Как понимать квантовую механику

12.5. СИММЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

343

числом, таким образом, удалось существенно сократить выкладки:

=

− 1

−

(

n aˆ†aˆ†)(ˆaaˆ n

)

−

n2 + n(n + 1) +(n + 1)n

(n + 1)2

4

|

|

−

−

aˆaψˆ

n

aˆaψˆ

+n

n 1

n

−

|

−

1

−

n aˆaˆ)(ˆa†aˆ†

−

(

n

)

=

|

|

aˆ†aˆ†ψn|aˆ†aˆ†ψn

Осталось вычислить

скалярные квадраты двух волновых функций:

aˆaˆ n

=

|

√ √ √ √

= n − 1 n|n − 2 , aˆ†aˆ†|n = n + 2 n + 1|n + 2 . Таким образом, получаем ответ

=14 (+(n − 1)n + 1 + (n + 2)(n + 1)) = 41 (2n2 + 2n + 3).

12.5.Симметрии гармонического осциллятора

12.5.1. Зеркальная симметрия

На первый взгляд мы видим у гармонического осциллятора одну сим-

ˆ

метрию — зеркальную, описываемую оператором инверсии координаты I. Как мы уже обсуждали выше, это означает, что мы можем выбрать собственные функции оператора Гамильтона так, чтобы они одновременно бы-

ˆ	или нечетными.¨	По-
ли собственными функциями оператора I, т. е. четными¨

скольку у гармонического осциллятора нет вырождения четных¨ и нечетных¨ состояний (да и вообще спектр невырожденный), все собственные состояния оказываются либо четными,¨ либо нечетными¨. Основное состоя-

	1				∂
	ние ψ0 (12.31), очевидно, четно¨. Повышающий оператор aˆ† =	√		(Q −		)
					∂Q
			2

меняет четность¨ состояния, т. е. превращает четную¨ функцию в нечетную¨ и наоборот. Таким образом, четность¨ собственных состояний осциллятора чередуется, т. е. соответствует четности¨ номера уровня:

ˆ	n	ψn.
Iψn = (−1)

12.5.2.Фурье-симметрия и переход от координатного представления к импульсному и обратно**

Гамильтониан для гармонического осциллятора в обезразмеренных пе-

ˆ 1 ˆ2 ˆ2

ременных H = 2 ¯hω(Q +P ) выглядит симметрично относительно замены координаты на импульс, а импульса на ±координату.

344	ГЛАВА 12
Это соответствует переходу от координатного представления, к им-
					ˆ
пульсному. Соответствующий унитарный оператор F задает¨ преобразова-
ние Фурье, его удобно представить как интегральный оператор:
(Fˆψ)(P ) =		√2π e−		iP Q	ψ(Q) dQ.
	1
R
ˆ		ˆ

Просто поменять местами P и Q не позволяют канонические коммута-

ционные соотношения (12.6), но мы можем, как и в классической механике,

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

выбрали так,

сделать каноническую замену Q

→ −P , P

→ Q. Знаки мы

3

чтобы они согласовывались с прямым преобразованием Фурье :

Qˆ → −Pˆ = FˆQFˆ ˆ−1,

(12.33)

Pˆ → Qˆ = FˆPˆFˆ−1,

(12.34)

ˆ

ˆ

aˆ → FˆaˆFˆ−1 =

−P√+

iQ

= ia,ˆ

(12.35)

2

ˆ

ˆ

aˆ†

→

Fˆaˆ†Fˆ−1

=

−P − iQ

=

−

iaˆ†.

(12.36)

√

2

Гамильтониан в координатном и в импульсном представлениях за-

дается¨ одним и тем же дифференциальным оператором

1

hω

∂2

2

Hˆ

д. = FˆHˆд.Fˆ−

=

¯2 −

+ Q .

∂Q2

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

То есть F Hд. = Hд.F . И этой симметрии соответствует некоторый закон сохранения.

