4. ЗАДАНИЯ НА ВЫПОЛЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

,

4.1.Моделирование элементов электротехники

У

П

Т

4.1.1. Моделирование и исследование процессов в RC–цепи

Цель лабораторной работы

Н

.

Проанализировать переходные процессы в RC-цепи с применением

И

математических моделей, полученных при помощи различных методов

решения уравнений в системе MATLAB и среде MATLAB Simulink

Основные выражения

.

Э

И

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных ем-

костного элемента C и резистора сНсопротивлением R (рис. 5.6). Вход-

ным процессом считается напряжение u(t) внешнего источникаЮ, прило-

женное к зажимам цепи.

Э

о

О uR (t)

П

в

uC (t)

Э

нап

.

р

Рисн. 6.1. RC-цепь

Рассмотрим следующие 2случая:

ц

Выходом является

яжение uc(t) на зажимах емкостного элемента.

о

Тогда RC-цепь описывается уравнением

К

RC duc (t)

+uc (t) = u(t).

(6.1.1)

dt

Введем T ≡ RC – постоянную времени цепи и примем

x(t) = uc (t).

Выразив из (6.1.1) x(t) , получим уравнения состояния, в котором n = 1,

A = -1/T, B = 1/T, C = 1. Матрицы размерности (1×1) обычно отождеств-

97

ляются со скалярными элементами, поэтому при их записи квадратные

скобки опускаются. Найденные уравнения соответствуют собственной

системе.

,

Выход системы – напряжение uR(t) на зажимах резистора.

Тогда уравнение состояния (для x(t)) имеет тот же вид. Изменяется

лишь

уравнение

выхода,

так

как

теперь

У

y(t) ≡ ur (t) ≡ u(t) −uc (t) ≡ u(t) − x(t). Поэтому данная система не отно-

сится к строго реализуемым и имеет матрицы A = -1/T, B = 1/T, C = -1,

D = 1. Входное напряжение имеет импульсный тип с заданнойПамплиту-

дай и частотой.

Т

Задание к выполнению лабораторной работы

1.

По структурной схеме (рис. 6.1) и заданнымНуравлениям изучить

2.

принцип функционирования электрической цепи.

цепи,

.

Определить входные и

выходные

переменные

как объекта

И

управления (для случая выходного напряжения на зажимах резисто-

3.

ра).

Н

переменных

Определить вектора входных, состояния, и выходных.

Ю

системы, а также матрицы параметров в пространстве состояний (для

случая выходного напряженияЭна зажимах резистора).

4.

Записать передаточную функцию преобразоИания сигналов.

5.

Исследовать построенную систему на устойчивость с помощью кри-

терия Гурвица и критерия

ва.

6.

О

в

Решить заданное диффере циаль

е уравнение с помощью инстру-

мента DDE в системе MATLAB.

7.

Э

о

Составить m-программу реше ия заданного дифференциального

уравнения методом

в истеме MATLAB.

8

СоставитьПструктурную

Ляпун

хему, эквивалентную заданной, в среде

MATLAB Simulink.

с

9 ЭСоставить S-функцию преобразования сигналов по заданному зако-

ну.

Эйлера

.

построенных моделей.

10.Провести моделированиер

11.Сравнить результаты моделирования различными способами.

ц

о

12.ОформитьКотчет.

13.Сдать отчет преподавателю и защитить лабораторную работу.

98

Таблица 5.– Данные вариантов

,

№

Параметр

Значение

У

1

U [В]

10+1.5*N

П

2

fr [Гц]

10*N

3

R [Ом]

0.2+0.01*N

Т

4

C [Ф]

0.0003+0.0001*N

5

Uc0 [В]

0.5*N

Отчет о работе

И

Ю

Отчет оформляется в соответствии с требованиямиН, предъявляемы-

Н

.

ми к оформлению работ в вузе, и должен содержать:

1. Титульный лист.

