d 2u

C

+

1

du

C

+

u

C

= 0 .

RC

LC

dt2

dt

У

Решение этого уравнения

= Ee−αt

П

,

u

cosω t

,

C

0

Т

где α =

1

– коэффициент затухания.

2RC

Н

2.2.6. Воздействие постоянного напряжения на RCL - цепь

И

.

Пусть постоянное напряжение E подключается в момент

t = 0 к

Э

Ю

Н

последовательному L,C, R контуру (рис. 4.10). Уравнение Кирхгофа для

рассматриваемой цепи имеет вид 4.2.27. Его общее решение i =i1 +i2 ,

где i2 – вынужденный ток, в данном случае равный нулю, так как пере-

C

И

ходный процесс заканчивается, как только конденсатор зарядится до

напряжения E , а ток заряда прекратится.

.

О

в

R

Э

н

uL (t)

u(t)

uR

(t)

о

Э

. 4.10. Вид RLC-цепи

а

1

П

LРиdtdi с+ Ri +

∫idt = E ,

(4.2.27)

C

.

i1

р

о

Ток

– свободный ток, являющийся решением однородного урав-

нения

К

ц

d 2i

+

R

di

+

i

= 0 ,

dt

2

L

dt

LC

рассмотренного в предыдущем примере. Однако начальные условия

данной задачи несколько отличаются от условий предыдущей задачи.

Здесь при

t = 0

имеем

i = 0 ,

uc

= 0 ,

а напряжение на индуктивности

49

uc = L di = E .

,

Поэтому в выражении для решения этого однородного

dt

У

уравнения

i = Aeγ1t + Beγ2t

Т

постоянные интегрирования A и B равны

П

A = −B =

E

Н

2Lδ

и тогда ток i

описывается выражением

И

.

Ю

E

Н

i =

(e

γ1t

−e

γ2t

) ,

(4 2 28)

2Lδ

.

И

напряжение на индуктивности выражается зависимостью

u

= L di

=

E

(γ eγ

1t −γ

eγ2t ) ,

(4.2.29)

О

Эdt 2δ

в

Э

L

1

2

2δо

а для напряжения на емкости в с

тветст ии с (4.2.27) получаем

н

u

= E −u −iR = E +

E

(γ

eγ1t

−γ eγ2t ) .

(4.2.30)

C

L

с

2

1

Э

а

П

.

uC

uC

р

К

E

i

о

ц

tM

t

Рис. 4.11. Изменение напряжения и тока

Если корни характеристического уравнения γ1,2 – действительные,

т.е.

если α >ω0 , то цепь апериодическая и на основании выражений

(4.2.28), (4.2.29) и (4.2.30) можно построить графики для i , u

и u

L

(рис.

C

4.11). Как видно из рисунка, напряжение на конденсаторе в процессе его

50

заряда монотонно возрастает,

приближаясь при t →∞

к величине E .

Ток i

M

,

вначале возрастает по мере уменьшения э.д.с. самоиндукции. Од-

У

нако, с увеличением напряжения на емкости ток ее заряда должен

уменьшаться. Поэтому достигнув в момент t

максимума, ток спадает

а напряжение на индуктивности меняет знак.

П

Если корни γ1,2 – комплексные,

т.е. если α <ω0

, то контур стано-

Т

вится колебательным и на основании выражений (4.2.28), (4.2.30) и по-

лученных ранее выражений (4.2.22), (4.2.23) получаем для тока и на-

пряжения на емкости выражения

Н

i =

E

e−αt sinωt

,

(4 2 31)

ωL

И

Ю

u

=

−

ω0

e

−αt

sin(ωtt +φ)

(4.2.32)

C

E 1

ω

.

Э

0

ω

И

где, как и раньше, ω =

ω2

−α

2 φ

= arctg

0

Н

α

О

.

в

Если контур имеет высокую добротность, что обычно справедливо

для радиотехнических контуров,

ω ω , φ π и для напряжения на

ЭC

то0

2

емкости получаем приближенн е выражение

напряженияПE .

u

контуре

(4.2.33)

с

Э

На рис. 4.12 приведены о циллограммы напряжения на емкости (на

выходе контура) и

тока

при подаче на его вход постоянного

в

.

