uchebnik10

виде вариационных кривых, как это показано на рис. 13, можно убедиться в том, что они согласуются между собой. СледоватеJ1Ь­

но, формула (47) для нахождения выравнивающих частот этого

ряда выбрана правильно.

"'"	175		I
~
'"					f
:::::			I
§	125		I
..~, ::.			f
~ :::::
",::;,.
~~	75	I
'-'~
""'."
t::
-о
1:;:",-
§	25						110- 130	~--
:§!	о			50		90		150
		10	30		70
				Масса		zнеэiJ, г
Рнс.	13.	Эмпирическая		(1)	н вычислеииая цо формуле			Макс-

велла (2) кривые распределения массы гнезд томатов

111.10. ИЗМЕРЕНИЕ АСИММЕТРИИ И ЭКСЦЕССА

Среди эмпнрических распределений асимметрия и эксцесс встречаются довольно часто. Заметить асимметрию и эксцесс

можно по характеру распределения частот в классах вариацион­

ного ряда. Графически асимметрия выражается в виде скошен­

ной вариационной кривой, вершина которой может находиться левее или правее центра распределения. В первом случае асим­

метрия называется правосторонней или положительной, а во втором - левосторонней или отрицательной (по знаку числовой

характеристики). При правосторонней асимметрии ее пологая

сторона находится правее (рис. 14), при левосторонней - левее центра распределения (рис. 15).

Рис. 14. Асимметричиая кривая	Рис. 15. Асимметричная кривая
(положительная аснмметрня)	(отрицательная асимметрия)

89

Наряду с асимметричиыми встречаются островершин,ные f. nлос"овершинные распределения. Островершннность кривой ра(.·

пределения вызывается чрезмерным накапливанием частот 1

центральных классах варнацнонного ряда, вследствне чего ве"

шнна варнационной крнвой оказывается снльно поднятой ввер••

В такнх случаях говорят о noложительном э"сцессе расnредеЛt;­ ния (рис. 16). Кроме одновершинных встречаются н двух- F

многовершинные кривые, а также nлос"овершинные н двuгОDбы!

			х=о
Рис. 16. Крутовершииная кривая -	Рис.	17.	Плосковершииная		кр.,
положительиый эксцесс (1) в срав­	вая -	отрицательиый эксцесс			(1
иеиии с иормальиой кривой (2)	в сравиеиии с			иормальной	Крl'
			вой	(2)
крнвые, что свидетельствует о налнчнн			у такого распределеННf"

отрицательного эксцесса (рис. 17).

Велнчнна асимметрни н эксцесса может быть разлнчной, ш·

этому важно ее не только обнаружнть, но н нзмернть. ДЛЯ НЗМt-·

рення аснмметрнн и эксцесса используют центральные MOMeHTt

распределения третьего и четвертого порядков. В качестве ПОКi­ зателя асимметрин As служнт центральный момент третьего пt·

рядка J.tз, отнесенный к кубу среднего квадратического ОТКЛОНt-­

	ння sJл т. е.	•		I'~'
	S,x		n		(48
		~ 11
	As = fL~		(Xl- х)а
		_ --=-'-_l~____

Прн строго снмметрнчных распределеннях сумма третьих сте­

пеней отклонений вариант х/ от средней арифметичеСl~ОЙ х равн..

нулю н As=O. Прн налнчни скошенностн распределения этот пс·

казатель будет нметь положнте.1IЬНУЮ (прн правосторонней aCH~

метрнн) лнбо отрицатмьную велнчнну (прн левосторонией aCH~

метрнн), которая н служит мерой асимметрии.

Показатель эксцесса, обозначаемый символом Ех, выражае1

ся формулой	±1/ (х/- х)4	I ]
Ех= 11: -3=[ /-1		s~ -3.	(49
S,x	n

90

При отсутствии эксцесса Ех=О. В случае положительного эксцес­

са этот показатель приобретает положительный знак (+) и мо­

жет иметь самую различную величину. При плосковершинности

и двугорбости вариационной кривой коэффициеит Ех имеет отри­

цательный знак (-); предельная величина отрицательного экс­

цесса равна минус двум.

