книги из ГПНТБ / Нечаев П.А. Электронавигационные приборы учебник

Следовательно,

	Я -	2	>П; V; Г Г
		=1
	Но vt = /-г£3, поэтому	П
	И =		mi rf Q.
		2
		i—l

Угловые скорости всех точек вращающегося тела одинаковы, по­ этому, вынося в последнем равенстве £3 за знак суммы, получим:

П

я = £ з 2 щ r i i=i

Сумма произведений масс материальных частиц, составляющих

тело, на квадраты их расстояний до некоторой оси называется			мо­
м е н т о м	и н е р ц и и т е л а	относительно этой оси. Следователь-
П	есть момент инерции	ротора относительно оси вращения
но 2 т гг?
1=1		г
X — X . Обозначив момент инерции ротора через J, получим:
	Я = ЛЗ.		(1)

Итак, момент количества движения ротора гироскопа вращающего­ ся вокруг своей оси, равен произведению момента инерции ротора отно­

сительно той же оси на его угловую скорость.

Учитывая, что угловая скорость вращения и момент количества движения —■векторные величины, равенство (1) запишем:

н = М

Вектор Я имеет то же направление, что и вектор угловой скорости Q, т. е. с конца вектора Я вращение ротора усматривается против на­ правления движения часовой стрелки.

Момент количества движения Я ротора гироскопа называется его

к и н е т и ч е с к и м м о м е н т о м .

В дальнейшем мы убедимся, что чем больше кинетический момент ротора, тем больше направляющий момент гирокомпаса, т. е. момент, устанавливающий ось гирокомпаса в меридиан. Из выражения Я =

= Л2 видно, что кинетический момент ротора можно увеличить путем увеличения момента инерции J или угловой скорости £3. Момент инер­ ции ротора зависит не только от его массы, но и от распределения этой массы относительно оси вращения, так как

П

j = 2 mt rb 1=i

Чем дальше от оси вращения расположена основная масса ротора, тем больше его момент инерции. Вот почему для увеличения кинетического момента ротору придают форму диска, утолщенного по краям. Однако

10

чрезмерное увеличение момента инерции ротора за счет его массы вле­ чет за собой возрастание веса и размеров гирокомпаса и поэтому неце­ лесообразно.

Другой величиной, от которой зависит кинетический момент рото­ ра, является его угловая скорость Q. В современных гирокомпасах ро­ торы гироскопов вращаются со скоростями до 30 тыс. об/мин, чем обес­ печивается большой направляющий момент гирокомпаса.

Теорема о кинетическом моменте. Эта теорема определяет закон изменения вектора кинетического момента при действии на вращающее­ ся тело внешних сил: производная по времени от вектора кинетическо­ го момента вращающегося тела равна вектору главного момента всех внешних сил, действующих на тело, т. е.

где L ■— главный момент, равный сумме моментов внешних сил, при­ ложенных к телу.

Нам уже известно, что производная по времени от вектора равна линейной скорости движения конца этого вектора, поэтому эту теоре­ му можно выразить иначе, т. е.

(1Н	= U,
I t
где U ■— линейная скорость конца вектора Н.
Следовательно,
U = L.		(3)

Итак, линейная скорость движения конца вектора кинетического момен­ та вращающегося тела равна по величине и направлению вектору глав­ ного момента внешних сил, приложенных к телу.

Эта теорема имеет большое значение для изучения свойств гиро­ скопа.

§ 3. СВОБОДНЫЙ ГИРОСКОП И ЕГО ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО

Уравновешенный гироскоп (см. § 1), у которого сумма моментов всех внешних сил, включая силы трения в подвесе, равна нулю, называется

с в о б о д н ы м г и р о с к о п о м . Практически создать свободный гироскоп пока не представляется возможным. Однако существующие гироскопы имеют настолько малые силы трения в подвесе, что по своим свойствам приближаются к свободному гироскопу.

Для свободного гироскопа, как это следует из определения, L — 0, и теорему момента количества движения можно записать в следующем виде:

	dH	0 или U — 0.
	dt

И

Это означает, что вектор кинетического момента Н свободного гиро­ скопа остается постоянным по величине и направлению в пространстве, а так как его направление всегда совпадает с главной осью X — X

гироскопа, то главная ось свободного гироскопа сохраняет неизменным первоначально заданное направление в пространстве. В этом и заклю­ чается основное свойство свободного гироскопа.