Э

2. Наименование и цель работы.

И

3. Результаты выполнения работы по каждому из пунктов задания.

4. Анализ результатов и выводы.

в

.

О

4.1.2. Моделирование и исследо ание процессов в RLC–цепи

Э

н

П

Цель лабораторной работы

Проанализировать переход ые пр цессы в RLC-цепи с применением

с

математических моделей, получеоых при помощи различных методов

решения уравнений в си теме MATLAB и среде MATLAB Simulink.

.

р

Э

R

о

К

а

C

ц

uL (t)

u(t) uR (t)

Рис. 6.2. RLC-цепь

Основные выражения

Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи (последовательно соединены R, L, C-элементы), показанной на рис 6.2. Выходным сигналом будем считать напряжение на зажимах индуктивного

99

элемента uL(t) , а входом – падение напряжения на всей цепи u(t).

Для данной цепи выполняются соотношения:

У

duC

L

di(t)

= uL (t),

C

(t)

= i(t),

П

,

dt

dt

uR (t) = Ri(t), u(t) = uL (t) +uR (t) +uC

(t),

Т

C

где i(t) – ток цепи uC(t) – напряжение на зажимах емкостного элемента,

uR(t) – падение напряжения на активном сопротивлении. Определив век-

тор состояния x(t) ≡ (i(t)

u (t))T

и выход T ≡ RC получим следующую

систему уравнений:

И

−1

Ю

x1(t) = (u(t) − Rx1

(t) − x2 (t)Н)L ,

.

Н

x (t) =C−1x (t),

2

1

Э

− x2 (t).

y(t) = u(t) − Rx1

(t)

Следовательно, в рассматриваемой работе n = 2, m.= l = 1 и уравнения

О

в

состояния содержат матрицы:

И

Э

L−1

−RL−1

−L−1

A =

C−1

0

, B =

0

, C =(−R

−1), D =1.

П

н

с

тип с заданной амплитудой

Входное напряжение имеет импульсныйо

и частотой.

ц

Задание к выполнению л бораторной работы

К

асхеме (рис. 6.2) и заданным уравнениям изучить

1 ЭПо структу ной

.принцип функциони ования электрической цепи.

о

2.

Определить рвходные

и

выходные

переменные цепи, как объекта

управления.

3. Определить вектора входных, состояния, и выходных переменных системы, а также матрицы параметров в пространстве состояний.

4.Записать передаточную функцию преобразования сигналов.

5.Исследовать построенную систему на устойчивость с помощью критерия Гурвица и критерия Ляпунова.

6.Решить заданное дифференциальное уравнение с помощью инстру-

100

мента DDE в MATLAB.

,

7.

Составить

m-программу

решения заданного

дифференциального

уравнения методом Эйлера в среде MATLAB.

У

8.

Составить

структурную

схему, эквивалентную

заданной, в среде

MATLAB Simulink.

П

9.

Составить S-функцию преобразования сигналов по заданному зако-

ну.

10.Провести моделирование построенных моделей.

11.Сравнить результаты моделирования различными способами.

12.Оформить отчет.

Н .

13.Сдать отчет преподавателю и защитить лабораторнуюТработу.

И

Таблица 6. – Данные вариантов

№

Параметр

Значение

Ю

1

U [В]

Н

10+1.5*N

.

2

fr [Гц]

Э

10+N

И

3

R [Ом]

0.2+0.01*N

4

L [Гн]

0.001+0.00015*N

5

C [Ф]

0.0003+0.0001*N

6

i0 [А]

Э

0.1*N

о

7

П

н

в

Uc0 [В]

О0.5*N

Отчет о работе

с

а

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемы-

ми к оформлению

бот в вузе, и должен содержать:

ц

К

о

Э1. Титульный лист

.2. Наименование и цель работы.

3. Результатырвыполнения работы по каждому из пунктов задания.

4. Анализ результатов и выводы.

