y = 1 + x3/3,

,

yk = y(1) = 1 + 1/3 = 4/3.

Т

У

1.3.3. Модифицированный метод Эйлера

П

Модифицированный метод Эйлера 1

y

=1,

1

5

0

И

Y1

= y0

+ k2

=1

+

.

= k1 = hf (x0 , y0 =1*0 = 0),

4

=

4

k

2

= h * f (x

+ h / 2, y + k / 2)

=1

0

0

1

Н

Ю

1

Н

И

3

Э

Модифицированный метод Эйлера 2

.

k

= 0,

в

Y1

О

=1+

(0 +1) / 2 =

.

= y0 + (k1 + k2 ) / 2 =

k

= h * f (x

+ h, y

+ k ) =1* f (1,1) =

2

2

0

0

1

Э

го

Метод Рунге-Кутта четверт

п рядка

y

=1,

П

а

н

1

1

0

0+2*

*2*

+1

k1 =0,

4

р

4

4

Y

=y

+(k

+2k +2k +k )/6=сk =hf (x +h/2,y

+k

/2)

=1/ 4,

=1+

=

.

1

0

1

2

3

4

2

0

0

1

6

3

ц

Э

К

k

=hf (x

+h/2,y

+k

/ 2)

=1/ 4,

3

0

0

2

.

k =hf (x +h,y +k )=1

о

4

0

0

3

1.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

13

dy

= f1(x, y1,…yn ),

,

1

dx

У

dy2

= f2

(x, y1,…yn ),

dx

П

…

dyn

= fn

(x, y1,…yn )

или

dx

Н

dyi = fi (x, y1,…yn ), i =

.

Т

1,n

dx

И

.

где x – независимый аргумент, yi

– зависимая функция,

i =1,n, , yi|x=x0

=yi0 – начальные условия.

Н

Ю

.

Функции yi(x), при подстановке которой система уравнений обра-

И

щается в тождество, называется решением системой дифференциальных

уравнений.

О

Э

в

Метод Эйлера

Э

yij+1

о

= yij+ hfi(xi,y1j y2j...ynj)

н

П с

мершага.

Э

i =1,n, j –

а

xj+1 = xj+h.

.

ц

р

Модифици ов нный метод Эйлера

о

ki1 = hfi(xj,y1j...ynj)

К ki1 = hfi(xj+h,y1j+ki1…ynj+ki2)

yij+1 = yij+(ki1+ki2)/2 xj+1 = xj+h

14

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

,

ki1 = hfi(xj,y1j...ynj)

У

ki2 = hfi(xj+h/2,y2j+ki1/2,..,ynj+kn1/2)

П

Т

ki3 = hfi(xj+h/2,y2j+ki2/2,..,ynj+kn2/2)

ki4 = hfi(xj+h,y1j+ki2,..,ynj+kn3)

.

Н

yij+1 = yij+(ki1+2ki2+2ki3+ki4)/6

xj+1 = xj+h

Ю

Э

.

1.5. Дифференциальное уравнениеИвторого порядка

И

Дифференциальным уравнениемНвторого порядка называется урав-

нение вида

О

в

(2.5.1)

F(x, y, у', y") = 0

или

о

П

н

(2.5.2)

с

Э

а

y" = f(x, y, y').

ФункцияЭy(x), при под та овке которой уравнение обращается в

тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Численно ищется ч тное решение уравнения (2.5.2), которое удов-

.

р

летворяет заданным н ч льным условиям, то есть решается задача Ко-

ц

ши

К

о

Для численного ешения дифференциальное уравнение второго по-

рядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений пер-

вого порядка и приводится к машинному виду (2.5.3). Для этого вводит-

ся новая неизвестная функция

y1 =

dy

, слева в каждом уравнении сис-

dx

темы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

15

dy1 =

f (x, y , y),

dx

1

1

(2.5.3)

dy = y

= f

(x, y , y).

,

1

2

1

dx

Функция f

(x, y , y) в систему (2.5.3) введена формально для того,

2

1

У

чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использова-

ны для решения произвольной системы дифференциальных уравнений

П

первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения

системы (2.5.3). Расчетные зависимости для (i + 1) шага интегрирования

Т

имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные

формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений

расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следую-

щем виде:

Н

И

.

Метод Эйлера

+Нhf (x , y

.

у

= у

, y ),

1,i+1

1,i

1

i

1,i

i

Ю

у

= у + hf (x , y

, y ),

i+1

Эi 2

i

1,i

i

И

О

xi+1 = xi

+ h.

в

Метод Рунге-Кутта четверт

п рядка

Э

го

= у1,i + (m1

+ 2m2 + 2m3 + m4)/6,

П

у1,i+1

у

н

+ 2k

+ k )/6,

= у + (k

+ 2k

Э

i+1

сi 1

2

3

4

аm1 = hf1(xi, y1,i, yi),

.

р

k1 = hf2(xi, y1,i, yi),

ц

К

= hf1(xi

+ h/2, y1,i

+ m1/2, yi + k1/2),

о

m2

k2 = hf2(xi + h/2, y1,i + m1/2, yi + k1/2),

m3=hf1(xi + h/2, y1,i + m2/2, yi + k2/2),

16