Основное свойство свободного гироскопа объясняется инерцией. Все точки вращающегося ротора имеют скорости, направленные в пло­

скости	вращения, и каждая точка стремится сохранить							неизменной
		в пространстве				плоскость своего
		вращения.		На			этом	основании
		плоскость вращения всего ротора,
		а следовательно,					и его главная ось
		также сохраняют					неизменными в
		пространстве			первоначальные на­
		правления.				угловая			скорость
		Чем больше
		вращения ротора, тем большим
		кинетическим				моментом			обладает
		гироскоп		и тем сильнее выражено
		его	свойство		сохранять				неизмен­
		ным	первоначальное					направление
		своей оси в пространстве.
Рис. 5. Видимое движение свободного		Пользуясь			свободным гироско­
		пом,	можно		проследить				суточное
гироскопа, установленного на эквато­		вращение		Земли			вокруг		ее оси.
ре (в	начальный момент времени
главная	ось гироскопа горизонтальна	Действительно,				если ось свободного
и направлена с запада на восток)		гироскопа		сохраняет				неизменным
		свое	первоначальное					направление

в пространстве, а сама Земля вращается, то наблюдатель должен уви­ деть, что ось гироскопа поворачивается относительно Земли. Если направить главную ось свободного гироскопа на какую-либо звезду, то ось гироскопа, сохраняя направление на звезду неизменным, будет вместе с ней изменять свой азимут и высоту, так как плоскости мери­ диана наблюдателя и истинного горизонта вращаются в пространстве вместе с Землей. Такое изменение положения главной оси гироскопа относительно меридиана и горизонта называется в и д и м ы м д в и ­ ж е н и е м .

Рассмотрим несколько случаев видимого движения свободного ги­ роскопа, установленного в разных точках земной поверхности.

Гироскоп установлен на экваторе. На рис. 5 изображен земной шар,

если смотреть на него со стороны северного полюса Рп. Окружность представляет собой экватор земного шара. Стрелкой показано направ­ ление вращения Земли (со стороны северного полюса это вращение усматривается против часовой стрелки).

Пусть в первоначальный момент ось X — X гироскопа горизон­ тальна и направлена по линии Ost — W (положение 1). Через некото­ рый промежуток времени Земля повернется на угол |3 и ось гироскопа, сохраняя неизменным свое первоначальное направление в простран­

12

стве, отклонится относительно плоскости истинного горизонта на такой же угол Р (положение 2). Положение 3 гироскоп займет через б ч. В этом положении ось X — X прибора будет расположена вертикально. Относительно плоскости горизонта в положении 4 она будет снова го­ ризонтальна, а в положении 5 — опять вертикальна.

За 24 ч, как это видно из рисунка, ось гироскопа повернется отно­ сительно Земли на 360°. Но это движение будет только кажущимся (ви­ димым), в действительности же в результате собственного вращения Земли поворачивается плоскость истинного горизонта, а ось гироскопа сохраняет неизменным в пространстве свое первоначальное направ­ ление.

Рис. 6. Видимое движение свободного	Рис. 7. Видимое движение свободного
гироскопа, установленного на эквато­	гироскопа, установленного на полюсе
ре (главная ось гироскопа направлена	(главная ось гироскопа горизонталь­
по линии N — S)	на)

Если гироскоп установить на экваторе и направить его главную ось по линии N — S (рис. 6), то в этом случае вследствие вращения Земли ось гироскопа будет поворачиваться вокруг оси X — X , параллельной оси вращения Земли, и наблюдатель не обнаружит видимого движения гироскопа.

Гироскоп установлен на полюсе. Предположим, что в первоначаль­ ный момент ось гироскопа горизонтальна и направлена на некоторую неподвижную звезду (рис. 7).

За 24 ч Земля совершит полный оборот вокруг своей оси. Нетрудно

сообразить, что гироскоп, сохраняя	неизменным направление оси
X — X на звезду, совершит видимый	поворот вокруг своей верти­

кальной оси на 360° в сторону, противоположную вращению Земли, т. е. по часовой стрелке.

Если главная ось гироскопа в первоначальный момент расположена вертикально — по линии P nPs (рис. 8), то наблюдатель не обнаружит видимого движения гироскопа, так как ось вращения Земли в этом слу­ чае совпадет с осью X — X гироскопа.