р

ц

uC

о

E

К

t

ty

i

E

ωL

t

Рис. 4.12. Изменение напряжения и тока

51

Во время переходного процесса напряжение на емкости достигает

максимальной величины когда cosω0t = −1,

то есть через половину пе-

У

риода колебаний от момента подачи напряжения на вход цепи. К этому

времени напряжение uC превышает величину E за счет дополнительно,-

го поступления к емкости и энергии, запасенной ранее в катушке ин-

дуктивности. Из выражения (4.2.33) имеем

Т

uCМАКС = E(1+ e−αT2 ) E(2 − αT ) E(2 −

π

) ,

П

2

2Q

то есть в контуре с большой добротностью напряжение uCМАКС

близко к

удвоенному напряжению источника

E .

И

Как видно из рис. 4.12, напряжение на емкостиНосциллирует, при-

Н

ближаясь при t →∞ к величине

E . Практически можно считать., что

переходной процесс заканчивается, когда амплитуда осцилляции убы-

Э

.

вает до 5% своего максимального значения UM . Требующееся для этого

И

время называется временем установления стационарного режима ty .

Оно может быть определено из равенства

Ю

О

в

Э

UM e−αty = 0,05UM

н

или

П

о0

ty

= ln 20

3

=

6L

ω0

Q

=

1

(4.2.34)

α

с

ω

f

П

Э

а

.

Чем меньше добротно ть контура и, следовательно, шире полоса

пропускания П , тем быстрее затухают собственные колебания в конту-

ре и тем меньше в емя уст новления.

ц

К

о

2.2.7. Воздействиергармонической э.д.с. на колебательный контур

В начальный момент

t = 0

к последовательному

L,C, R

контуру

подключается гармоническая э.д.с.

Дифференциальное уравнение для

данной цепи, составленное на основании уравнения Кирхгофа, имеет вид:

52

L

d 2i

+ R

di

+

i

=

du

,

(4.2.35)

dt2

dt

C

dt

У

а его решение i = i

+i . Здесь i – ток свободных колебаний, а i – вы,-

1

2

1

П

нужденный ток.

Аналогичное уравнение записывается для напряжения на емкости

u

Т(4.2.36)

C

L

d 2u

+ R

du

u

du

C

C

+

C

= dt

,

dt2

dt

C

решение которого uC = uC

+uC

.Здесь uC

И

– напряжение на емкости, со-

1

2

1

Н

ответствующее свободным колебаниям в контуреН. Выражение для этого

напряжения можно записать, пользуясь полученным ранее выражением.

(4.2.23)

при рассмотрении свободных колебаний в контуре. Запишем

Э

выражение для напряжения uC

в виде

И

uC

= De

−αt

cos(ωt

+ψ ) .

.

1

Ю

О

в

1

Тогда для тока свободных колебаний i1 получим выражение

Э

о

duC

н

−αt

−αt

П

= −CDαe

cos(ωt +ψ ) −CDe

ωsin(ωt +ψ ) .

i1 = C

dt

с

Э

таточ

ой добротностью (Q ≥100 ) можно счи-

Для контуров с до

тать

α

р

ц

ω0

К

i = −ω CDe−αt sin(ω t +ψ )

.

о

1

0

0

При воздействии гармонической э.д.с, установившийся ток в кон-

туре имеет вид

i

= U cos(ω t +φ) ,

2

z

1

53

2

2

X

,

где z = R

+ X

и φ = arctg

. Установившееся напряжение на ем-

кости принимает вид

R

П

u

= U

1

cos(ω t

−

φ − π ) ,

У

C2

z

ω1C

1

2

Т

z

Тогда общее решение уравнения (4.2.35)

Н

.

i = i

+i

= U cos(ω t

−φ) −ω

CDe−αt sin(ω

t

+ψ ) .

