- •В. Г. Шершнев математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Календарно-тематический план Распределение часов по темам и видам работ
- •Глава I. Введение в математический анализ
- •1.1. Множества
- •1.1.1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.1.4. Декартово произведение множеств
- •1.1.5. Модуль числа, его свойства
- •1.1.6. Грани числовых множеств
- •1.1.7. Счетные и несчетные множества
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •1.4. Предел функции
- •1.4.1. Определение предела функции
- •1.4.2. Геометрический смысл предела
- •1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций
- •1.5.2. Свойства бесконечно малых функций
- •1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)
- •1.8. Замечательные пределы
- •1.8.1. Первый замечательный предел
- •1.8.2. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •1.9. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке
- •1.10.1. Определение непрерывности функции
- •1.10.2. Действия над непрерывными функциями
- •1.10.3. Непрерывность элементарных функций
- •1.10.4. Свойства непрерывных функций
- •1.10.5. Точки разрыва функций
1.2. Функции, их классификация
Одним из основных понятий математического анализа является функция.
Зачатки определения функции имелись у П. Ферма и Б. Паскаля. Впервые слово функция употребил Лейбниц в 1692 г.
Определение функции, наиболее близкое к современному, дал И. Бернулли в 1718 г.
До недавнего времени наиболее распространенным было следующее определение функции.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению х соответствует единственное определенное значение y. Записывается .
В настоящее время обычно употребляют определение функции, основанное на теории множеств.
Переменная величина y называется функцией переменной величины x с областью определения D и множеством значений E, если для любого значения х, принадлежащего множеству D ( x D) существует единственное значение y, принадлежащее множеству Е (y E) (рис. 3), т. е.
.
Рис. 3
Например, найти область определения и множество значений функции . Получаем,.
Если между множествами D и E можно установить взаимно однозначное соответствие, то существует обратная функция или.
Если аргумент функции является в свою очередь функцией переменной величиных , тоназываетсясложной функцией.
Здесь функции иназываются составляющими функциями.
Например, сложная функция, ее составляющие функциии.
Основными элементарными функциями являются следующие:
1) степенная функция;
2) показательная функция;
3) логарифмическая функция;
4) тригонометрические функции;
5) обратные тригонометрические функции.
Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень.
Например, .
Функция называется алгебраической, если она образована из независимой переменной x с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень с рациональным показателем.
Функция называется трансцендентной, если она не является алгебраической.
Алгебраическая функция называется иррациональной, если она содержит операцию извлечение корня.
Функция называется рациональной, если она является алгебраической и не содержит корней независимой переменной.
Простейшей рациональной функцией является многочлен вида
,
где – числовые коэффициенты,х – независимая переменная, n – целое положительное число.
Любую рациональную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов
,
где ,– числовые коэффициенты,m – целое положительное число.
1.3. Предел последовательности
Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.
-окрестностью точки называется интервал длиной 2 с центром в этой точке.
В математическом анализе обычно рассматривается -окрестность точки , которая не содержит точку(рис. 4).
Кратко записывается
или .
Рис. 4
Пусть в некоторой области D имеется предельная точка .
Точка называется предельной, если любая, сколь угодно малая, ее окрестность содержит бесконечное множество точек этого множества. Из любого бесконечного множества точек можно выбрать бесконечное счетное множество, т.е. последовательность . Пусть эта последовательность такая, что с увеличением номераn члены последовательности неограниченно приближаются к, но никогда не достигают его. Так что расстояние от точких до точки становится сколь угодно мало, но никогда не становится равным нулю. В этом случае говорят, что члены последовательностистремятся к. Стремятся к– значит неограниченно приближаются, но не достигают(рис. 5).
Рис. 5
Определение предела последовательности. Число b называется пределом последовательности (), если для любого, сколь угодно малого, положительного существует такое положительное число N, что если номер члена последовательности n > N, то принадлежит-окрестности числа b ().
Кратко с помощью кванторов можно записать
.
Например, доказать, что . Запишем последнее соотношение из определения предела и преобразуем его, учитывая, что, аb = 0. Получим . Отсюда следует, что для того, чтобы член последовательностиотличался от пределаb = 0 меньше, чем на = 0,001, его номер n должен быть больше (n > 1000). При = 0,0001 N() равняется и т. д. Таким образом, для любого можно выбрать N() такое, что , если толькоn > N(). Следовательно, предел этой последовательности равен нулю.
Теорема Больцано-Коши (без доказательства). Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало N()> 0 такое, что если n > N, m > N, то .
Теорема Вейерштрасса (без доказательства). Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.
Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любогоn N ().