- •В. Г. Шершнев математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Календарно-тематический план Распределение часов по темам и видам работ
- •Глава I. Введение в математический анализ
- •1.1. Множества
- •1.1.1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.1.4. Декартово произведение множеств
- •1.1.5. Модуль числа, его свойства
- •1.1.6. Грани числовых множеств
- •1.1.7. Счетные и несчетные множества
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •1.4. Предел функции
- •1.4.1. Определение предела функции
- •1.4.2. Геометрический смысл предела
- •1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций
- •1.5.2. Свойства бесконечно малых функций
- •1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)
- •1.8. Замечательные пределы
- •1.8.1. Первый замечательный предел
- •1.8.2. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •1.9. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке
- •1.10.1. Определение непрерывности функции
- •1.10.2. Действия над непрерывными функциями
- •1.10.3. Непрерывность элементарных функций
- •1.10.4. Свойства непрерывных функций
- •1.10.5. Точки разрыва функций
1.8.2. Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность , где . Найдем несколько членов этой последовательности:
; ;; …,
; ;.
Как можно заметить, члены последовательности возрастают с увеличением их номеров.
Если последовательность монотонно возрастает n и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Покажем, что рассматриваемая последовательность удовлетворяет этим требованиям.
Покажем сначала, что рассматриваемая последовательность монотонно возрастает, т. е. n.
Воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона, которая имеет вид
.
Запишем разложение члена последовательности по этой формуле
.
Здесь в слагаемых каждый сомножитель, стоящий в числителе дробей, поделим на n, имеющееся в знаменателе. Получим
.
Также поступим с .
.
Так как слагаемые в разложении меньше соответствующих слагаемых в разложении:
, , …, k N,
то .
Покажем, что последовательность ограничена. Запишем
.
Поделим каждую скобку в числителе на n, получим
.
Каждая скобка в правой части этого равенства меньше единицы, поэтому справедливо неравенство
.
Усилим данное неравенство. Уменьшим знаменатели дробей, заменив факториалы, стоящие в знаменателях на степени:
; ;, …,,…,.
Имеем неравенство , правая часть которого приn представляет бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Найдем сумму этой бесконечной прогрессии, получим
.
Следовательно, последовательность ограничена.
Таким образом, последовательность с общим членом имеет предел. Этот предел равен
, (1.2)
где e = 2,718281828… иррациональное число.
Покажем, что второй замечательный предел может быть записан в следующем виде
, где непрерывная бесконечно малая функция.
Значение любой бесконечно малой функции (х) при конкретном значении х удовлетворяет неравенству
,
где n подходящее достаточно большое число.
Отсюда можно записать два неравенства
и .
Тогда справедливо неравенство
.
При этом если (х)0, то n .
Так как
,
,
т. е. , то по теореме 1.8 о промежуточной функции
. (1.3)
Данное число е, являясь основанием экспоненциальной функции , имеет большое значение в математике и естественных науках.
Второй замечательный предел может быть использован при раскрытии неопределенностей типа , но не любого вида, а только в том случае, когда добавка к единице(х) и степень находятся в строго определенном соотношении. К единице должна прибавляться бесконечно малая функция (величина), а степень должна являться обратной к этой функции (величине).
Пример 1.8. Найти предел .
Р е ш е н и е. Так как в основании функции под пределом к единице добавляется , то для того, чтобы применить второй замечательный предел, степень должна быть равна обратной к ней величине, т. е.. Именно эту степень записываем, а затем с помощью алгебраических действий преобразуем ее к первоначальному виду, т. е. кn.
.
Учитывая то, что степени перемножаются при возведении в степень, получаем .
Пример 1.9. Найти предел .
Р е ш е н и е. Прежде всего необходимо убедиться, что в данном пределе имеется возможность применить второй замечательный предел. Для этого и найдем предел . Следовательно, имеет место неопределенность типа.
Затем отдельно ищем предел числителя и знаменателя
.
С пределами в числителе и знаменателе поступаем так же, как в предыдущем примере 1.8, т. е. вместо степени х записываем степени, которые требуется для применения второго замечательного предела, а затем их компенсируем.
Получаем
.
При нахождении этого предела возможен другой способ решения, введение новой переменной. Обозначим основание функции под пределом через 1+, получим .
Определяем, к чему стремится : .
Находим предел
.