101

4.1.3. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями

энергии

У

Цель лабораторной работы

,

Проанализировать и научиться моделировать переходные процессы

в RLC-цепи с изначально заряженной емкостью и другими ненулевыми

Т

начальными условиями. Для моделирования применяются различные

методы решения уравнений в системе MATLAB и среде MATLAB Simu-

link.

И

П

Основные выражения

Ю

Н

В качестве примера рассмотрим неразветвленнуюНRLС цепь, в кото-

рой емкость С изначально заряжена до значения UC0

(рис. 6.3):.

.

i

Э

И

О

S

в

R

Э

C

о

П

L

с

Рис. 6.3. Схема RLC-цепи

Очевидно, что после коммутации можно записать второй закон Кирх-

Э

а dt

гофа:

н

.

Ri + L di +u

= 0.

ц

К

с

о

Это уравнениерможно раскрыть относительно тока – i = iпр + iсв или

относительно напряжения – uc = ucпр +ucсв.

Так как в схеме отсутствует источник питания можно записать:

ucпр = 0, iпр = 0.

С учетом этого имеем Ri

+ L

diсв

+u

ссв

= 0. Запишем данное уравне-

св

dt

102

ние относительно тока, приняв, что uс =

1

∫iсвdt :

С

У

diсв

diсв

R diсв

1

1

П

,

Riсв + L dt

+ С ∫iсвdt = 0 или

dr

+ L

dt

+

СL ∫iсвdt = 0 или

относительно напряжения, приняв, что iC = C

duC

:

Т

dt

RC

du

d 2u

+uc = 0.

dt + LC

dt2

C

C

.

Из этих уравнений можно получить характеристическое уравнение,

сделав замену

d

→ p, ∫dt →

1

.

Н

Н

p

dt

=И0;

p +

R

+

1

.

Э

И

Ю

L

CLp

2

О

2

R

1

= 0.

в2

p CL + RCp

+1

= 0; p

+

L p

+ LC

Э

Определяем корни характеристического ура нения:

н

П с

±

R

−

1 .

p

= −

R

1,2

2

Э

2Lо4L LC

а

.

р

ц

К

о

Рис. 6.4. Апериодический процесс

В зависимости от подкоренного выражения вид переходного процесса можно разделить на следующие случаи:

103

1.

;

R2

1

,

D > 0

2

LC

4L

У

вид которого показан на рис. 6.4.

П

В этом случае активное сопротивление контура:

Т

r > 2

L

.

C

Н

2. D = 0;

R2

1

=

, в этом случае активное сопротивление контура

2

LC

4L

И

.

r = 2

L

равно

и называется критическим сопротивлением контура

k

C

Н

Ю

Процесс, происходящий в схеме, называется критическим случаем

апериодического процесса, вид которого показан на рис. 6.5.

Э

.

О

И

в

Э

о

П

н

Э

с

а

R2

Рис. 6.5. Апериодический процесс

1

r < 2

L

r < rk . . В этом случае в цепи протекает

.

р

3. D < 0;

2

<

LC

C

ц

4L

периодический п оцесс. Случай периодического разряда показан на

о

рис 6.6.

Подкоренное выражение для этого режима работы определяется в

области мнимых чисел, а корни характеристического уравнения пред-

ставляют собойКсопряженные комплексы:

*

p1,2 = −α ± jω0 ,

p1 = p2.

104

,

У

П

Рис. 6.6. Периодический процесс

Т

Э

Н

Ю

Коэффициенты:

r

Н

.

α = −

2L

,

И

.

ω

=

1

−

r2

=

2π

,

2

0

LC

T0

О

4L

α – коэффициент затухания колебаний;

ω0 – угловая частота собственных колебанийИ;

T0 – период собственных колебаний.