13

Гироскоп установлен в средней широте. Пусть				в	первоначальный
момент главная ось гироскопа	находится	в меридиане и горизон-
^	тальна (рис. 9,			положение 1).
	Через	некоторый					промежуток
	времени	Земля		повернется				вокруг
	своей оси и гироскоп						займет поло­
	жение 2.	В	этом		положении				ось
	X — X прибора составит с							мери­
	дианом	наблюдателя					некоторый
	угол а, так как меридиан наблю­
	дателя повернулся				в		пространстве
	вместе с Землей, а ось X — X гиро­
	скопа сохранила свое первоначаль­
	ное направление.				Одновременно с
	видимым уходом из					меридиана ось
	X — X	гироскопа				будет		подни­
	маться над горизонтом, так как
	последний вращается вместе с Зем­
	лей, причем		его		восточная			поло­
	вина, как это видно						из рисунка,
	в пространстве			опускается относи­
Рис. 8. Видимое движение свободного	тельно	своего			первоначального
	положения.		В	положении				3	ось
гироскопа, установленного на полюсе	X — X гироскопа вновь окажется в
(в начальный момент времени главная
ось гироскопа вертикальна)	плоскости меридиана,						но будет под­
	нята над горизонтом на угол Ршах.
Таким образом, гироскоп, установленный в средней северной широ­

те, обнаруживает уход северного конца главной оси от меридиана

Рис. 9. Видимое движение свободного гироскопа, установленного в северной широте (в начальный момент главная ось горизонтальна и находится в меридиане)

14

к востоку и от плоскости истинного горизонта вверх. Это движение только видимое, в действительности же в результате вращения Земли вращаются в пространстве плоскости меридиана наблюдателя и истин­ ного горизонта, причем северная часть меридиана наблюдателя непре­ рывно отходит от оси X — X гироскопа к западу, а восточная полови­ на горизонта опускается.

Каким же образом надо расположить в любой широте главную ось свободного гироскопа, чтобы она не совершала видимого движения и сохраняла неизменным свое направление относительно Земли? От­ вет на этот вопрос дают рассмотренные нами случаи установки оси X — X гироскопа параллельно оси Земли (см. рис.6 и 8). Только в слу­ чае параллельности главной оси гироскопа оси Земли наблюдатель не обнаружит видимого движения гироскопа.

§ 4. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ И ВЕРТИКАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЗЕМНОГО ВРАЩЕНИЯ

Мы выяснили, что если в первоначальный момент ось гироскопа находится в меридиане и горизонтальна, то в следующий момент вследствие вращения Земли она выйдет из меридиана и одновременно отклонится от горизонта. Чтобы использовать гироскоп в качестве курсоуказателя,т. е. превратить в гирокомпас, нужно заставить глав­ ную ось гироскопа непрерывно следовать за меридианом и оставаться все время в нем. Но для этого необходимо выяснить, с какими угло­ выми скоростями вращаются в пространстве сами плоскости меридиана и истинного горизонта для наблюдателя, находящегося в любой широте.

Вращение Земли, если наблюдать его со стороны северного полюса, совершается против направления движения часовой стрелки. Пред­ положим, что наблюдатель находится в северном полушарии в широте Ф (рис. 10). Пользуясь правилом построения вектора угловой скорости вращающегося тела, построим вектор угловой скорости вращения Зем­

ли (Of по оси мира P^Ps к северному полюсу. Разложим вращение Зем­ ли на два вращения: вокруг полуденной линии N — Эи вокруг отвес­

ной линии OZ наблюдателя. Для этого спроектируем вектор со^ на полу­ денную и отвесную линии наблюдателя. Из рисунка имеем:

= <*>6 cos Ф со2 = (о5 sin ф

Составляющая (щ называется г о р и з о н т а л ь н о й с о с т а в ­

л я ю щ е й з е м н о г о в р а щ е н и я , а составляющая со2 —’В е р ­ т и к а л ь н о й с о с т а в л я ю щ е й з е м н о г о в р а щ е н и я .

Горизонтальная составляющая земного вращения ©j показывает, что плоскость истинного горизонта вращается в пространстве вокруг ли­ нии N — S наблюдателя с угловой скоростью, равной со^. cos ф, причем

со стороны севера (с конца вектора о^) это вращение усматривается против направления движения часовой стрелки, т. е. восточная полови­

15

на горизонта непрерывно в пространстве «опускается», а западная — «поднимается» относительно своего начального положения.

Вертикальная составляющая земного вращения со2 показывает, что плоскость меридиана наблюдателя вращается в пространстве вокруг отвесной линии наблюдателя сугловой скоростью, равной со+ sirup, при­ чем со стороны наблюдателя, находящегося в северном полушарии, это вращение усматривается против направления движения часовой стрел­ ки, т. е. северная часть меридиана непрерывно «отходит» к западу.

