Продолжение таблицы 3

Непрерывный

Дискретная

Частотная

Тип звена

аналог

передаточная

передаточная

Алгоритм

функция

функция

a

æ

T

0

ö

u[n] =

Интегрирую-

k

,

kç1

-

j

l÷

z - 1

щее

è

2

ø

-ax[n - 1] +

p

a = kT0

jl

+u[n - 1]

Пассивное

1 + T1 p

(1 + a)z + 1 - a

1+ jτ1λ

,

u[n] = b0 x[n]+

1+ jt2l

интегрирую-

,

+b1x[n - 1]-

1 + T2 p

(1 + b)z + 1 - b

щее

t1

=

aT0

-a1u[n - 1],

T1 < T2

0 < a < b < 1

2

,

b0 =

1 + a

,

bT0

t2

=

1 + b

2

1 − a

b1 =

,

1 + b

a =

1 − b

1

1 + b

Интегро-

k1

a

z − 1

æ

aö

2 ( jl)

2

u[n] = x[n]+

+(a − 2)x[n − 1] +

1 +

+ k

2 p

+

,

a + ç1

-

÷T

дифференци-

è

4ø

0

p

z -

1

z

рующее

+x[n - 2] +

æ

T0

ö

0 < a < 1

jT0 lç

1

+

j

l÷

2

è

ø

+u[n - 2]

Лекция 21. Постановка задачи оптимального управления

Обратимся к описанию системы управления в пространстве состояний.

Объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, возможно, нестационарной и нелинейной:

	dX(t)	= f (X ,U ,t),	(21.1)
	dt

где X(t)=(x1 ,x2 ,...xn ) - n-мерный вектор состояния, U(t)={u1 , u2 ,... ur} - r-

мерный вектор управления.

Задачей управляющего устройства является выработка такого U(t), чтобы

качество функционирования		системы удовлетворяло заданным требованиям
(например M ≤ 1,5 ,		).

Однако эта задача может быть сформулирована и в другой форме: задачей управляющего устройства является выработка такого управления, чтобы каче- ство функционирования системы было наилучшим в определённом смысле (на-

78

пример, быстродействие должно быть максимальным). Такая постановка задачи имеет ряд особенностей.

1. Если не ограничиваться рассмотрением линейных стационарных систем, то в условиях задачи в общем случае необходимо оговаривать начальное со- стояние X0=X(t0) и конечное состояние объекта X1=(t1). Тем самым задаётся временной интервал [t0 , t1], для которого и требуется найти оптимальное управление. Границы этого интервала и соответствующее значение вектора X далеко не всегда оказываются фиксированными. В конкретных задачах часть из этих граничных условий может быть неизвестна или может принадлежать неко- торой области. Следствием этого является разнообразие задач оптимизации управления.

2. Для реальных объектов управления, как правило, приходится учитывать ограничения на составляющие вектора управления или на переменные состоя- ния. Таким образом, оптимальное управление ищется среди допустимых управ- лений, принадлежащих некоторой замкнутой области С в r-мерном простран- стве управлений. Допустимым управлением называется всякая кусочно- непрерывная функция U(t) C при t [t0 ,t1].

3. При достаточном разнообразии критериев качества управления их при-

нято задавать единым способом в форме функционала:
J(X ,U ) = Ψ(X 0 , X1,t0 ,t1)+ tò1	F(X ,U)dt ,	(21.2)

t0

где виды F и Ψ определяют конкретный критерий для рассматриваемой задачи. В итоге основную задачу определения оптимального управления сформу- лируем следующим образом: пусть заданы уравнения объекта управления (21.1), начальное и конечное состояния объекта. Среди всех допустимых урав- нений, для которых траектории системы (21.1) проходят через начальное и ко- нечное состояние, выбрать такое, для которого функционал (21.2) принимает

минимальное значение, то есть J (X ,U) → min.

Это задача синтеза оптимального управления.

Второй вариант постановки задачи оптимизации - задача синтеза опти- мального регулятора. Её отличие состоит в том, что управление ищется не как функция времени U(t), а как функция вектора состояния системы U(X). Тем самым непосредственно определяется уравнение регулятора, обеспечивающего оптимальное качество СУ, то есть уравнение оптимального регулятора.

Выбором подинтегральной функции F и функции Ψ минимизируемого функционала задаются конкретные критерии оптимальности управления. Здесь может быть достигнуто широкое разнообразие. Pассмотрим наиболее распро- страненные на практике критерии.

79

1. Критерий максимального быстродействия сводится к минимизации вре- мени перехода объекта из состояния X0 в X1, другими словами, времени пере- ходного процесса:

			t1
J(X ,U) = t1 - t0 = ò dt .						(21.3)
			t0
2. Критерий минимального расхода топлива:
t1	r
J(X ,U ) = ò	åb j		uj (t)		dt ,	(21.4)
t0	j=1

где uj(t) - составляющие вектора управления,

bj - весовые коэффициенты, выбором значений которых можно учесть рас- ход горючего или другого рабочего тела на формирование сигналов управле- ния по разным каналам.