Вычисление показателей асимметрии и эксцесса по формулам (48) и (49), т. е. способом произведений непосредственно по

центральным моментам распределения, оказывается довольно

трудоемким, особенно при наличии в выборке многозначных чи­

сел. Поэтому центральные моменты обычно вычисляют косвен­

ным путем - через условные моменты распределения, которые,

как было показано в гл. 11, связаны определенным образом с

центральными моментами. Вычисление условных моментов про­

изводят по-разному в зависимости от того, каким способом­

условной средней или способом сумм - определяют коэффици­

енты асимметрии и эксцесса.

При вычислении показателей As и Ех способом условной средней А статистические моменты определяют по формулам

bl=~flajn; b2=~fia2In; Ьз=!f/аЗjn и b4=~fla4,/n.

где a=(Xj-А)/л; n-общее число наблюдений; f/-частоты

вариационного ряда; л - классовый интервал 1. Ниже приведе­

ны соответствующие примеры.

Прu.мер 7. На практических занятиях студентам было пред­

ложено измерить в миллиметрах длину отобранных наугад 200 хвоинок сосны обыкновенной. В результате был получен вариа­

ционный ряд, по которому рассчитывали								значения показателей
асимметрии и эксцесса.						и Щiа4 (табл. 30).
Определяем !.fia, !.fia2, Щjа					З				Ь1= 153/
Пользуясь			итогами	этой	таблицы,			определяем:
200=0,765;		Ь2	=955/200=4,775;				Ьз= 1059/200=5,295		и	Ь4=
= 13687/200=68,435,				а также			b l 2 =0,5852; b l 3 =0,4477;			b 14 =
=0,3425;	2ы =0,8954;;			3b I 4 =1,o274; 3b1b2 =10,9586;					6b 12b2 =
= 16,7660	и	4Ь1Ьз= 16,2027.				Находим:		sx2 =b 2-b I 2 =4,775-
-0,5852=4,1898; sx=2,0469;					sx3 =8,5761			и sx4 = 17,5544.		Пере­

ходим к определению центральных моментов распределения:

f.tз=5,295-10,9586+0,8954=-4,7682;	/.14 =	68,4350-16,2027 +
+ 16,7660- 1,0274 = 67,9709. Отсюда	As =	- 4,7682/8,5761 =

=-0,5560 и Ех=67,9709/17,5544-3=3,8720-3=0,8720. Полу­ ченные величины As и Ех показывают, что данное распределе-

\ При ВЫЧИСJlеиии коэффициеитов As и Ех описаииыми способами сред­

иее квадратическое отклоиеиие опредеJlЯЮТ без внесеиия поправки Бесселя n/ (n-1), ие умиожая иа веJlИЧИИУ КJlассового иитерваJlа, ПОСКОJlЬКУ УCJIовиые

моменты распределеиия Ь\, Ь2 и т. д. ВЫЧИCJIяютсябез умиожеиия иа А. Эти приемы облегчают ВЫЧИCJIеиие коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ех,

ие отражаясь на их веJlичине,

91

иие имеет левостороннюю асимметрию и заметно выражеННЫl

эксцесс.

								Таблица 31
длина хвои.	Частоты '.	а	'i	a	'i	a2	',aI	'ja'
JC i • мм
125	2	-6	-12		72		-432	2592
175	2	-5	-10		50		-250	1250
225	4	-4	-16		64		-256	1024
275	5	-3	-15		45		-135	405
325	7	-2	-14		28		-56	112
375	25	-1	-25		25		-25	25
425	39	О		О		О	О	О
475	46	+1	+46		46		+46.	46
525	31	+2	+62		124		+248	496
575	23	+3	+69		207		+621	1863
625	13	+4	+52		208		+832	3328
675	2	+5	+10		50		+250	1250
725	1	+6	+6		36		+216	1296
Сумма	200	-	+153		955		+1059	13687

Прuмер 8. Применим способ условной средней к расчету п(\­ казателей As и Ех для ряда распределения кальция (мг%) F

сыворотке крови обезьян. Необходимые данные содержатся F

табл. 15:

Ща=+67;

Ща2 =293;

ЩаЗ =553; Ща4 =2417. Отск·

да b =+67/100=0,67; Ь

2

=293/100=2,93;

Ь

з

=553/100=5,5с

1

2

=0,449;

З

4

Ь4 =2417/100=24,17. Находим:

Ь1

=0,301;

b1

b1 =

=0,202;

1

1

1

1

з

2Ь

З =0,602;

3b 4 =0,606;

3b b2 =5,889;

4Ь

Ь

=14,82<:

6b 12 b2 =

7,983.

