Из этого выражения видно, что ток нарастает по экспоненциально-

му закону, достигая установившейся величины

E

тем быстрее, чем

R

меньше постоянная времени τ . Как и при заряде емкости, можно ,за

время установления ty принять время, равное 2.2τ .

По известному току i находится напряжение на активном сопро-

тивлении uR и на индуктивности uL .

У

П

uR = iR = E(1−e

−t

τ ),

Т

(4.2.13)

uL

= L di

= Ee−tτ

.

(4.2.14)

dt

Н

.

i,uC

i

И

uC

i

t

Н1

.

Э

Ю

Рис. 4.6. Изменение напряжения и тока

и напряжения uL

И

Графики тока i

при едены на рис. 4.6. Так как до

включения цепи напряжениеО

индуктивностив

было равно нулю, а в

момент включения uL = E , то

апряже ие на индуктивности изменяется

скачком, а токЭизменяет я епрерыво, ибо с его величиной связана

энергия, запасаемая в магнитном поле катушки.

на

Необходимо отметить н логию в характере изменения тока в дан-

П

емкости uC

в цепи R, C при включении их на

ной цепи и

постоянное нап

(см. рис. 4.4 и 4.6). Такая же аналогия имеет

Э

на

и i в этих же цепях.

место относительно величин uL

.

напряжения

ц

К

о

2.2.5. Разряд конденсатора в цепи RLC.

Пусть предварительно заряженный до напряжения E конденсатор емкостью C в исходный момент времени замыкается на последовательно соединенные активное сопротивление R и катушку индуктивности L (рис. 4.7). Рассматриваемая цепь содержит, в отличие от предыдущих примеров, два энергоемких параметра – емкость и индуктивность. По-

43

этому составленное на основании второго закона Кирхгофа уравнение

приводится к дифференциальному уравнению второго порядка.

,

uL (t)

У

uR (t)

Т

Рис. 4.7. RLC-цепь

Н

П

dt

Действительно, имеем для суммы напряжений на элементах цепи

+ L di

И

.

u

+ Ri = 0 ,

(4 2 15)

C

.

или, так как

Э

Ю

И

i =

dq

duC

О2

dt

dt

вC

уравнение приводится к виду

о

Э

d 2u

R

du

1

н

u

= 0 .

(4.2.16)

dt

C

+

C

+

Э

L

dt

LC

а

Аналогичное уравнение запи ывается и для тока в цепи

П

d 2i

R

di

1

р

с+

+

i = 0 .

(4.2.17)

LC

ц

К

dt2

L

dt

о

.

Решением одно одного уравнения (4.2.17) является

i = Aeγ1t + Beγ2t ,

Где γ1,2

– корни характеристического уравнения

γ 2 + RL γ + LC1 = 0 ,

т.е.

44

R

R2

1

2

2

= −α ±δ ,

,

γ1,2 = −

±

−

= −α

±

α

−ω0

2L

4L2

LC

где

П

α =

R

, ω2 =

1

, δ = α2 −ω2

.

Т

У

2L

LC

0

Тогда решение уравнения (4.2.17)

i = e−αt (Aeδt

+ Be−δt ) .

(4 2 18)

Постоянные интегрирования A и B

И

.

находятсяНиз начальных условий

задачи. Так как в момент замыкания цепи конденсатор заряжен до на-

пряжения E, а в индуктивности энергия не запасена, то при t = 0, i = 0 ,

Э

.

И

−B , а из (4.2.15)

uC = E . Поэтому из (4.2.18) находим 0 = A

+ B

, т е

A =

имеем при t = 0 E + L

di

= 0 или

di

E

di

и учтя

dt

dt

L

Юdt

О

в

предыдущее равенство, получаем

Э

о

E

A = −

E

= −

.

L(γ

1

−γ

2 )

2Lγ

н

Cста

т A и B в выражение (4.2.18), находим

одставив значения ко

Э

а

ток

П

u

= −

E

e−αt (eδt −e−δt ) .

(4.2.19)

ц

2Lδ

Аналогично получается решение уравнения (4.2.18) для напряже-

.

ния на емкостир

о

К uC

= −

E

e−αt (γ2eδt −γ1e−δt ) .

(4.2.20)

2Lδ

В зависимости от того, будет ли δ величиной мнимой или действительной, т.е. если α2 <ω02 или α2 >ω02 в цепи наблюдаются различные по характеру переходные процессы.