н

Общее уравнение процесса будет иметьвид:

Э

с

−оαt

а

= Ae

sin(ω0t + x),

Э U

в

для нулевыхПначальных у ловий запишем: t = 0; Uc = U0; i0 = 0 можно

.

рdU

записать:

ц

К

dt

о

U0

= Asin x,

i = C

C

=CA(−α sin x +ω cos x),

0

0 = CA(−α sin x +ω0 cos x).

Откуда определяем постоянную интегрирования A и x.

Найдем решение уравнения RC

du

+ LC

d

2u

+u

= 0,

получено из

C

C

c

dt

dt2

105

исходного, в общем случае:

,

U

Ссв

= A ep1t + A ep2t ,

У

1

2

i = C duСсв

= C(A p ep1t

+ A p ep2t ).

П

Ссв

dt

1

1

2

2

Т

Сформулируем начальные условия: t = 0; Uc = U0 ; i = 0.

Запишем систему с учетом начальных условий, в соответствии с

первым законом коммутации i(0−) =i(0+ ) и вторым законом коммута-

ции UC (0−) =UC (0+ ) . Тогда можно составить систему:

И

.

U

0 = A1 + A2 ;

Н

Ю

= A1 p1 + A2 p2.

0

.

Откуда имеем:

A =

p U

0

, A

= −

pU

.

2

1 0

p

1

2

− p

2

Нp − p

1

2

1

После

О

в

в

уравнение

имеем

подстановки

исходное

u =

U0

( p ep1t − p ep2t ).

Э

И

c

Э

о

p2

− p1

П

н

с

Э

а

.

р

ц

К

о

Рис. 6.7.

Графически это будет выглядеть так (рис. 6.7):

Для определения тока, после подстановки в исходное уравнение будем иметь:

106

U0 p2 p1

,

i = C

(ep1t −ep2t ), т.е. изначально ток всегда (!) будет изме-

Ссв

p2

− p1

У

няться с нулевого значения (рис. 6.8):

П

Т

Н

.

И

Н

Ю

.

Э

Рис. 6.8.

И

Входное напряжение имеет импульсный тип с заданной амплитудой

и частотой.

О

в

Задание к выполнению лабораторной работы

Э

о

1. По структурной схеме (рис.

6.3) и заданным уравлениям изучить

принцип функционирова ия электрической цепи.

2.

с

Определить входные и выход ые переменные цепи как объекта

Э

а

управления.

3. Определить вектора входныхн, состояния, и выходных переменных

системыП, а также м трицы параметров в пространстве состояний.

.

р

4

Записать пе ед точную функцию преобразования сигналов.

ц

Исследовать пост оенную систему на устойчивость с помощью кри-

5

6.

терия Гурвица и к ите ия Ляпунова.

Решить заданное дифференциальное уравнение с помощью инстру-

мента DDE в MATLAB.

о

7. СоставитьКm-программу решения заданного дифференциального

уравнения методом Эйлера в среде MATLAB.

8.Составить структурную схему, эквивалентную заданной, в среде

MATLAB Simulink.

9.Составить S-функцию преобразования сигналов по заданному зако-

ну.

10.Провести моделирование построенных моделей.

107

11.Сравнить результаты моделирования различными способами.

,

12.Оформить отчет.

У

13.Сдать отчет преподавателю и защитить лабораторную работу.

Таблица 7. – Данные вариантов

№

Параметр

Значение

Т

1

U [В]

5 + 2*N

П

2

fr [Гц]

15 + N

Н

3

R [Ом]

0.25 + 0.02*N

4

L [Гн]

0.002 + 0.00018*N

5

C [Ф]

0.0002 + 0.0004*N

Ю

Н

6

i0 [А]

0.2*N

И

.

7

Uc0 [В]

0.7*N

.

Отчет о работе

О

в

Отчет оформляется в соответствииЭ

с требо аниями, предъявляемы-

Э

ми к оформлению работ в вузе, и должен содержатьИ:

1. Титульный лист

по

2.

