2. Сложение вероятностей независимых несовместных событий

Условимся обозначать знаком «» – логическое «или», знаком «» – логическое «и». Знак– означает «неA».

Пусть среди всех возможных равновероятных исходов опыта благоприятными оказыаются любое из событий или .

Пусть события и независимы (между ними отсутствуют причинно-следственные связи, не влечет за собой и наоборот).

Кроме того, пусть события и несовместны (они не могут наступить одновременно, или одно из них не может наступить, если наступило другое).

Пусть из общего числа возможных равновероятных исходов опыта событие осуществляется способами, а событие осуществляется способами. Тогда: , .

Справшивается, как найти вероятность интересующего нас сложного события ? – сумма событий и . Ясно, что общее число способов, которым может реализоваться событие , равно . Тогда получаем:

.

Таким образом,

Вероятность любого из двух независимых и несовместных событий равна сумме их вероятностей:

. (3.5)

Пример. Какова вероятность вынуть красный или зеленый шар из коробки с 10 шарами, в которой 5 красных, 3 зеленых и 2 черных шара?

Вероятность вынуть красный: , вероятность вынуть зеленый: , следовательно, .

Формула (3.5) обобщается на произвольное число благоприятных условий. Пусть из несовместных исходов опыта имеются благоприятных исходов, причем вероятности каждого из благоприятных исходов равны , где . Тогда вероятность наступления любого из этих благоприятных исходов равна

. (3.6)

Поскольку ясно, что в результате опыта с возможными исходами какой-либо исход обязательно произойдет, то вероятность сложного события , состоящего в наступлении любого исхода, равна единице (то есть достоверно):

. (3.7)

Формула (3.7) – это условие нормировки.

Если возможных исходов в опыте всего два (), то наступление одного исхода означает ненаступление другого . В этом случае исход является противоположным исходу , то есть («не »). Из условия нормировки (3.7) следует, что в таком опыте один из двух возможных исходов обязательно произойдет, то есть наступление исхода или исхода есть событие достоверное: , поэтому:

. (3.8)

События иназываются дополнительными.

Пример. Какова вероятность не вытащить пиковую даму из колоды 36 карт? Вероятность вытащить (событие ) эту карту равна. Вероятностьне вытащить ее (событие ) равна.

3. Умножение вероятностей независимых совместных событий

Совместные события могут произойти одновременно. Также события совместны, если одно из них может произойти, если произошло другое.

Пусть событие реализуется способами из равновероятных исходов одного опыта, а событие реализуется способами из равновероятных исходов другого опыта, независимого от первого.

Спрашивается, какова вероятность одноврменного наступления обоих событий и , или, что то же самое, наступления одного из этих событий при условии, что другое произошло? То есть надо определить вероятность сложного события . – это произведение событий и .

Ясно, что каждому из исходов первого опыта соответствуют исходов второго опыта, или наоборот, каждому из исходов второго опыта может соответствовать любой из исходов первого опыта. Поэтому общее количество возможных равновероятных исходов этих независимых обоих опытов равно произведению .

Также из тех же соображений ясно, что число возможных благоприятных (интересующих нас) исходов равно .

Таким образом, вероятность совместного наступления событий и определяется следующим образом:

.

Таким образом, вероятность одновременного (совместного) наступления двух благоприятных исходов независимых событий равна произведению их вероятностей:

. (3.9)

Пример. Какова вероятность выбросить 2 раза подряд по 6 очков в двух бросках кубика (или, что эквивалентно, при однократном броске двух кубиков)? Поскольку , то.

Формула (3.9) может быть обобщена на произвольное число совместных благоприятных событий (исходов) в независимых опытах. Если вероятности наступления этих событий в каждом из опытов,, …,, то вероятность их совместного наступления будет равна:

. (3.10)

Поскольку, , то, очевидно,, то есть вероятность совместного наступления событий не может превышать вероятность любого из них.