Закон сохранения, следующий из Фурье-симметрии, задает,¨ что если в начальный момент времени волновая функция гармонического осцилля-

ˆ

тора является собственной, для оператора F , с собственным числом f , то и в последующие моменты времени волновая функция остается¨ собствен-

	ˆ
ной функцией для F с тем же собственным числом. Другая формулировка —
ˆ	|ψ(t) не зависит от времени.
ψ(t)|F
Как известно, 4-кратное преобразование Фурье возвращает нас к ис-
	ˆ4	ˆ
ходной функции, т. е. F		= 1. Записав это для собственной функции, полу-
чаем:
ˆ	ˆ	ˆ4	ψ = f	4	ψ		f	4	= 1, f {1, −i, −1, i}.
F ψ = f ψ, ψ = 1ψ = F

3Рекомендуем самостоятельно проверить формулы (12.33)–(12.36).

12.5. СИММЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

345

Двухкратное преобразование Фурье дает¨ исходную функцию, с обратным

ˆ2	ˆ	ˆ2	ˆ
знаком аргумента: (F	ψ)(Q) = ψ(−Q) = (Iψ)(Q), т. е. F		= I. Аналогич-

ное соотношение для собственных чисел позволяет заключить, что четным¨ функциям отвечает f = ±1, а нечетным¨ — f = ±i. Таким образом, Фурьесимметрия включает в себя зеркальную симметрию, но позволяет разбить четные¨ и нечетные¨ функции еще¨ на два класса.

Уравнение на собственные функции и собственные числа выглядит

следующим образом:	√2π e−
f ψ(P ) =			iP Q	ψ(Q) dQ.
	1

R

Здесь ψ(Q) и ψ(P ) — одна и та же функция, в которую подставлены разные аргументы.

Поскольку спектр гармонического осциллятора не вырожден, найденные нами собственные функции ψn(Q) являются также собственными для

ˆ

оператора F , и нам надо только установить, какие собственные числа им соответствуют. Для основного состояния ψ0 (12.31) f = 1, поскольку преобразование Фурье совпадает с самой функцией ψ0:

(Fˆψ0)(P ) =

iP Q e−

Q2

dQ =

1

e−

2

1

√

√4

√

2π

π

2π

R

R

=

1

1

((Q+iP )2+P 2)

e−

2

√

√4

2π

π

R

P

2

(Q+iP )2

P

2

− 2

e−

− 2

2

=

e

dQ =

e

√4

√

√4

π

2π

π

R

1			e−	1	2
				2	(Q	+2iP Q) dQ =
√4
	π

dQ =

= ψ0(P ).

Посмотрим теперь, как меняется f под действием повышающего оператора aˆ†. Выкладки эти проведем¨ двумя способами:

1. Проделаем выкладки, используя тождество (12.36) для операторов aˆ†

ˆ ˆ † ˆ−1 − † ˆ † − † ˆ

и F . Тождество F aˆ F = iaˆ можно переписать как F aˆ = iaˆ F , используя это, получаем:

ˆ † − † ˆ − † − †

F aˆ ψ = iaˆ F ψ = iaˆ f ψ = ( if )ˆa ψ.

346

ГЛАВА 12

2.Проделаем те же выкладки, представляя векторы состояния как функции4. Заменяя умножение на Q дифференцированием по P комплексной экспоненты и интегрируя по частям член, содержащий ∂Q∂ , полу-

чаем:

(Fˆaˆ†ψ)(P ) =

1

e−

iP Q

1

Q −

∂

ψ(Q) dQ =

√

√

∂Q

2π

2

R

=

1

∂

1

e−

iP Q

ψ(Q) dQ =

i

− iP

√

∂P

√

2π

2

R

− † ˆ − † − †

= ( iaˆ F ψ)(P ) = ( iaˆ f ψ)(P ) = ( if )(ˆa ψ)(P ).