3. Комбинированный критерий

t1	æ	r	ö
J(X ,U ) = ò	ççb0 + åb j			u j (t)		÷÷ dt ,	(21.5)
t0	è	j=1				ø

позволяет учесть при соответствующем выборе весовых коэффициентов и вре- мя переходного процесса, и расход топлива.

4. Критерий минимума интеграла от квадрата ошибки системы:

t1	n	t1
J(X ,U ) = ò	å p j x2j dt или	J(X ,U ) = ò X Т PXdt	(21.6)
t0	j=1	t0

Здесь Т - символ транспонирования вектора, P - матрица весовых коэф- фициентов размерностью n × n. Если рассматривается стационарная система, то t1 в этом критерии чаще всего задаётся бесконечным, а xi(t1)=0, i=1,2,...n.

5. Тот же критерий для конечного интервала времени иногда вводится с учётом конечной ошибки системы:

t
J(X ,U) = ò1	X Т PXdt + X Т (t1)RX(t1)	(21.7)
t0

где R - симметричная матрица размерностью n × n; момент t1 задаётся фикси- рованным (t1 << ¥); значения xi(t1) в условиях задачи не фиксируются.

6. Критерий минимума расхода энергии:

t1	r	t1
J(X ,U ) = ò	åq ju2j dt	или J(X ,U ) = òU Т QUdt ,	(21.8)
t0	j=1	t0

80

где Q - симметричная матрица размерностью r × r.
7. Квадратичный критерий качества в наиболее общем виде:
J(X ,U) = tò1 (X Т PX +U Т QU )dt + X Т (t1)RX(t1).	(21.9)
t0

причем t1 << ∞ . Это комплексный критерий, обеспечивающий минимизацию интеграла от ошибки и расхода энергии. Если рассматривается t1 → ∞ , то по-

следнее слагаемое отсутствует.

Для критериев вида 4 -7 характерна очень важная особенность: выбором коэффициентов, то есть элементов матриц P, R и Q, определяется значения за- пас устойчивости и быстродействие системы. Именно такие критерии положе- ны в основу методики синтеза оптимальных регуляторов.

8. В задачах оптимизации управления конечным состоянием системы ис- пользуется критерий вида:

J (X ,U ) = Ψ(X 1 ,t1) = X Т (t1)RX (t1).

(21.10)

Конечное состояние в условиях задачи, очевидно, не задаётся.

Для задач синтеза оптимального управления при отсутствии ограничений на управление используются классические методы вариационного исчисления.

При наличии ограничений на управление наиболее удобен принцип мак- симума Л.С. Понтрягина. Для этих задач используется метод динамического программирования разработанный Дж. Беллманом.

Эти методы позволяют получить аналитическое решение для наиболее простых задач или свести решение задачи к решению некоторой системы нели- нейных алгебраических уравнений, которое может быть далее получено стан- дартным численным методом.

Однако при достаточной сложности модели объекта управления это ока- зывается слишком трудоёмким, и приходиться применять численные методы оптимизации.

Лекция 22. Синтез оптимального управления на основе вариационного исчисления

При отсутствии ограничений в форме неравенств на управление или пе- ременные состояния задача синтеза оптимального управления сводится к на- хождению локального экстремума функционала. Для этого используются мето- ды вариационного исчисления.

При использовании вариационного исчисления переменные состояния и составляющие сигнала управления в общем случае рассматриваются как со- ставляющие некоторой векторной функции X(t)=(x1,x2,...xn). Все критерии оптимальности приводятся к следующему общему виду:

81

J(X ) =	t1	æ	. ö
	ò	è	ø	(22.1)
		Fç	X , X ,t÷ dt ,
	t0

Среди вариационных задач, как и среди любого другого вида задач поис- ка экстремума выделяются задачи на безусловный и условный экстремумы. Рассмотрим сначала основные виды задач на безусловный экстремум.

Простейшая задача вариационного исчисления имеет следующую поста- новку: требуется найти функцию x(t), определенную на интервале t Î[t0 ,t1]

при заданных значениях x(t0)=x0, x(t1)=x1, доставляющую экстремум функ- ционалу вида (22.1), где размерность вектора n=1. Иногда говорят, что требу- ется найти кривую x(t), концы которой закреплены в точках x(t0)=x0 и

x(t1)=x1.

Решение простейшей задачи находят на основе необходимых условий достижения экстремума функционала (22.1).

Первое необходимое условие достижения экстремума имет вид уравне-

	ния Эйлера для x(t):		æ		ö
	¶F
		-	d ç		¶F ÷	= 0 .	(22.2)
					. ÷
	¶x		dt ç
			è		¶ x ø

Уравнение Эйлера сводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно x(t). Его решение называют экстремалью. Далее с уче- том граничных условий x(t0)=x0, x(t1)=x1 находят допустимую экстремаль (одну или несколько).

