1.6.6. Первый закон Кирхгофа в операторной форме

,

В операторной форме первый закон Кирхгофа будет выглядеть, как

обычно, поскольку

изображение суммы равно сумме

изображений

(см. выше).

Т

У

∑I ( p) = 0.

П

И

.

1.6.7. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Н

Ю

∑Ik ( p)Zk ( p)

= ∑Ek ( pН).

Э

.

И

1.6.8. Последовательность расчета в операторном методе

О

в

1. Составление изображения искомой функции времени.

2. Переход от изображения к функции ремени.

Э

о

П

н

с

ример

Э

а

.

р

ц

К

Рис. 3.5. RLC-цепь с нагрузкой

о

Опишем данную схему, используя метод контурных токов:

23

i R

+ L di11 + R

(i

−i

) = e(t),

,

11

1

dt

2

11

22

1

t

i

(t)dt

+ R

(i

−i

) = 0.

∫

22

2

22

11

У

C

0

Перейдем к изображениям:

П

I ( p)

(pL + R + R

)− I

22

( p)R = E( p),

11

1

2

2

Т

−I ( p)R + I

22

( p) R +

1

= 0.

11

2

22

Н

Cp

.

I11( p) =

E( p)(1+ R2Cp)

,

2

p R2 LC + p(R1R2C

+ L)

+ R1 + R2

E

И

I22 ( p) =

( p)R2Cp

,

p2 R LC

+ p(R R C + L)

+ R

+ R

2

1

2

1

2

I

( p) = I

( p),

I

Н

E( p) == e(t)

22

( p) = I

( p),

11

1

3

.Ю

Если e(t) = E, то E(p) = E.

И

Э

Если e(t) = Em sin(ωt +ϕ),

то E( p) = Em

p

.

p − jω

О

в

Так как в указанной

ет магнитно-связанных индуктивных

Э

о

катушек и начальные у ловия

улевые, то можно составить уравнения

проще.

н

П

I ( p) =

E( p)

,

схеме

1

Z

( p)

Э

вх

.

а

р

1

ц

R2

jωC

Z

вх

( p) = Z

ab

= R

+ jωL +

,

1

1

К

о

1

R2 + jωC

R

p2 LCR

+ p(L + R R C) + R R

Z

( p) = R pL

+

2 Cp

=

2

1 2

1 2

.

вх

1

1

R2

+

1+ R2Cp

Cp

24

		E( p)			E( p)(1+ R2Cp)			,
	Поэтому I1( p) = Z ( p) =			p2 LCR + p(L + R R C)		+ R + R .
								У
		вх		2	1 2	1 2
	1.6.9. Аналогия с переменным током
						Т
	При составлении уравнений для электрических цепей в оператор-

ном методе можно применять те же приемы, что и при использовании

комплексных чисел для описания синусоидальных функцийП. Для этого

достаточно поменять jω на p.

Н

.

R2

R2

I3 = I1

I3 ( p) = I1( p) R +

1 ,

R +

1

Ю

2

Н

jωC

Cp

1

R

1

R

U

( p) = I

( p)

= I

( p)

2

И= I

.

dc

3

Cp

1

R2 +

1

Cp

1

R Cp +1

О

Cp

И

2

виде

1.7.

Изображение функцииЭвремени

отношения двух поли-

Э

номов по степеням p

Пример

н

П1

2

о

Схема из примера выше.

Э

а

E(p) = E. Для выражения

I ( p) =

E( p)

=

E( p)(1+ R2Cp)

,

р

+ p(L + R1R2C) + R1 + R2

ц

Zвх

( pс) p LCR2

N( p) = E( p)(1

+ R2Cp)N

( p),

о

К

+ p(L + R R C)

+ R

+ R .

.

M ( p)

= p2 LCR

2

1

2

1

2

Если для того же примера

e(t) = Em sin(ωt +ϕ),

то E( p) = Em

p

,

p − jω

N( p) = Em (1+ R2Cp),

M ( p) = ( p − jω)

2

LCR2

p

+ p(L + R1R2C) + R1 + R2 .

25

Пусть n – наивысшая степень в полиноме N(p), а m – наивысшая

степень в полиноме M(p).

,

У

Во всех физически осуществимых электрических цепях n < m.

П

1.7.1. Переход от изображения к функции времени

1. Применение формул соответствия.

Рекомендуется пользоваться в том случае, если среди корней урав-

Н

.

нения M(p) = 0 есть несколько одинаковых корней (кратные корни)

и/или есть корень равный нулю (p = 0).

И

Т

2. Применение формулы разложения.

Пример

Э

Ю

Н

I(t) = 2500 А

.

R = 400 Ом,

И

С = 200 мкФ,

О

в

uR (t)

uC (t)

Э

о

Рис. 3.6. RC – цепь

Э

с

а

н1

RCp +1

П

Z ( p) = R + Cp

=

Cp

,

.

р

2500 ,

ц

К

U ( p) =

p

о

I ( p) =

U ( p)

2500Cp

Z ( p) =

p(RCp +1) .

uс(t) – ?

uс(0,1) – ?

Uc ( p) = I ( p)

1

=

2500

.

Cp

p(RCp +1)

26