1

2

1

0

0

Для напряжения на емкости в переходном режиме получаем выра-

жение

Н

Ю

u

= u

+u

=

U

π

−αt

cos(ω

+ψ ) .

cos(ω t −φ − И) + De

C

C2

C1

zω C

Э

2

0

1

И

1

Для определения констант ψ и D воспользуемся.начальными ус-

О

в

ловиями задачи. Если до включения э.д.с,

контуре не была запасена

энергия, то при t = 0, uC = 0 и i = 0 . Отсюда находим:

U

о

П

u

= 0 =

cos(−φ

−

π ) + Dcosψ ,

C t

=0

н

zω1C

2

с

Э

Эi = 0 =

U

cos(−φ) −ω CDsinψ .

t=0

z

0

.

Заменяя здесь cos(−φ) на

sin(−φ −

π

и деля второе уравнение на

ц

2 )

ω0C , из получающихсяау авнений находим ψ и D :

о

р

ψ = π

−φ и D =

U

zω C

2

1

При этомКдля тока и напряжения получаем обратные решения:

i = U cos(ω t

−φ) −

Uω0

e−αt

cos(ω

t

−φ)

(4.2.37)

z

1

zω1

0

U

U

u =

sin(ω t

−φ) −

e−αt sin(ω

t −φ)

(4.2.38)

zω C

zω C

C

1

0

1

1

54

В случае, когда частота э.д.с. совпадает с частотой контура, т.е.

ω1 =ω0

имеем z = R ,

φ = 0 и выражения для тока и напряжения упро-

щаются

У

i =

U

(1 − e

−αt

) cos ω0t ,

П

,

R

(4.2.39)

uC = Q U (1 − e −α t ) sin ω0 t .

Т

(4.2.40)

На рис. 4.13 приведена осциллограмма напряжения uC как сумма

напряжения свободных колебаний uC

Н

и напряжения вынужденных ко-

лебаний uC2

1

. По мере затухания свободных колебаний растет амплитуда

.

результирующего колебания. Огибающая амплитуды напряжения UC

(t)

изменяется по экспоненциальному закону.

Ю

Величина амплитуды установившегося колебания зависит от доб-

ротности контура. Процесс установления колебаний заключается в по-

Э

.

Так как частота

степенном заряде емкости и накопленииИэнергии в ней

э.д.с. ω1 и собственная частота контура ω1

равны, то при смене знака

И

э.д.с. ток в контуре также меняет направлениеН

, что приводит к увеличе-

нию заряда на емкости.

в

О

uC 2

Э

о

н

П

t

Э

uC

а

.

р

с

ц

uC1

К

о

Рис. 4.13. Изменение напряжения

UC (t) = QU

(1−e

−αt

) .

Напряжение на емкости растет до того момента времени, пока энергия потерь в активном сопротивлении R , возрастая с ростом тока в

55

контуре, не сравняется с энергией, поступающей в контур за счет ис-

точника э.д.с.

Процесс установления колебаний практически считается закончен-

ным, когда амплитуда напряжения на емкости (или ток в контуре) дос-

тигает 95% своего стационарного значения, т.е. можно записать

,

У

или время установления QU

−αty

(1−e

) = 0,95QU ,

П

= ln 20

3

Q .

Т

ty

Н

α

α

f0

UC (t)

И

.

> Q1

Н

Q2

Q2U

.

Q1U

Э

Ю

tY1

tY 2

t

И

Рис. 4.14. Изменение напряжения и тока

На рис. 4.14 показанаОогибающаявамплитуд напряжения на емкости

для различных значений доброт

сти к нтура. С ростом добротности Q

о

увеличиваетсяЭвремя у та овле ия

ty , но и растет амплитуда устано-

вившихся колебаний.

н

ЕслиПчастота э.д.

,

не

овпадает с собственной частотой контура

ω0 , то, как показыв ет

с

н лиз выражения (4.2.37), закон нарастания ко-

лебанийЭболее сложен (см.рис. 4.15). Здесь огибающая тока в контуре

а

.(или напряжения на емкости) изменяется по колебательному закону.

Вначале ток

i

до величины, превышающей его стационарное

растет

значение, а затем, осциллируя, уменьшается по амплитуде и при t → ∞

ц

К

U

о

его амплитуда приближается к стационарному значению I =

z

, где z

–

модуль импеданса контура. Частота осцилляции огибающей амплитуды

этого сложного колебания равна разности частот ω1 −ω0 .