В южной широте (рис. 11), так же как и в северной, вектор % на­ правлен по полуденной линии N — S к северу, т. е. направление врагце-

Рис. 10. Горизонтальная и вертикаль-	Рис. 11. Горизонтальная и вертикаль­
ная составляющие земного вращения	пая составляющие земного вращения
в северной широте	в южной широте

ния плоскости истинного горизонта не меняется — восточная половина его непрерывно в пространстве опускается, а западная поднимается.

Вертикальная составляющая земного вращения со2 в южной широте направлена не к зениту наблюдателя, как это было в северной широте, а к надиру. Следовательно, в южной широте вращение меридиана на­ блюдается по направлению движения часовой стрелки, т. е. северная часть меридиана непрерывно «отходит» к востоку.

Пользуясь формулами (4) для горизонтальной и вертикальной со­ ставляющих земного вращения и зная их направления, легко опреде­ лить направления и скорости вращения плоскостей горизонта и мери­ диана и, следовательно, направления и скорости видимого движения оси свободного гироскопа, установленного в разных точках земной поверхности.

§ 5. ПРЕЦЕССИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ГИРОСКОПА

Проделаем следующий опыт. Приложим к свободному гироскопу силу F, которая стремится повернуть его вокруг горизонтальной оси Y — Y (рис. 12). Мы не обнаружим привычного для нас результата

16

действия силы, гироскоп не будет поворачиваться вокруг оси У — У, а вместо этого начнет поворачивать­ ся вокруг оси Z — Z в направлении, показанном стрелкой. Если прило­ жить к гироскопу силу, стремя­ щуюся повернуть его вокруг верти­ кальной оси Z — Z, то гироскоп начнет поворачиваться вокруг го­ ризонтальной оси У — У. Такой результат действия силы на гиро­ скоп представляется непонятным только на первый взгляд. Рассмот­ рим физическую сущность этого явления. На рис. 13 показаны ли­ нейные скорости vt точек вращаю­ щегося ротора, находящихся в дан­

ный	момент	на осях	У — У и
Z — Z гироскопа. Сила F стремит­
ся	повернуть	ротор	гироскопа

вокруг оси У — У. Легко сообра­ зить, что такая сила сообщает точ­ кам Л и Б ротора, находящимся в данный момент на оси Z — Z, до­ полнительные скорости Дvit на­ правленные перпендикулярно плос­ кости вращения ротора. Следова­ тельно, под действием силы F ско­ рости точек А я В изменят свои направления. Новые скорости этих точек будут направлены по равно­

действующим скоростей vt и A vt. Линейные скорости точек С и D

не изменятся, так		как эти точки
лежат в	данный	момент	на	оси
У — У,	вокруг которой		сила	F

стремится повернуть ротор гиро­ скопа.

Значит, под действием силы F гироскоп будет совершать такое движение, при котором направле­ ния скоростей точек С и D оста­ нутся прежними, а направления

скоростей точек А			я	В	изменятся.
Нетрудно видеть,			что		такое		дви­
жение	будет	совершаться				вокруг
оси Z — Z,		причем		сверху			оно
будет	усматриваться				по	часовой
стрелке.

I

i

Рис. 13. Движение гироскопа под дей­ ствием приложенной силы

1

движения приметТТ*".7т"" I TtnptlMr о кинеттфеско)м°1001„Гей.„ «5®.„ичная„ л

*чно'те*НИЧ1к1Ка Библиотека i CCF

ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО з д л>

Итак, под действием приложенной силы гироскоп совершает пово­ рот, причем плоскость этого поворота перпендикулярна линии действия силы. Такое движение гироскопа называется п р е ц е с с и о н н ы м д в и ж е н и е м и л и п р е ц е с с и е й .

Прецессионное движение гироскопа легко объясняется и теоремой о кинетическом моменте. Согласно этой теореме (см.стр. 11) линейная скорость движения конца вектора кинетического момента вращающе­ гося тела равна по величине и направлению главному моменту внешних сил, приложенных к телу.

На рис. 14 показан гироскоп, к которому приложена сила F, стре­ мящаяся повернуть его вокруг оси Y — Y. Построим вектор момента

этой силы L. Согласно принятому в механике правилу, вектор L дол­ жен лежать на оси, вокруг которой действует сила, и из его конца действие силы должно усматриваться против движения часовой стрелки.

