схемы расчетная формула имеет вид

d

3

y d

d

2

y

y

′′

− y

′′

y0 − 2 y1

+ y2

−

y−2 − 2 y−1 + y0

y

− 2 y + 2 y

− y

h

2

h

2

−1

2

1

1

−,1 −2

3

=

2

≈

=

=

.

dx

dx

2h

2h

3

dx

2h

У

1.2. Решение нелинейных уравнений

П

Т

Уравнение типа F(x) = 0 или x = f(x) называется нелинейным [10].

Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение

превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1;

2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численныеНметоды решения нели-

нейных уравнений позволяют находить один корень на заданном.интер-

вале [a, b]. При этом на интервале должен существовать только один

И

корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравне-

ний.

Н

.

Метод перебора

Э

Ю

При решении нелинейного ура нения методомИперебора задаются

начальное значение аргумента x = a и шаг h, который при этом опреде-

ляет и точность нахождения к

нелинейного уравнения. Пока вы-

О

в

полняется условие F(x)*F(x + h) > 0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x

= x + h). Если произведение F(x)*оF(x + h) становится отрицательным, то

Э

на интервале [x, x + h] уще твует решение уравнения.

рней

Пока F(x)*F(x + h) > 0: x = x + h.

П

с

Метод половинного деления

Э

а

.При решении нелинейного уравнения методом половинного деле-

ц

ния задаются

интервал[a, b], на котором существует только одно реше-

К

о

ние, и желаемая точность ε . Затем определяется середина интервала с = (а + b)/2 и проверяется условие F(a)*F(c) < 0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b = c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу (a = c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b - a| > ε .

Пока |b – a | > ε : c=(a + b)/2.

7

Условие сходимости метода касательных F(x0)*F ''(x0) > 0. 8

xi+1 = xi − F′(xi ) . F (xi )

F(a) * F(c) < 0 : нет: a = c, да: b = с.

Метод хорд

,

При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются ин-

тервал [a, b], на котором существует только одно решение, и точность

У

ε . Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим

отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой

линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)*F(c) < 0,Пто правую

границу интервала переносим в точку с (b = c). Если указанное условие

Т

не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а =

с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности

|F(c)| < ε . Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс

воспользуемся следующей формулой

Н

.

F(a)

И

c = a +

F(a)

− F(b)

(b − a)

Н

.

F(a)

Ю

Пока |F(c)|> ε : c = a +

Э

(b − a)

И

F(a) − F(b)

F(a) * F(c) < 0 : нет: a = c, да: b = с.

О

в

Метод касательных

о

Э

ри решении нелинейного уравнения методом касательных зада-

ются

начальное зн чение

н

x0 и

точность

ε . Затем в точ-

ргумента

П

ке(x0,F(x0)) п оводим к стельную к графику F(x) и определяем точку

пересечения касательной с осью абсцисс x . В точке (x ,F(x )) снова

Э

а

1

1

1

строим касательную, находим следующее приближение искомого ре-

.

ц

шения x2 и т.д.рУказанную процедуру повторяем пока |F(xi)| > ε . Для

определения точки пересечения (i + 1) касательной с осью абсцисс вос-

К

о

пользуемся следующей формулой:

Пока |F(x)|> ε :

x

= x −

F(xi

)

.

,

i+1 i

F′(xi

)

У

Метод хорд-касательных

П

Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить

отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу

для метода хорд-касательных

Н

x

= x

−

F(xi )(xi − xi−1)

.

Т

i+1

i

F(xi ) − F(xi−1)

.

И

Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рас-

смотренному ранее.

Ю

0

Э

.

1

Метод итераций

При решении нелинейного уравненияНметодом итераций восполь-

i

О

в

зуемся записью уравнения в виде x = f(x). Задаются начальное значение

аргумента x

и точность ε . Первое приближение решения x

находим из

выражения x

= f(x

), второе – x = f(x

) и т.д. В общем случае i + 1 при-

1

Э

2

о

И

0

1

ближение найдем по формуле xi+1 = f(xi). Указанную процедуру повто-

П

н

ряем пока |f(x )| > ε . Условие сх дим сти метода итераций |f'(x)| < 1.

ока

f (xi )

>ε :

xi+1 = f (xi ).

Э

а

.

р

ц

1.3. Численное решениесдифференциальных уравнений

К

Дифференциальным уравнением первого порядка называется урав-

о

нение вида F(x, y, у') = 0 или у' = f(x, y). Функция y(x), при подстановке

которой уравнение обращается в тождество, называется решением диф-

ференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференци-

альных уравнений первого порядка. Описание численных методов при-

водится для уравнения в виде у' = f(x, y).

9

1.3.1. Метод Эйлера

,

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

• вариант 1 (аналитический) у' = f(x, y)

П

≈ y = f (x, y),

dy

Т

У

dx

x

y = y1 − y0 ,

x = x1 − x0 = h,

y1

− y0

= f (x , y ).

.

h

0

0

Н

Н

Расчетные формулы для 1-го шага

y = y

+ h*f(x ,y ),

.

Э

И0 0

Ю

1

0

x1 = x0 + h.

И

Расчетные формулы для i-го шага

О

= yi

в

Э

yi+1

+ h*f(xi, yi),

о

xi+1

= xi

+ h.

П

с

• вариант 2 (графический – рис.2.4)

н y

=

y

− y

0 .

tgα = f (x , y )

=

1

.

р

0

0

x

h

ц

Э

К

y

= y + f(x

,y )*h;

а1

0

0

0

о

x1 = x0 + h

yi+1 = yi + h*f(xi,yi)

Если обозначить ki = h*f(xi,yi), то

yi+1 = yi + ki

10