56

i

,

U

Z

У

t

П

Рис. 4.15. Изменение тока

Т

Н .

2.3.

Алгоритмические основы построенияИструктурных моделей

автономных инверторов напряжения (АИН)

Н

.

Регулирование координат асинхронных и синхронныхЮэлектродви-

гателей в электромеханических системах осуществляется, как правило,

с

Э

питания,

обеспечивающего

помощью индивидуального

источника

И

требуемые изменения как величины, так и частоты переменного напря-

жения. Основным элементом так

ист чника является автономный

инвертор.

формированияО

алг

имитации функциониро-

вания этого элемента рассмотрим

ритмов

а примере трехфазного автономного

инвертора напряженияЭ

го

(АИН) [38].

Процесс

н

id

с

Э

V1

V3

V5

а

.

Ud

ц

р

V4

V6

V2

К

о

57

1

6

16,

Рис. 4.16. Силовая схема автономного инвертора напряжения

У

Будем считать, что силовая схема АИН, приведенная на рис. 4.

содержит шесть ключевых элементов V – V , в качестве которых могут

П

быть использованы как тиристорные, так и транзисторные ключи, от-

крывающиеся и закрывающиеся по каналам управления.

оэтому ин-

Т

вертор можно считать системой переменной структуры с мгновенной

коммутацией ключей.

Здесь в каждый момент времени разрешено быть замкнутыми трем

Н

ключам при запрещении одновременного замыкания пар ключей V1 –

V4, V3 – V6, V5 – V2, закорачивающих источник постоянного напряжения.

И

.

Мгновенные значения фазных напряжений U1a, U1b, U1c нагрузки

(асинхронного электродвигателя)

можно рассматривать как проекции

Н

Ю

вектора напряжения статора

U1 на координатные оси x, y, z пространст-

венной прямоугольной системы координат с базисом

i ,

j

,k.

.

При включении обмотки двигателя в «звезду» или «треугольник»

О

Э

ставим

выполняется условие:

= 0.

(4.3.1)

Э

U +U

+U

1a

го

И

1b

1c

подключена к «плюсу», 0 – кминусу«

»). В последние столбцы этой таб-

На основании выше изложенн

с

таблицу состояний авто-

П

номного инвертора (табл. 3), в первых ст лбцах которой укажем все

возможные сочетания замк утых ключей, варианты подключения фаз

Э

а

нагрузки к полюсам и точ ика постоянного напряжения Ud (1– фаза

.

вектора напряжения статора U1 в

лицы будут запис ны компонентыс

ц

и зн чения тока в цепи постоянного напряже-

системе координат α, β

о

ния id .

Анализ таблр. 3 показывает, что инвертор в общем случае осуществ-

ляет периодическое подключение трехфазных обмоток статора асин-

хронного Кдвигателя к источнику постоянного напряжения, причем

мгновенные

значения

напряжений

принимают значения

±1U

d

или

2U

3

±

d

в зависимости от состояния ключей. При этом возможны шесть

3

отличных от нуля и два нулевых состояния вектора U1 . 58

																																										У
														Таблица 3. – Таблица состояний инвертора
																																												,
					Сочетание				Подключение										U						U					U				U					U1β					i
		U1			замкнутых				фаз обмоток												1a						1b					1c						1α	П					d
					ключей				A			B				C																	Ud
		U11			1-6-2				1			0				0				2					−		1			−		1						2	0					i1a
																				3							3					3						3
																				1						1				Н								1		1
																																2
		U12			1-3-2				1			1				0				3						3				−		3			Т					2			−i1c
																								И														6
																					1					2						1						1	.
		U13			4-3-2				0			1				0				−										−					−					1				i1b
																					3					3						3						6		2
																			Н							1					1					Ю					2
																																						6
		U14			4-3-5				0			1				1				−	2														−			2	0				−i1a
																					3					3					3							3
																															.
		U15			4-6-5				0			0				1				−	1				−		1				2				−			1	− 1					i1c
																					3						3				3
									О											в
		U16			1-6-5				1			0				1				1					−		2				1							1	−		1 −i1b
															Э				3								3			И3								6			2
		U																	о
			0+		1-3-5				1			1				1										0					0						0		0					0
																				0
		U0−			4-6-2				0			0				0				0						0					0						0		0					0
		Э				ЭU					11	= 2U					i −		1U			d	j − 1U						d	k ;
																d										3
					П								3н3
													1						1							2
.							р
									Uс= U i +										3	U			j −			3	U			k ;												(4.3.2)
						К					12		3			d						d							d
ц									а						1	Ud i			+	2	Ud j −						1	Ud k ;
									U13			= −			3					3							3
				Анализ выражений (4.3.2) с учетом (4.3.1) показывает, что векторы
о U11,U12 ,U13 ,U14 ,U15 ,U16 компланарны и лежат в плоскости, перпендику-