45

тельная. Пользуясь выражением (4.2.19) имеем

		или иначе R > 2	L	,
В случае α >ω	0			= 2ρ , величина δ – действи-
			C

i = −

E

e

−εt

eδt −e−δt

E

e

−αt

Shδt .

П

= −

(4.2.21)

Lδ

2

Lδ

0 Т

У

В рассматриваемом случае характер процесса в цепи носит назва-

Н

.

ние апериодического разряда конденсатора. Граничным случаем апе-

риодического процесса является случай,

когда α =ω . T.e. δ = 0 . Вели-

чина тока для этого случая находится, если раскрыть неопределенность,

получающуюся в выражении (4.2.19). Закон изменения тока во времени

здесь таков:

Ю

Н

i = − E e−αt Иt .

L

При апериодическом разряде емкости ток в цепи.вначале равен ну-

0О

в

лю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки.

Затем по мере убывания этойЭэ.д.с. ток по абсолютной величине растет.

Однако в процессе разряда емкости напряжениеИu убывает, и ток с не-

о

C

которого момента также начинает убы ать.

В случае α <ω , т.е.

н

– мнимая, а корни харак-

R < 2ρ , величина δ

теристического уравнения

Э

с

γ1,2 = −α ± jω ,

2

2

Тогда

где ω =Пω −α

.

по формулам (4.2.19) и (4.2.20) находим

.

0

р

ц

Э

К

E

−αt

jαt

− jαt

E

−αt

о

i = −

2Ljω

e

(e

−e

) =

Lω

e

sinωt

(4.2.22)

u

= −

E

e−αt (γ

2

e jωt

−γ e− jωt

) = E e−αt (α sinωt +ωcosωt) =

C

2 jω

1

ω

(4.2.23)

Eω0

=

e−αt

sin(ωt

+ϕ)

ω

где φ = arctg(ωα) .

46

Для контура с высокой добротностью, т.е. если ω >>α , то ω ω0 и

ϕ π

, a напряжение на емкости

,

2

У

u

= Ee−αt cosω t .

C

0

Т

Графики тока и напряжения для

этого

случая

приведены на

рис. 4.8.

Такой процесс называется колебательным разрядом конденсатораП .

В течение этого процесса через каждые четверть периода колебаний

происходит обмен энергией, запасенной в конденсаторе и катушке ин-

И

.

дуктивности. При этом часть энергии теряется в активном сопротивле-

нии, что является причиной убывания амплитуды колебаний напряже-

ния и тока с ростом времени, т.е. колебания затухаютН.

Ю

Н

Э

.

Eτ

−αt

uC

О

в

Э

i

о

t

П

н

а

Э

τ

.

р

Рис.с4.8. Изменение напряжения

Коэффициент α , носящий название коэффициента затухания, оп-

ределяет скорость убывания амплитуды во времени. Частота

о

К

1

1

1

R2

ц

f =

=

ω

=

−

(4.2.24)

T

2π

2π

LC

4L

2

называется частотой собственных колебаний (или свободных колебаний) контура. Как видно, она зависит не только от реактивных параметров контура, но и от активного сопротивления, в отличие от резонанс-

47

ной частоты контура ωр , введенной при рассмотрении стационарных

колебательных процессов в контуре.

У

Затухание колебаний иногда характеризуют логарифмическим дек-

рементом затухания ν , являющимся натуральным логарифмом отноше,-

ния амплитуд тока или напряжения, определяемых в моменты времени t

и t +T , т.е.

Т

I (t)

e−αt

ν = ln

= ln

=αT π

R

.

(4.2.25)

I (t +T )

e−α

ρ

(t+T )

Н

П

раз, иногда

Время, за которое амплитуда колебаний убывает в e

И

.

принимают за постоянную времени τ

контура

Ю

Н

τ =

1

=

2L

= 2

ω0 L

=

2

Q

.

(4 2.26)

R

ω0 R

α

ω0

L .

И

Интересно обратить внимание на то, что при последовательном со-

единении сопротивления R коэффициент затухания.α не зависит от

О

в

емкости C . Но можно рассмотреть случай контура, в котором коэффи-

циент затухания зависит от емкостиЭC и не зависит от индуктивности

Э

н

П

р

с

о

uR (t)

Рис. 4.9. Вид замкнутой цепи

ц

К

ЭТакой контур, агде потери отнесены к емкости, изображен на

.рис. 4.9. Уравнение

и хгофа для этой цепи приводится к дифференци-

о

альному уравнению, имеющему вид

L di +u

C

= 0 ,

dt

или, так как i =

u

+C

duC

, имеем:

R

dt

48