1. Системы счисления

Начнем с некоторых общих замечаний относительно понятия число.

Можно считать, что любое число имеет значение(содержание) иформу представления. Отметим, что это весьма напоминает порядок использования переменных в компьютерных программах – там переменные тоже имеют значение и имя.

Значение числа задает его отношение к значениям других чисел («больше», «меньше», «равно»). Следовательно, значения чисел определяют порядок записи чисел на числовой оси.

Форма представления определяет способ записи числа с помощью предназначенных для этого знаков. При этом значение числа является инвариантом, то есть не зависит от способа его представления. Число с одним и тем же значением может быть записано по-разному, то естьотсутствует взаимно однозначное соответствие между представлением числа и его значением. Способ представления числа определяется выбранной (используемой) системой счисления.

Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.

Существуют различные системы, которые можно объединить в несколько групп:

• унарные системы счисления;

• непозиционные системы счисления;

• позиционные системы счисления.

Унарная– это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак –I(«палочка»). Следующее число получается из предыдущего добавлением новойI; их количество (сумма) равно самому числу. Такая система применяется для начального обучения счету. Именно унарная система определяет значение целого числа количеством содержащихся в нем единиц. Для записи числа в унарной системе в дальнейшем будем использовать обозначение.

Из непозиционныхсистем счисления наиболее распространенная –римскаясистема счисления. В ней базовые числа обозначены заглавными латинскими буквами:

1 – I, 5 –V, 10 –X, 50 –L, 100 –C, 500 –D, 1000 –M.

Все другие числа в римской системе строятся комбинацией базовых в соответствии со следующими правилами:

• если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются; если слева – то меньшее значение вычитается из большего;

• цифры I,X,C,Mмогут следовать не более трех раз подряд;

• цифры V,L,Dмогут использоваться в записи числа не более одного раза.

Например, запись XIXсоответствует числу 19,MDXLIX– числу 1549.

Запись чисел в римской системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным оказывается выполнение в ней даже самых простых арифметических операций. Отсутствие нуля и знаков для чисел больше Mне позволяют римскими цифрами записать совершенно произвольное число. По этим причинам теперь римская система используется лишь для нумерации.

Общим для унарной и римской систем счисления является то, что значение числа в них определяется посредством операций сложения и вычитания базисных цифр, из которых составлено число. Такие системы относятся к аддитивным.

В настоящее время для представления чисел применяют, в основном, позиционныесистемы счисления.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Наиболее распространенной и привычной является десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число представляет собой краткую запись многочлена, в который входят степени некоторого другого числа – основаниясистемы счисления.

Пример. , здесь основанием является число «10».

Число Kединиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называютоснованием позиционной системы счисления, а сама система счисления называетсяK-ичной.

Числа можно записать как суммы степеней не только числа 10, но и любого другого числа, большего 1. Например, в Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд заимствовано именно из этой системы счисления. А то, что человечество выбрало в качестве основания очень распространенной системы счисления число 10, вероятно, связано с тем, что природа наделила людей десятью пальцами.

Запись произвольного числа XвK-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

, (10.1)

где каждый коэффициент может является одним из базисных чисел K-ичной системы и изображается цифрой. В качестве базисных чисел берутся последовательные целые числа от 0 довключительно.

Позиционное представление чисел является аддитивно-мультипликативным, поскольку значение числа определяется операциями сложения и умножения.

Главной особенностью позиционного представления является то, что в нем посредством конечного набора знаков (цифр, разделителя десятичных разрядов и обозначения знака числа) можно записать неограниченное количество различных чисел. В позиционных системах гораздо легче, чем в других, осуществляются операции умножения и деления. Именно эти обстоятельства обусловили доминирование позиционных систем при обработке чисел человеком и компьютером.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании системы счисления.

Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием Kумножение на число вида(m– целое число) сводится просто к перенесению запятой у множимого числа наmразрядов вправо или влево (в зависимости от знака числаm), так же как и в десятичной системе счисления.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса при нем, например, .