- •В. Г. Шершнев математический анализ
- •Часть I. Дифференциальное исчисление
- •Оглавление
- •Календарно-тематический план Распределение часов по темам и видам работ
- •Глава I. Введение в математический анализ
- •1.1. Множества
- •1.1.1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.1.4. Декартово произведение множеств
- •1.1.5. Модуль числа, его свойства
- •1.1.6. Грани числовых множеств
- •1.1.7. Счетные и несчетные множества
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •1.4. Предел функции
- •1.4.1. Определение предела функции
- •1.4.2. Геометрический смысл предела
- •1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций
- •1.5.2. Свойства бесконечно малых функций
- •1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)
- •1.8. Замечательные пределы
- •1.8.1. Первый замечательный предел
- •1.8.2. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •1.9. Сравнение бесконечно малых функций
- •1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке
- •1.10.1. Определение непрерывности функции
- •1.10.2. Действия над непрерывными функциями
- •1.10.3. Непрерывность элементарных функций
- •1.10.4. Свойства непрерывных функций
- •1.10.5. Точки разрыва функций
1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций
Определение бесконечно малой функции. Функция (x) называется бесконечно малой функцией при , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для любого x, принадлежащего -окрестности (x) находится в -окрестности начала координат (x), т.е..
В краткой записи на языке « » данное определение имеет вид
.
Ни какое малое число (например, и т. д.) не является бесконечно малой величиной, кроме числа.
Определение бесконечно большой функции. Функция называется бесконечно большой при, если для любого сколь угодно большого положительного числаN существует такое положительное число , зависящее отN, что если x принадлежит -окрестности числа (), то абсолютная величина значения функции больше числаN ( ), т.е..
Иначе, можно кратко записать
.
Теорема 1.2. Функция, обратная по величине к бесконечно малой функции является бесконечно большой и, наоборот, функция, обратная по величине к бесконечно большой, является бесконечно малой функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Пусть (x) бесконечно малая функция, т. е. . Докажем, чтоявляется бесконечно большой, т. е.. ПустьN произвольно выбранное сколь угодно большое положительное число. Так как , то для любого, в том числе и для >0, существует такая-окрестность , что, т. е.. Однако,равносильно. Следовательно, для значенийх, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функцияпо абсолютной величине больше произвольно выбранного сколь угодно большого числаN, а это означает, что .
2. Пусть . Докажем, чтоявляется бесконечно малой функцией, т.е.. Так как, то для любогоN, в том числе и для >0, где произвольно выбранное сколь угодно малое положительное число, существует такая -окрестность , что. Однако,. Следовательно, для значенийх, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функцияпо абсолютной величине меньше произвольно выбранного числа, а это означает, что .
Например, если , то, и наоборот, если, то.
Данная теорема часто используется при нахождении пределов дробно-рациональных функций.
1.5.2. Свойства бесконечно малых функций
Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пустьбесконечно малые функции при .
По определению для этих бесконечно малых функций запишем:
;
;
………………………………………………………………………………………..
.
Если принять , тоимеет место неравенство:
,
т. е. сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.
Свойство 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функциюявляется бесконечно малой функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (х) бесконечно малая функция, т. е. , а функцияf(x) в окрестности точки ограничена, т. е. , где. Так как бесконечно малая функция, то как бы мало ни было число , в том числе и равное , существует такая-окрестность , что.
Поэтому .
Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величинуС является бесконечно малой функцией, т. е. .
Следствие 2. Произведение бесконечно малых функций иявляется бесконечно малой функцией.
Свойство 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля () является бесконечно малой функцией.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x) бесконечно малая функция, т. е.
и . Докажем, что.
Так как , то существует такая-окрестность , что, а следовательно. Это значит, что в-окрестности точки функцияограничена. По свойству 2 произведение бесконечно малой(x) на ограниченную функцию является бесконечно малой, т. е..