Отсюда

J.!.З

=

5,530 -

5,839

+

0,602 =-

=0,243;

J.!.4=24,170-14,820+7,893-0,606= 16,637.

Определяе!'._

показатели вариации:

Sx

2

=b2-b 1

=2,93-0,449=2,481;

sx=

2

= 1,575;

sхЗ =3,908;

sx4 =6,155. В результате имеем As=0,243

3,908=+0,062; Ех= 16,637/6,155-3=2,703-2=-0,297.

В данном случае показатели асимметрии и эксцесса оказо

лись довольно низкими, что указывает на близость этого pal пределения к нормальной кривой. Как будет показано в гл. v.

это предположение полностью подтверждается.

III.Н. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ WАРЛЬЕ

Среди асимметричных распределений встречаются и таки~

которые неплохо описывает формула Шарлье:

P(X>=~ /(t>[I+ Ав (tЗ-3t>+ Ех (t4 -6i2 +3>]. (50

Sx	6	24
Здесь f(t) -функция	нормированной	разности t= (a-b1}/sx

92

где а - отклонения классовых вариант Х1 от условной средней

А, отнесенные к величине классового интервала л, т. е. а=

-А)jл; ы 'щаjn-условныый момент первого порядка;

(Xisx-

среднее квадратическое отклонение; n - общее число наблю­

дений.

Для нахождения теоретических (выравнивающих) частот по

этой формуле необходимо: 1) вычислить Sx, As и Ех, а также bl , njsx, Asj6 и Exj24; 2) определить для каждого класса ва­ риационного ряда t= (a-b 1) jsx и величину (njsx)f(t), предва­

рительно выписав из табл. II Приложений (с положительны­

ми знаками) значения функции f(t); 3) чтобы облегчить вычис­

ление (Asj6) (t3-3t)				и (Exj24) (t 4 _6t2 +3), предварительно рас­
считать	t 2 ,	t 3,	t4, 3t	и	6t 2 ;	4) вычислить величины	[1+ (Asj
6) (t 3-3t)]		и	(Exj24) и4_бt2 +3); 5) определить для				каждого
класса	вариационного				ряда	[1+ (Asj6) (t3-3t)+(Ехj24) (t4-

-6t 2 +3)] и, умножив эту величину на (njs)f(t), найти вырав­ нивающие частоты f' вариационного ряда.

Формулу (50) имеет смысл применять в тех случаях, когда

эмпирическое распределение обнаруживает эксцесс. Если же

распределение имеет только асимметрию, для нахождения вы­

равнивающих частот f' достаточно использовать первое слагае­

мое формулы (50), т. е. исходить из

Р(Х)=....!!-f	(t)[l +As (tз-'зt)].				(51)
Sx		6
При этом, как показывает	формула (51),		теоретические часто­
ты f' определяют умножением		[1+ (Asj6) (t 3-3t)]		на	величи­
ну (njsx) (t).
Пример 9. Возвращаясь	к	материалам	примера	7	о длине

хвоинок сосны, в котором были получены значительные вели­

чины As и Ех, построим сглаживающую кривую типа распре­

деления Шарлье с учетом только асимметричности распределения

и затем с учетом одновременно As и Ех. Характеристики этого ряда: sx=2,047; As=-O,5560, т. е. распределение имеет замет­

но выраженную левостороннюю асимметрию. Рассчитать тео­ ретические (выравнивающие) частоты для этого распределе­

ния. Расчет приведен в табл.	31. Здесь	ы 'щаjn=6,765;;
Asj6=-0,093; njsx=97,7=98.	Остальные	действия понятны

из табл. 31.

Так как ряд распределения длины хвои у сосны обыкновен­

ной имеет не только левостороннюю асимметрию, но и значи­

тельный положительный эксцесс (Ех=+0,8720), следует для

нахождения выравнивающих частот этого ряда применить фор­

мулу (51). Расчет выравнивающих частот приведен в табл. 32.

В данном случае Exj24=+O,036. Остальные величины объ­

яснены выше.