лярной биссектрисе пространственного угла, образованного положительными направлениями координатных осей x, y, z. В целях сокращения числа переменных перейдем к новой прямоугольной ортогональной

системе координат с базисом α, β,γ.

59

						U = − 2U i + 1U j +										1U k ;									,
							14		3	d		3 d				3	d
																								У
						U15		= −1Ud i			−	1Ud j +				2Ud k ;
									3			3				3
						U16 = 13Ud i − 32Ud j + 13Ud k												;			Т
						U0+ = 0;
																							П
						U0− = 0.											Н
																							U11 , ось γ –
		Здесь координатная ось α направлена вдоль вектора
	вдоль вектора γ =			1											И
				3							Н												.
	ным произведением β =γ ×α.																			.
																							будет иметь
		Тогда матрица перехода в систему координат																			α, β,γ
	следующий вид:																И					Ю
													1			1
										2	−		1		−	1
					О									в
									Э3				6			6
			Э
									н
							M				о													(4.3.3)
								1					2			2
		П с
										1		1				1
										3		3				3
		Матрица обратного перехода в систему координат a, b, c
	Э		К		а					2			0			1
.			р							3						3
ц										1				1		1								(4.3.4)
							M	2	= −	6				2		3	.
о										1		−		1		1
									−	6				2		3

Переход к новой неподвижной относительно статора системе координат α, β,γ позволяет упростить представление вектора U1 , т.е. пере-

60

вести описание в плоскую систему координат, так как здесь отсутству-

ют проекции U1

на ось γ .

У

С помощью матрицы (4.3.3) уравнения (4.3.2) в новом координатном

базисе принимают следующий вид:

,

2

Т

U11 =

3Udα;

П

U = 1U α +

1U β;

Н

12

6

d

2

d

U

= −

3

2U α;

3

1И

.

13

1

d

3

(4 3 5)

2

1

U14 = −

Н

Udα +

Ud

β;

1

1

.

Э

И

Ю

U15 = −

6

Udα −

2

Ud β;

U16

= Udα − Ud

β.

О

6

в

Э

о

Учитывая, что проекции вектора

U1

на ось γ

тождественно равны

нулю, вектор напряжения статора м жет быть представлен на плоскости

α, β

П

н

с

шестью отличными от уля с ст яниями (рис. 4.17).

Э

а

β

.

р

U13

U12

К

U14

U11

α

о

U16

ц

U15

Рис. 4.17. Составляющие вектора U1 на плоскости α, β

Представление выходного напряжения инвертора с помощью двух составляющих вектора U1 в неподвижной в пространстве системе коор-

61

динат позволяет использовать полученную ранее модель асинхронного

двигателя в неподвижной, жестко связанной со статором системе коор-

динат α, β .

Таким образом, для построения модели трехфазного автономного,

инвертора с двигательной нагрузкой целесообразно рассматривать про-

цессы в инверторе при представлении выходного напряжения вектором

U1 в системе координат α, β .

У

Работа АИН определяется алгоритмом перехода от одного состоя-

П

ния ключей к другому. В зависимости от алгоритма вектор может при-

нимать значения из (4.3.5) в определенной последовательности. Кроме

того, возможны нулевые значения вектора U1 :U0+,U0−.

Т

Последовательность перехода от одного значения вектора U1 к дру-

гому представляет собой алгоритм векторногоНформирования выходно-

го напряжения инвертора.

И

.

Н

.

О

Э

И

Ю

в

Э

о

П

н

с

Э

а

.

р

ц

К

о

62