Второе необходимое условие достижения экстремума - условие Лежанд-

ра:

¶2F		³ 0 для минимума или	¶2F		£ 0 для максимума (22.3)
.	.		.	.
¶ x	¶ x		¶ x	¶ x

вдоль всей допустимой экстремали. Если условие (22.3) выполняется строго, то вместе с (22.2) оно образует достаточное условие минимума или максимума

функционала (22.1).
	В многомерном случае функционал (22.1) зависит от нескольких функ-
ций,	рассматриваемых	как	составляющие	векторной	функции
X(t)=(x1,x2,...xn). Задаются граничные условия:
		xi(t0)=xi0,	xi(t1)=xi1, i=1,2,...,n.		(22.4)

Первое необходимое условие достижения экстремума функционала (17.1) в этом случае имеет вид системы уравнений Эйлера-Лагранжа:

82

¶F

d

æ

¶F

ö

-

ç

÷

= 0 ,

i=1,2,...n .

(22.5)

¶x

i

dt

ç

.

÷

è

¶ x i

ø

Второе условие сводится к рассмотрению матрицы вторых частных про-

изводных:

¶2F

¶2F

...

¶2F

. .

. .

. .

¶ x1

¶ x 1

¶ x 1

¶ x 2

¶ x 1

¶ x n

¶2F

¶2F

...

¶2F

F. .

=

. .

. .

.

.

.

(22.6)

x x

¶ x 2

¶ x 1

¶ x 2

¶ x 2

...

¶ x 2

¶ x n

...

...

...

¶2F

¶2F

...

¶2F

. .

. .

. .

¶ x n

¶ x 1

¶ x n

¶ x 2

¶ x n

¶ x n

Для минимума главные диагональные определители матрицы (22.6)

должны быть неотрицательны:

¶2F

¶2F

¶2F

. .

. .

³ 0 ,

¶ x1 ¶ x 1

¶ x 1

¶ x 2

³ 0 ...,

(22.7)

. .

¶

2

F

¶

2

F

¶ x1 ¶ x 1

. .

. .

¶ x 2

¶ x 1

¶ x 2

¶ x 2

а для максимума - неположительны вдоль всей допустимой экстремали, най- денной по (22.5) с учетом (22.4). Строгое неравенство в (22.7) вместе с (22.5) дает достаточное условие экстремума.

В общем случае граничные условия могут быть заданы не полностью. В этом случае первое необходимое условие достижения экстремума (22.2) или (22.5) дополняется уравнениями трансверсальности. Рассмотрим возможные варианты.

1. Задача с подвижными концами: значения всех или некоторых состав- ляющих векторной функции X при t=t0 или t=t1 не заданы. Вместо каждого недостающего граничного условия вводится условие трансверсальности вида:

¶F			= 0 или	¶F			= 0 .	(22.8)
.				.
¶ x i		t = t0		¶ x i		t = t1

2. Задача со свободными концами: не задан также момент времени t0 или t1. Вводится условие трансверсальности соответственно:

83

	é	n	¶F
	êF - å
			.
	ê
	ë	i=1¶ x i

	. ù		é	n	¶F
	x i ú	= 0 или	êF - å
					.
	ú		ê
	ût=t		ë	i=1¶ x i
	0

. ù

x i úú = 0 . (22.9)

ût=t1

3. Задача со скользящими концами: вместо значений t0 и x0 задано урав-

нение x(t0)=j(t0) (аналогично для правого конца). Вместо условий (17.8), (17.9) вводится условие трансверсальности (на примере одномерной задачи):

é	¶F	æ .
êF -		çx
ê	.	è
ë	¶ x

. öù	= 0 или	é	¶F	æ .
- j÷ú		êF -		ç x
øú		ê	.	è
ût=t0		ë	¶ x

. öù

- j÷ú = 0 . (22.10)

øú

ût=t1

В вариационных задачах на условный экстремум на функцию X, помимо граничных условий, накладываются дополнительные ограничения в форме не- которых уравнений (уравнений связи). Такие задачи наиболее часто распро- странены на практике. В задаче синтеза системы управления такими уравне- ниями являются уравнения объекта управления.

Задача на условный экстремум функционала (22.1) сводится к задаче на безусловный экстремум для нового функционала:

J(X ) =	t1	F	æ	.	ö	(22.11)
	ò		ç	X , X ,t÷ dt .
		1	è		ø
	t0

Вид функции F1 (функции Лагранжа) зависит от вида уравнений связи. Здесь возможны следующие варианты.

1. Изопериметрическая задача: уравнения связи имеют вид интегральных

уравнений

t1		æ	.	ö
ò	G					, j=1,2,...k.	(22.12)
		ç	X , X ,t÷ dt = w		j
		j è		ø
t0

Функция F1 вводится в соответствии с принципом неопределенных множите- лей Лагранжа:

F1	æ	.	ö	æ	.	ö	k	æ	.	ö
	çX ,X ,t÷			= FçX ,X ,t÷			+ ål jG j çX ,X ,t÷ ,				(22.13)
	è		ø	è		ø	j=1	è		ø

где lj - произвольные постоянные коэффициенты.

2. Задача Лагранжа: уравнения связи имеют вид дифференциальных урав-

нений

	, j=1,2,...m<n .	(22.14)

Функция F1 вводится в форме:

84