93

%(				,,-Ь. I,.....SX "-			t	t(1)	Sохf<t)	6	иие граф
			,,,							Таблица 3
	'!						a		n	l+-х Проиэведе·
		"								А8
					-1					X(t 8 -3t)	9· !О-У
1	2	3	4	5	6		7	8	9	10	11	12
125	2	О	О	-6,765	-330	-35,94		0,0017	0,17	+3,42	0,58	1
	2	1	2		,						2,44	2
175				-5,765	-2,82	-22,43 0,0075			0,74	+3,30
225	4	2	8	-4,765 -233, .		-12,65		0,026	2,55	+1,53	3,90	4
275	5	3	15	-3,765 -184,		-6,23		0,073	7,15	+1,07	7,65	8
325	7	4	28	-2,765	-1,35	-2,46		0,160	15,68	+0,85	13,33	13
375	25	5	125	-1,765 -086, .		-0,64		0,275	26,95 +0,82		22, ro	22
425	39	6	2.'И	-0,765	-0,37	-0,051		0,372	36,46 +0,90		32,81	33
475	46	7	322	+0,235	+0,12	+0,17		0,396	38,81	+1,02	39,59	40
525	31	8	248	+1,235	+0,60	+0,22		0,333	32,63	+1,15	37,43	37
575	23	9	207	+2,235	+1,09	+1,30		0,220	21,56	+1,18	25,44	25
625	13	10	130	+3,235	+1,58	+3,94		0,114	11,17	+1,07	1I ,95	12
675	2	11	22	+4,235	+2,07	+8,87		0,047	4,61	+0,75	3,46	3
725	1	12	12	+5,235	+2,56	+16,78 0,015			1,47	+0,15	0,23	О
Сумма	200	-	1353	-	-		-	-	-	-	200,9	200

%,			--				.
							1+ A Х
			а Ь,			n		s
	"	"		"	"
			Sx			- f(t)	6
			-!			Sx	х(t'-Зt)
1	2	3	4	б	6	7	8

		Таблица 3'
	Е.х
	-х	Проиэведеиие
	24		граф
	X(/4-
		7(8-1-9)-У
	-6/'+3)
	9	10	11

125	2	О	-3,30	10,89	118,59	0,17	3,42	+2,020	0,93	1
175	2	1	-2,82	7,95	63,24	0,74	3,30	+0,667	2,94	3
225	4	2	-2,33	5,43	29,47	2,55	1,53	-0,004	3,89	4
275	5	3	-1,84	3,39	11,46	7,15	1,07	-О,2I1	6,14	6
325	7	4	-1,35	1,82	3,32	15,68	0,85	-0,166	10,73	11
375	25	5	-0,86	0,74	0,55	26,95	0,82	-0,032	21,24	21
425	39	6	-0,37	0,137	0,187	36,46	0,90	+0,085	35,91	36
475	46	7	+0,12	0,014	0,021	38,81	1,02	+0.106	43,70	44
525	31	8	+0,60	0,36	0,13	32,63	1,15	+0,035	38,57	38
1575	23	9	+1,09	1,19	1,41	21,56	1,18	-0,098	23,33	23
625	13	10	+1,58	2,50	6,23	11,17	1,07	-0,208	9,63	10
675	2	11	+2,07	4,28	18,36	4,61	0,75	-0,156	2,74	3
725	1	12	+2,56	6,55	42,95	1,47	0,15	+0,239	0,58	О
Сумма	200	-	-	-	-	-	-	-	200,33	200

94

При сравнении эмпирических частот с частотами, вычислен­

!ыми по формулам (50) и (51), видно, что они неплохо согла­ :vются друг С другом. Более наглядное представление об этом

[ает рис. 18, на котором изображены эмпирическая (ломаная)

·5

,35

~

,

:.,		25
<
-'"		15
,
		5
		oL:-D~·=··~·~:··~2---------*~----~6--------~8~----~Ю~~S;n
		ОmклонеНUR	клаССОВblХ Вариант
	'ис. 18. Эмпирическая		(1) и	вычислениые	по формуле Шарлье
		2, 3) кривые распределеиня		длииы хвои	сосиы обыкиовеиной

'{ вычисленные (плавно идущие) вариационные кривые. Причем saCTOTbl, вычисленные по формуле (50), лучше согласуются с iмпирическими частотами, чем частоты, вычисленные по фор­

.Iуле (51), что, по-видимому, связано с более полным учетом

шформации о форме распределения при подборе теоретической

:ривоиu.

