4.1.5. Заряд емкости

,

Цель лабораторной работы

Проанализировать процесс заряда емкости в RC-цепи с применением

математических моделей, полученных при помощи различных методов

решения уравнений в системе MATLAB и среде MATLAB Simulink.

У

Основные выражения

П

Рассмотрим схему, показанную на рис. 6.10.

Т

Н

И

.

Н

.

Рис. 6.10.

Ю

После замыкания ключа S в данной цепи начинается переходный

Э

процесс по заряду емкости С. Замыкание ключа происходит в момент

времени t = 0.

И

Исходя из допущения, что к ммутация происходит мгновенно и

О

в

обозначив время непосредстве

перед коммутацией t(0−) , а время

сразу после коммутации t(0+ ) ,

записать:

t(0−) =t(0+ ) . В даль-

Э

мож

нейшем все параметры токов и апряжений в схеме непосредственно

перед коммутацией будем обозначать подстрочным индексом (−) , а сра-

П

зу после коммутации (+ )с.

Определим нач льные условия схемы: I (0−) = 0,UC (0−) =U0.

Э

а

Сразу после коммутации схема будет выглядеть следующим обра-

.

р

ц

К

о

зом (рис. 6.11).

Рис. 6.11.

111

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи сразу

после коммутации

У

UR +UС = E

П

,

или

Ri +UС = E .

Н

dUC

Запишем значение тока, протекающего через емкостьТкак i = C

,

И

dt

тогда последнее уравнение можно переписать в виде:

Ю

RC

dUC

+UC = E.;

.

dt

.

Э

И

Из теории решения линейных дифференциальных уравнений из-

вестно что:

О

Н

в

Решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее заданным на-

чальным условиям, всегда следует искать

иде суммы какого-либо ча-

Э

о

стного решения этого неоднородного ура нения и общего решения со-

ответствующего однородного ура нения, у которого правая часть

П

с

равна 0.

В нашем случае зависимость uC(t) будет иметь две составляющих:

Э

u

(t) =U

+U

C

;

CнC

.

р

ПР

СВ

– принужденное зн чение напряжения. Определяется для момента

ц

UC

ПР

К

времени t = ∞,

то естьапо окончании переходного процесса. При E =

о

const, UCПР =E.

UC

представляет из себя

Свободная

составляющая напряжения

СВ

сумму экспонент типа Ak e

pkt

; Для нашего случая (с одним накопителем

энергии) это только одна экспонента:

UCСВ = Aept .

Тогда общее решение уравнения будет иметь вид: 112

uC (t) = E + Aept ,

У

где А – постоянная интегрирования, определяемая из начальных усло-

вий, p – корень характеристического уравнения.

П

,

Представим исходное дифференциальное уравнение в виде изобра-

жения по Лапласу, заменив

d

→ p и получим:

dt

Н

.

RCp +1 = 0 , откуда: p = −

1

;

Т

RC

И

Исходя из второго закона коммутации можно записать:

Н

Ю

UC (0−)

=UC

(0+ ),

.

Пусть емкость C была изначально заряжена до величины U0, тогда

для времени t = 0 имеем:

Э.

вRC

О

U0 = E + A

, откуда:

И

Э

A =U0

– E

о

Окончательное решение запишем

иде:

u(t) = E + (U0 − E)e

−

1

t

,

или:

с

ЭUC

а

н− 1 t

П

1

u(t) =U

e

pC

+ E(1−e−RC t ).

0

ц

Если

К

о

(0) = 0, т.е. емкость была не заряжена, решение будет выгля-

.деть следующемроб азом:

− 1 t

)..

U (t) = E(1−e

RC

Величина

RC =τ –

называется постоянной времени. Принято счи-

тать, что переходный процесс завершается через время t = (3 ÷5)τ. .

На рис. 6.12 дана графическая интерпретация переходных процессов в схеме.

113

Для того, чтобы определить ток, протекающий через конденсатор

необходимо решить уравнение вида:

У

dUC

i = C

.

П

,

dt

Т

Н

.

И

Н

Ю

.

О

Э

в

Э

Рис. 6.12.

На графике эта зависимость показана, как «ИСоставляющая тока».

точки

Постоянную времени τ

можно

пределить графически. Для этого

П

проведем касательную к началу фу кции U(t) до ее пересечения с при-

рис

пересечения на ось времени

нужденной составляющей. Проекция

Э

а

. 6.12).

даст численное значение τ

(

.

ц

Задание к выполнению л бораторной работы

По структу ной схеме (рис. 6.10) и заданным уравлениям изучить

о

1

принцип функционированияр

электрической цепи.

2. Определить

входные и

выходные переменные цепи, как объекта

управленияК.

3. Определить вектора входных, состояния, и выходных переменных

4.

системы, а также матрицы параметров в пространстве состояний.

Записать передаточную функцию преобразования сигналов.

5.

Исследовать построенную систему на устойчивость с помощью кри-

терия Гурвица и критерия Ляпунова.

114