Лекция 11. Кодирование чисел в компьютере и действия над ними

1. Нормализованные числа

2. Преобразование числа из естественной формы в нормализованную

3. Преобразование нормализованных чисел

4. Кодирование и обработка целых чисел без знака

5. Кодирование и обработка целых чисел со знаком

6. Кодирование и обработка вещественных чисел

1. Нормализованные числа

Вещественное число Xможет быть представлено в двух формах – естественной и нормализованной.

В естественной формев представлении числаXимеется целая и дробная части, между которыми помещается разделитель (запятая или точка), например, 123.4567. Такая форма записи называется «представление числа с фиксированной точкой(запятой)». Такая запись неудобна для очень больших или очень малых чисел. Кроме того, использование такой формы представления в компьютере вызывало бы снижение точности вычислений из-за необходимости приведения в соответствие разрядов обрабатываемых чисел и связанных с этим округлений. Также использование такой формы могло бы породить ситуацию, называемуюпереполнением, когда старший разряд числа не умещается в отведенной разрядной сетке. По указанным причинам вещественные числа в компьютере представляются внормализованном виде(другое название – «представление числа с плавающей точкой (запятой)»). Главным достоинством представления числа в форме с плавающей точкой является автоматическое масштабирование числа на каждом этапе обработки. Это обеспечивает максимально возможную точность вычислений, а также избавляет от необходимости принимать специальные меры по предотвращению переполнения. Представление числа с плавающей точкой универсально для всех чисел, кроме чисел целого типа (то есть например, кроме типовInteger,Word,Byte).

Десятичное число называется нормализованным, если оно представлено в следующем виде:

. (12.1)

В этой записи величина называетсямантиссойнормализованного десятичного числа; значения мантиссы лежат в интервале. Величинаназываетсяпорядкомнормализованного десятичного числа и является целым десятичным числом.

Примеры нормализованных десятичных чисел:

;

.

Понятие нормализованного числа следует отличать от понятия числа в нормальной форме. Последняя достаточно часто используется при записи чисел в физико-математических, технических дисциплинах и отличается от нормализованного представления тем, что мантисса лежит в интервале в интервале. Например,.

При нормализации происходт выделение «составляющих» числа: его знака, мантиссы, порядка и его знака. Это создает значительные удобства при хранении и обработке чисел в компьютере.

Аналогично нормализации десятичного числа можно в нормализованной форме представить и число в произвольной P-ичной системе счисления:

. (12.2)

При этом значения мантиссы лежат в интервале (первая значащая цифра мантиссы всегда ненулевая, как минимум, является единицей), а показатель степени представляется в системе .

Например, для :

,

причем в случае мантисса располагается в промежутке , что соответствует десятичному интервалу .

2. Преобразование числа из естественной формы в нормализованную

При нормализации различаются ситуации и .

При для нормализации необходимо перемещать разделитель разрядов (точку или запятую)влевопо числу до тех пор, пока не исчезнет целая часть числа, но первая цифра после разделителя разрядов будет ненулевой. Каждое перемещение разделителя на 1 разряд влево эквивалентно делению числа наP, и, чтобы число не менялось, показатель степени (порядок числа) необходимо увеличивать на единицу при каждом сдвиге. Эта операция называетсянормализацией влевои обозначается.

Пример. ;;

(напомним, что).

При для нормализации чисел используют операциюнормализации вправо(). Очевидно, числа, меньшие, чем , необходимо умножать наPс одновременным уменьшением показателя на единицу, пока первая цифра после разделителя не станет ненулевой.

Пример. ;

.

Подчеркнем, что порядок числа (показатель степени) должен записываться в той же системе счисленияP, в которой записана мантисса нормализуемого числа. Также изменение значения при нормализации числадолжно производиться по правилам той же самойP-ичной арифметики.