Решетчатая цифровая функция x0[n]

x(t)

ством разрядов преобразователя l (например, для преобразователя задающего воздействия, рис. 32а):

gmax − gmin = δ1(2l − 1).

Линеаризация характеристики преобразователя рассмотренным выше ме- тодом означает, что показан- ные на рис. 33 звенья 2 и 3 исключаются из рассмотре- ния. Однако наличие в систе-

ме квантования по уровню оказывает влияние на точ- ность системы, а наличие ог- раничения (звено 3) может

влиять на характер процесса управления. Анализ такого влияния может быть выпол-

нен на основе структурной схемы, подобной рис. 33.

Лекция 13. Передаточные функции компьютерных систем управления

Рассмотрим одноканальную линеаризованную систему, структурная схе- ма которой показана на рис. 34.

Непрерывный сигнал ошибки поступает на линеаризованный АЦП и приобретает безразмерный цифровой вид x0(t). Ключ осуществляет дискрети- зацию по времени в соответствии с тактом работы управляющего компьютера.

поступает на вход компьютера и на ее ос- нове в соответствии с передаточной функцией компьютера Wк(z) формируется

50

цифровой решетчатый управляющий сигнал u0[n]. Ключ на выходе компьюте- ра отражает дискретность во времени формирования сигнала на выходе ком- пьютера. Далее линеаризованный ЦАП и экстраполятор с передаточной функ- цией Wэ(p) формируют непрерывный управляющий сигнал, который поступает на вход непрерывной части системы (объект управления) с передаточной

функцией Wн(p).

При определении передаточной функции непрерывной части она ее обычно рассматривают совместно с линеаризованными ЦАП и АЦП, а также с экстраполятором. При этом экстраполятор стараются строить таким образом, чтобы ослабить влияние эффекта дискретизации пор времени на работу систе- мы. Рассмотрим несколько примеров.

В экстраполяторе нулевого порядка сигнал на выходе удерживается постоянным в течение всего такта T0 (рис. 35).

Здесь x(t) - непрерывный сигнал на входе ключа, x[n] - решетчатая функция по- сле ключа, работающего с тактом Т0, x1(t) - выходной сигнал экстраполятора.

Передаточная функция экстраполятора может быть найдена как изображение по Ла- пласу его весовой функции, которая имеет

вид прямоугольного импульса 1(t)-1(t-T0).

		Изображение по Лапласу прямоуголь-
ного импульса длиной Т0 было получено ранее:
F (p) =	1 − e− pT0			= W		э	(p).
и		p
На основе подстановки e pT0		= z его можно представить в следующем
виде:		1 − z −1
W э(p) =				=	z − 1			.
		p
					zp

Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части системы (рис. 34) с учетом линеаризованных преобразователей и экстраполятора будет равна:

W п (p) = W э (p) δ W н (p) = z − 1 δ W н (p),
δ1	zp δ1

а дискретная передаточная функция непрерывной части системы может быть найдена следующим образом:

51

W (z) =	d		z - 1	ìW		н	(p)ü
				Z í				ý .	(13.1)
	d1		z			p
				î				þ

В экстраполяторе первого порядка сигнал на выходе в течение всего так- та изменяется по линейному закону (рис. 36а):

x1(t - nT0 ) = x[n]+ Ñx[n](t - nT0 ). T0

В результате в конце такта на выходе экстраполятора будет сигнал:

x1[n + 1] = x[n]+ Ñx[n] ¹ x[n + 1],

то есть здесь также есть погрешность восстановления непрерывного сигнала, хотя и меньшая, чем в экстраполяторе нулевого порядка.

Весовая функция экстраполятора первого порядка будет иметь вид, пока- занный на рис. 36б:

w(t) = 1(t) - 1(t - T0 ) + Tt0 1(t) - Tt0 1(t - T0 ).

Ее изображение по Лапласу даст передаточную функцию экстраполятора:

W э (p) =

1 - e− pT0

+ (1 - e− pT0 )T0

t

e− pt dt .

p

òT

0

Найдем интеграл

0

ùT0

T0

t

e− pt dt =

e− pt é

t

1

e− pT0

e− pT0

1

1

z - 1

ò

ê

-

ú

= -

-

+

= -

+

T0

- p

p

2

p

T0 p

2

T0 p

2

zp

T0zp

2

0

T0 ë

û0

и подставим его значение в передаточную функцию, выполняя одновременно подстановку e pT0 = z :

52

Tиzp2

W э (p) =

z - 1 z - 1æ

1

z - 1

ö

æ z - 1ö

2 æ

1

1

ö

+

ç

-

+

÷

= ç

ç

+

÷

÷

zp

z

ç

zp

T0zp2

÷

ç

p

T0 p2

÷ .

è

ø

è

z ø

è

ø

Теперь дискретная передаточная функция непрерывной части системы

может быть найдена следующим образом:

(p)

W (p)

d

æ z - 1ö

2 ìW

ü

W (z)

ï

н

н

ï

=

ç

÷

Z í

+

ý .

(13.2)

d1

p

T p2

è

z ø

ï

ï

î

0

þ

В рассмотренных выше дискретных экстраполяторах характерной осо-

бенностью является сбрасывание накопленной внутри такта ошибки при начале очередного такта. При этом сигнал на выходе экстраполятора в начале очеред- ного такта всегда изменяется скачкообразно. Обеспечить непрерывный выход- ной сигнал позволяют экстраполяторы, построенные с использованием интег- рирующих устройств. Непрерывный экстраполятор первого порядка показан на

рис. 37. Он включает в себя после- довательно соединенные экстрапо- лятор нулевого порядка и изодром- ное звено. Передаточная функция такого экстраполятора будет равна:

W э (p) = (z - 1)(1 + Tи p).

Дискретная передаточная функция непрерывной части системы в этом случае должна определяться сле- дующим образом:

	d z - 1				ì				ü
W (z) =					ï(1		+ Tи p)W н (p)ï
					Z í				ý .	(13.3)
	d1		z					T p2
					ï				ï
					î			и	þ
Передаточная функция управляющего								компьютера	рассматривается в

форме отношения z-изображений выходного и входного сигналов:

	U(z)		b0		+	b1z	−1 + +		−l
W к (z) =		=					... blz			.	(13.4)
	X (z)		a	+ a z −1 +...+a				z−m
			0			1	m

Из (13.4) можно перейти к разностному уравнению

a0 u0 [n]+ a1u0 [n - 1]+...+am u0 [n - m] =

= b0 x0 [n]+ b1x0 [n − 1]+...+bl x0 [n − l],

которое всегда может быть приведено к виду с a0=1.

Далее выполняется переход к алгоритму формирования сигнала управле- ния u0[n]:

53