н

Наименование и цель раб ты.

3.

П

с

каждому из пунктов задания.

Результаты выполнения раб ты

4.

Анализ результатов и выводы.

Э

а

.

р

ц

4.1.4. Модели ов ние и исследование процессов в LC–фильтре

К

с наг узкой R

о

Цель лабораторной работы

Проанализировать и промоделировать переходные процессы в LC–

фильтре с нагрузкой R с помощью математических моделей, полученных при помощи различных методов решения уравнений в системе

MATLAB и среде MATLAB Simulink.

Пусть имеется однотактный непосредственный преобразователь с выходным сглаживающим LC-фильтром, выполненным по Г-образной

108

схеме (рис. 6.9). Входное напряжение u(t)

представляет собой прямо-

,

угольные импульсы с заданным коэффициентом заполнения. У выход-

У

ного напряжения uR после фильтрации имеется постоянная составляю-

щая с малыми пульсациями.

П

uR (t)

Т

Н

Рис. 6.9. Схема LC-фильтра с нагрузкой R для однотактного преобразователя

Основные выражения

.

2

Н

Ю

Дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее на-

пряжения u и uR без учета импульсного характера первого напряжения,

Э

И

.1

можно записать в следующем виде:

d uR (t)

1 duR (t)

1

2

+

+

uR (t) =

u(t)

Э

dt

RC

dt

LC

LC

или

о

И

П

duR (t) в1

d 2uRО(t) 1

1

dt2

= −

RC

dt

−

LC

uR (t) +

LC

u(t)

Э

с

Входное напряжение имеетнимпульсный тип с заданной амплитудой

и частотой.

р

.

К

ц

Время модели ов ния в р ссматриваемой модели Stop time выбрано

0 002, а максимальныйшагдискретизации Max step size выставлен auto.

о

Эти парамет ы установлены в меню Simulation/Simulation parameters

окна модели.

Задание к выполнению лабораторной работы

1.По структурной схеме (рис. 6.9) и заданным уравнениям изучить принцип функционирования электрической цепи.

2.Определить входные и выходные переменные цепи, как объекта управления.

109

3. Определить вектора входных, состояния, и выходных переменных

системы, а также матрицы параметров в пространстве состояний.

,

4.

Записать передаточную функцию преобразования сигналов.

У

5.

Исследовать построенную систему на устойчивость с помощью кри-

6.

терия Гурвица и критерия Ляпунова.

П

Решить заданное дифференциальное уравнение с помощью инстру-

мента DDE в MATLAB.

7.

Составить

m-программу

решения заданного

дифференциального

уравнения методом Эйлера в системе MATLAB.

8.

Составить

структурную

схему,

Н

эквивалентную

заданной, в среде

9.

MATLAB Simulink.

Т

Составить S-функцию преобразования сигналов по заданному зако-

ну.

И

.

10.Промоделировать процесс нарастания выходного напряжения LC-

фильтра при нулевых начальных условиях.

Ю

11.Рассмотреть переходные процессы в преобразователе при скачкооб-

Э

.

разном изменении сопротивления нагрузки.

И

12.Сравнить результаты моделирования различными способами.

13.Оформить отчет.

Н

14.Сдать отчет преподавателю и защитить лабораторную работу.

Таблица 8. – Данные вариантов

№

Э

о

Параметр

Значение

н

в

1

U [В]

О10+1.5*N

2

fr [Гц]

с

10+N

3

Э

а

R [Ом]

0.2+0.01*N

П

4

L [Гн]

0.001+0.00015*N

5

C [Ф]

р

0.0003+0.0001*N

.6

К

0.5*N

u10 [В]

о

Отчет о работе

ц

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению работ в вузе, и должен содержать:

1.Титульный лист

2.Наименование и цель работы.

3.Результаты выполнения работы по каждому из пунктов задания.

4.Анализ результатов и выводы.

110