... ... ...

Существуют иные способы работы с кривыми распределе­

IИЯ, имеющими асимметрию и эксцесс. С одним из них, опи­

)ающимся на использование системы кривых Пирсона, можно

Iзнакомиться в книге А. К. Митропольского (1971). Другой lYTb, часто пригодный в тех случаях, когда наблюдается значи­

"ельная правосторонняя асимметрия, заключается в использо­

Jании нормализующих преобразований, когда исходные вели­

'ины признака х трансформируются в виде У='Ф (х). Конкрет­

'tЫЙ вид функции преобразования должен быть таким, чтобы

'рансформированная величина у имела нормальное распреде­ iение. Среди различных возможных преобразующих функций iaибольшее употребление нашла так называемая формула лог-

95

нормальной трансформации

y=lg(x+xo).

где хо - неизвестный параметр, значение которого подбирают

так, чтобы преобразованные значения у имели распределение,

максимально близкое к нормальному виду. Из всех существую­

щих способов определения хо наиболее приемлемым является

метод квантилей, описанный Е. И. Фортунатовой 1, с работой которой, написанной весьма доступно и снабженной числовыми

примерами, желательно ознакомиться читателю.

ГЛАВА IV

Вbl6ОРОЧНblЙ МЕТОД И ОЦЕНКА

ГЕНЕРАЛЬНblХ ПАРАМЕТРОВ

IV.t. rЕНЕРАЯЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ и ВЫ&ОРКА

Наблюдения над биологическими объектами могут охваты­

вать все члены изучаемой совокупности без единого исключе­

ния или ограничиваться обследованием лишь некоторой части

членов данной совокупности. В первом случае наблюдения на­

зывают полными или сплошными, во втором - частичными или

выборочными. Полное обследование совокупности позволяет

получать исчерпывающую информацию об изучаемом объекте, в чем и заключается преимущество этого способа перед спосо­

бом выборочного наблюдения. Однако к сплошному наблюде­ нию прибегают редко, так как эта работа сопряжена с боль­

шими затратами времени и труда, а также в снлу практической

невозможности или нецелесообразности проведения такой ра­

боты. Невозможно, например, учесть всех обитателей зооили фитопланктона даже небольшого водоема, потому что их чис­ ленность практически необозрима. Нецелесообразно высевать

всю партию семян для того, чтобы определить их всхожесть.

В подавляющем большинстве случаев вместо сплошного наблю­

дения изучению подвергают некоторую часть обследуемой со­

вокупности, по которой и судят о ее состоянии в целом.

Совокупность, из которой отбирают определенную часть ее

членов для совместного изучения, называют генеральной. Отоб­

ранная тем или иным способом часть генеральной совокупно­

сти получила название выборочной совокупности или выборки.

Общую сумму членов генеральной совокупности называют ее

объемом и обозначают буквой N.

I См.: Фортунатова Е. и. О преобразовании ассиметричного распреде­

леиия в нормальиое// Вопр. антропологии. 1966. Ng 23. с. 49-65.

96

Теоретически объем генеральной совокупности ничем не ог­

раничен (N-+oo), т. е. генеральную совокупность представляют

как бесконечно большое множество относительно однородных единиц или членов, составляющих ее содержание. Практически же объем генеральной совокупности всегда ограничен и может быть различным в зависимости от .объекта наблюдения и той задачи, которую приходится решать. Например, при определе­

нии продуктивности животных той или иной породы или вида генеральную совокупность составят все особи данной породы

или вида. Если же вопрос о продуктивности животных решают

в зоне данной области или района, то генеральную совокуп­ ность составят все животные изучаемой породы, распространен­ ной в данной области или районе.

Объем выборки, обозначаемый буквой n, может быть и

большим, и малым, но он не может содержать менее двух

единиц. Выборочный метод - основной при изучении статисти­

ческих совокупностей. Его преимущество перед полным учетом

всех членов генеральной совокупности заключается в том, что

он сокращает Вfемя и затраты труда (за счет уменьшеиия чис­

ла наблюдений, а главноепозволяет получать информацию

о таких групповых объектах, сплошное обследование которых

практически невозможно или нецелесообразно.

