораторных работ. Число лабораторных работ равно5, число групп –3. Требуется установить, влияет ли номер лабораторной работы (факторА) на оценки студентов, т.е. одинаковы ли по сложности лабораторные.

Решение. Так как наблюдений немного, то предположим, что плотность распределения оценок соответствует нормальному закону. Исходные данные и расчеты приведены ниже (табл.5.9).

Таблица 5.9. Исходные данные к примеру 5.4

Уровни фактора В (группы)	Уровни фактора А (лабораторные работы)
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
1	4,0	3,9	4,3	4,0	4,4	4,12
2	4,2	4,1	4,0	4,3	4,2	4,16
3	3,3	3,5	3,8	3,6	3,4	3,52
	3,83	3,83	4,03	3,97	4,00

Выдвинем нулевую гипотезу о том, что факторы А не влияют на оценки, т.е. Н₀: . Сделаем необходимые вычисления:

;

Следовательно, Н₀для фактораАне отвергается. Таким образом, влияние фактораА(номера лабораторной работы) считается незначимым.

Задания для самостоятельной работы

1. Дана выборка числа реализованного товара (в тыс.ед.) четырех наименований (фактор В) при различных затратах на рекламу (фактор А). Установите, влияют ли затраты на рекламу на реализацию товара (табл. 5.10).

Таблица 5.10. Исходные данные

Уровни В (номер товара)	Уровни А (объем реализации при затратах на рекламу )
	10 тыс.руб.	15 тыс.руб.	18 тыс.руб.
1	4,9	7,5	9,3
2	4,5	6,6	7,0
3	6,0	5,5	10,0
4	4,7	9,0	8,4

2. Сформулируйте задачу аналитической обработки экспериментальных данных методом двухфакторного дисперсионного анализа. Подготовьте выборку исходных данных статистической задачи и приведите её решение.