Согласно формуле (3) U = L, где U — вектор линейной скорости движения конца вектора Я. Построим из конца вектора Я вектор U так, чтобы он по величине и направлению был равен вектору L. Вектор U покажет нам направление и скорость движения конца вектора кине­ тического момента Я. Из рисунка видно, что конец вектора Я вместе с главной осью гироскопа начнет совершать движение вокруг оси Z — Z гироскопа, т. е. в плоскости, перпендикулярной линии действия

силы F. Траектория движения конца вектора Я показана на рис. 14 пунктирной линией.

Определим угловую скорость прецессионного движения сор. Для этого достаточно определить угловую скорость одной точки гироскопа,

например точки, определяющей конец вектора Я . Так как при враща­ тельном движении точки угловая скорость ее равна линейной, делен­ ной на радиус вращения, то, как следует из рис. 14,

U

=— • -

рН

Но U = L, следовательно,

(5)

Таким образом, угловая скорость прецессионного движения прямо пропорциональна моменту внешней силы и обратно пропорциональна кинетическому моменту. _

Направление вектора угловой скорости прецессии сор определится по известному нам правилу: из конца этого вектора прецессионное дви­ жение должно усматриваться против часовой стрелки.

Рассматривая	рис. 14, видим, что в прецессионном движении конец
вектора Я стремится к концу вектора L. Конец вектора Я называет­
ся п о л ю с о м	г и р о с к о п а , а	конец вектора L —п о л ю с о м
м о м е н т а в н е ш н е й с и л ы .		Для определения направления

прецессионного движения пользуются следующим правилом: в преце-

18

сионном движении полюс гироскопа стремится к полюсу момента внешней силы по кратчайшему пути.

Это правило называется п р а в и л о м п о л ю с о в . Правило полюсов позволяет решать следующие задачи, связанные с практикой использования гирокомпаса.

З а д а ч а 1. Зная направление вращения ротора гироскопа (направление вектора Я) и силу, действующую на гироскоп, можно определить направление

прецессионного движения, т. е. направление вектора Шр.	_
Эта задача была уже решена при рассмотрении рис. 14.

З а д а ч а 2. Зная направление вектора Я и направление вектора шр уг­ ловой скорости прецессии, можно определить ось, вокруг которой действует сила, и направление действия силы, т. е. г можно определить направление век­

тора L. Такая задача решается на прак­ тике при ускоренном приведении одно­ роторного гирокомпаса в меридиан.

На рис. 15 показано положение главной оси гироскопа относительно истинного меридиана. Требуется прило­ жить к гироскопу такой момент, чтобы его главная ось в результате прецессии

пришла в меридиан. Для определения

направления вектора L рассуждаем так: в прецессионном движении_полюс гиро­

скопа, т. е. конец вектора Я, стремится по кратчайшему пути к полюсу внешней

силы, т. е. к концу ветора L. По усло­ вию поставленной задачи прецессионное движение гироскопа должно совершать­

Рис. 15. Определение направления век­ тора L по известным Я и соР

ся к меридиану, т. е. вектор сор должен быть направлен вверх. Следовательно, полюс момента внешней силы должен ле­

жать на той половине оси Y — Y, которая расположена за плоскостью рисунка. Положение же полюса момента внешней силы определяет направление вектора L.

З а д а ч а 3. Зная направление векторов L и мр, можно определить на­

правление вращения ротора, т. е. направление вектора Я. Такая задача решается на практике при определении направления вращения ротора гироскопа при пер­ вом пуске однороторного гирокомпаса. Как мы увидим в дальнейшем, в одно­ роторных гирокомпасах вращение ротора должно совершаться против часовой стрелки, если смотреть со стороны южного конца главной оси гироскопа. Если проводники, подводящие напряжение на трехфазную обмотку статора гиромото­ ра, подключены неправильно, то направление вращения ротора будет обратным. Поэтому при первом пуске однороторного гирокомпаса необходимо убедиться в правильности направления вращения ротора гироскопа. Для этого достаточно определить положение полюса гироскопа, из которого, как известно, вращение ротора усматривается против часовой стрелки. Чтобы определить положение полюса гироскопа, надо приложить к гироскопу произвольную силу и проследить, какой конец главной оси гироскопа перемещается в прецессионном движении

кполюсу момента внешней силы.

Взаключение отметим, что прецессионное движение прекращается сразу же после прекращения действия силы. В силу этого свойства

всякие толчки и удары, которые передаются от корпуса судна на гиро­ компас, вызывают прецессию гироскопа только в течение своего дейст­ вия, а так как оно кратковременно, то ось гироскопа практически ос­ тается в меридиане. Таким образом, удары и толчки не оказывают на гирокомпас почти никакого влияния, и в этом его большое достоинство.

. 19