Основное требование, предъявляемое к любой выборке, сво­

дится к получению наиболее полной информации о состоянии

генеральной совокупности, из которой выборка взята. Опыт

показал, что правильно отобранная часть генеральной совокуп­ ности, т. е. выборка, довольно хорошо отображает структуру

генеральной совокупности. Однако полного совпадения выбо­

рочных показателей с характеристиками генеральной совокуп­

ности, как правило, не бывает. Чтобы выборка наиболее полно отображала структуру генеральной совокупности, оиа должна

быть достаточно представительной, или репрезентативной (от

лат. represento - представляю). Репрезентативность выборки

достигается способом рандомизации (от англ. random - слу­

чай) или случайным отбором вариант из генеральной совокуп­

ности, что обеспечивает равную возможность для всех членов

генеральной совокупности попасть в состав выборки.

Существует два основных способа отбора вариант из гене­ ральной совокупности: повторный и бесповторный. Повторный

отбор производят по схеме «возвращения» учтенных единиц в

генеральную совокупность, так что одна и та же единица мо­

жет попасть в выборку повторно. При бесnовторном отборе уч­

тенные единицы не возвращаются в генеральную совокупность,

каждая отобранная единица регистрируется только один раз.

Повторный отбор ие влияет на состав генеральной совокупно­

сти, и возможность каждой единицы попасть в выборку не ме­

няется. При бесповторном отборе возможность единиц, состав-

4-1674

97

ляющих генеральную совокупность, попасть в выборку меня­

ется, так как каждый предшествующий отбор влияет на резуль­ таты последующего, а также и на состав генеральной совокуп­

ности, который тоже претерпевает изменения. В практике

обычно применяют бесповторный случайный отбор. Так, если

измеряют рост мужчин призывного возраста, то, измерив одно­

го из них, вторично его уже не Измеряют. Случайный повтор­

ный отбор служит теоретической моделью, с помощью которой

изучают процессы, совершающиеся в статистических совокуп­

ностях, что имеет определенное познавательное значение.

Идеальный случайный отбор производится по методу же­

ребьевки или лотереи, а также с помощью таблицы случайных

чисел, позволяющих полностью исключить субъективное влия­

ние на состав выборки. Сущность этого метода заключается в следующем. На численно ограниченной, но довольно большой

искусственной модели генеральной совокупности способом пов­

торного случайного отбора образуется ряд чисел, которые за­

носят в таблицу таким образом, чтобы они имели одинаковое

количество цифр. Этим облегчается использование такой таб­

лицы в практических целях. Например, при трехзначности чи­ сел цИфру 8 заносят в таблицу в виде 008, а число 69 - в виде

069 и т. д. Числа записывают в таблицу в случайном порядке, поэтому ее и называют таблицей случайных чисел. Такая че­ тырехзначная тиблица помещена в Приложении (табл. IV).

Как пользоваться этой таблицей? Пусть из общего числа

120 животных, содержащихся в виварии, нужно отобрать для

опыта 10 особей. Для того чтобы отбор был действительно слу­ чайным, исключающим субъективные влияния на состав выбор­

ки, необходимо поступить следующим образом. Всем животным вивария или только животным той группы, из которой намечено

отобрать 10 особей, присваивают номера от 1 до n. Затем в таблице случайных чисел находят десять таких, которые не превышают n. Пусть n= 120. Пользуясь табл. IV, условимся

учитывать первые три цифры в каждом столбце этой таблицы

(хотя можно исходить и из другого условия). В первом столб­

це находят числа 0905 и 0912. Согласно условию, это дает

числа 90 и 91. Других нужных чисел в этом столбце нет. Во

втором столбце таблицы находят числа 47 и 41. В третьем столбце обнаруживают числа 62, 84, 50 и 31. В четвертом

столбце отыскивают остальные два числа: 39 и 87. Всего полу­

чилось десять чисел: 90, 91, 47, 41, 62, 84, 50, 31, 39 и 87. Осо­

бей с такими номерами включают в состав экспериментальной

группы.

Наряду с простым случайным отбором в практике применя­

ют и другие виды выборки из генеральной совокупности. К ним

относится типический, серийный и механический отбор. Типиче­ ский отбор используют в тех случаях, когда генеральная со-

98