Таким образом, под действием повышающего оператора f умножилось на −i, и мы получаем для собственных состояний осциллятора

ˆ	n	ψn.
F ψn = (−i)

Данная формула выявляет связь преобразований Фурье и временной эволюции гармонического осциллятора:

ˆ

−i

π n

−i

π ˆ

−i

π aˆ†aˆ

−

i

(Hˆ

−

¯hω )

π

n

¯h

F ψn = (−i)

ψn = e

ψn = e

ψn = e

ψn = e

ψn.

Поскольку это тождество выполняется для всех базисных векторов ψn, мы можем записать преобразование Фурье как оператор эволюции гармоничес-

кого осциллятора на время 2πω , т. е. 14 часть периода T0 = 2ωπ , при условии,

что в качестве нулевого уровня энергии принят уровень основного состояния E0 = ¯hω2 :

ˆ	−i	π	aˆ†aˆ	−	i	(Hˆ −E0)	T0
		2			¯h		4
F = e				= e

π

−

i

ˆ

π

1 + i ˆ

i

2

¯h H

2ω

= e

e

=

√

U π .

2

2ω

Сдвиг нулевого уровня энергии не несет¨ физического смысла и приводит

−i ω t

лишь к устранению фазового множителя e 2 . Таким образом, гармонический осциллятор каждые четверть периода подвергает сво¨е состояние преобразованию Фурье с точность до фазового множителя (который устраняется, если отсчитывать энергию от E0).

4По существу, это вывод тождества (12.36), т. е. частичное решение задачи, предложенной

всноске 3. Впрочем, внимательный читатель легко превратит это частичное решение в полное.

12.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГА ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА

347

12.5.3. Вращение фазовой плоскости

Описанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора соответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π2 . Рис. 12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должен допускать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой плоскости на произвольный угол α. И этой симметрии также должен соответствовать какой-то закон сохранения, позволяющий еще¨ более детально, чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осциллятора.

Однако в данном случае нас ждет¨ разочарование: эта симметрия опи-

ˆ

сывается оператором эволюции U α , а соответствующий закон сохране-

ω

ния — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящен¨ следующий раздел.

12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора

12.6.1. Интегрирование уравнения Гайзенберга

Рассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармонического осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора aˆ, согласно (5.20), мы можем написать полную производную по времени

daˆ		i	ˆ
dt	=	¯h	[H, aˆ] = −iωaˆ.	(12.37)

Для представления Гайзенберга полная производная по времени описывает просто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференциальное уравнение, и начальные условия (шредингеровские¨ операторы совпадают с гайзенберговскими в нулевой момент времени)

&

daˆг	= −iωaˆг,		aˆг(t) = e−iωt aˆш.	(12.38)
dt

aˆг(0) = aˆш

Полученный результат выглядит точно так же, как классическая эволюция гармонического осциллятора, изображенная¨ на рис. 12.1, с заменой координаты и импульса на операторы.

Через aˆг(t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координаты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классические

348 ГЛАВА 12

формулы эволюции гармонического осциллятора:

Qˆ

aˆг(t) + aˆ†(t)

= √2 e−

aˆш+e aˆш†

=

г(t) =

√2

г

iωt

1

iωt

= √2

e−

ˆ

ˆ

+ e

ˆ

√−2

ˆ

=

iωt

√2

1

Qш + iPш

iωt Qш

iPш

ˆ

ˆ

= cos(ωt) Qш

+ sin(ωt) Pш.

Формулу для импульса мы можем получить аналогично через aˆг и aˆ†г , а можем просто продифференцировать координату по обезразмеренному времени ωt:

	1		ˆ		i
ˆ			dQг			ˆ ˆ	ˆ	ˆ
Pг(t) =	ω		dt	=	¯hω	[H, Qг] = − sin(ωt) Qш + cos(ωt) Pш.

Таким образом, точно так же как в классике

ˆ	ˆ	ˆ
Qг(t) = cos(ωt) Qг(0) + sin(ωt) Pг(0),
ˆ	ˆ	ˆ

Pг(t) = − sin(ωt) Qг(0) + cos(ωt) Pг(0).

Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции (напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), то средние значения (т. е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совершенно классическим образом:

Qг(t) = cos(ωt) Qг(0) + sin(ωt) Pг(0) ,
Pг(t) = − sin(ωt) Qг(0) + cos(ωt) Pг(0) .	(12.39)

12.6.2. Роль эквидистантности уровней*

Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зрения и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюция описывается одной частотой ω.

Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в частности

| ˆ | | ˆ |

φш Aш ψш t = φг Aг ψг t.

Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементы имеют вид n − 1|aˆ|n . Стационарные шредингеровские¨ состояния эволю-

12.7. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА* 349

ционируют со временем как |nш(t) = e− h¯i Ent |nш(0) . Таким образом,

n − 1|aˆг(t)|n = (n − 1)ш|aˆш|nш t =

= e−i

En −En−1

t

−

1 aˆ

= e−iωt

−

1 aˆ

¯h

n

n

n

n

.

|

ш| 0

|

ш| 0

Поскольку для всех ненулевых матричных элементов оператора aˆг(t) эволюция описывается одним и тем же фазовым множителем e−iωt, мы можем записать для самого оператора

aˆг(t) = e−iωt aˆш.

Нам удалось это благодаря тому, что все ненулевые матричные элементы оператора aˆ берутся для состояний с одинаковой разностью энергий, т. е. благодаря тому, что aˆ спускает каждое стационарное состояние по лестнице энергий на одну и ту же величину ¯hω.

12.7.Когерентные состояния гармонического осциллятора*

Выше мы уже рассматривали когерентные состояния, обращающие со-

отношение неопределенностей¨	ˆ ˆ
	для пары операторов A, B в равенство (7.6).

ˆ ˆ

Такие состояния должны быть собственными для оператора вида iγA + B. Именно такой вид имеют операторы aˆ и aˆ† для гармонического осциллятора, поэтому их собственные состояния должны быть когерентными для пары наблюдаемых координата-импульс.

Легко видеть, что оператор aˆ† не имеет собственных состояний5. Состояния, удовлетворяющие условию

aˆ|ψz = z|ψz , z C, (12.40)

называются когерентными состояниями гармонического осциллятора. Такие состояния существуют для всех z и одно из таких состояний мы уже знаем — это основное состояние гармонического осциллятора |0 (см. (12.21)).

	ˆ			ˆ
Мы знаем, что aˆ =	Q + iP				, пусть аналогично
	√
		2
	z =		α + iβ					, α, β R.
					√
						2

5Попробуйте доказать это от противного, предположив, что aˆ†|ψ = Z|ψ , и разложив |ψ по базису состояний |n . (При каком минимальном n коэффициент разложения может быть отличен от нуля?)

350								ГЛАВА 12
Тогда уравнение (12.40) перепишется как
	ˆ		ˆ		α + iβ
	Q + iP								ˆ	ˆ
	√			|ψz =	√			|ψz	[(Q − α) + i(P		− β)]|ψz = 0.
		2			2

Таким образом, состояния |ψz с произвольным z C получаются из |0 сдвигом по координате на α и импульсу на β.

В координатном представлении получаем

ψz (Q) =	1			iβQ−	(Q−α)2
					2
	√4			· e		.
		π

Однако при вычислении средних по когерентному состоянию осциллятора можно обойтись без этой формулы, используя вместо этого уравне-

ˆ

ние (12.40). Это работает для любых операторов, выражающихся через Q

ˆ †

и P (а значит, выражающихся через aˆ и aˆ ).

Продемонстрируем это на примере вычисления средней энергии гармонического осциллятора в когерентном состоянии |ψz . В первую очередь надо записать оператор через aˆ и aˆ† так, чтобы в каждом слагаемом все операторы aˆ† были левее всех операторов aˆ (используя коммутатор [ˆa, aˆ†] = = 1 (12.8), для расстановки лестничных операторов в правильном поряд-

ке):6

¯hω

ψ

Hˆ

ψ

z

=

ψ

z |

(ˆa†aˆ + 1 )

ψ

z

.

z | |

2

2 |

После этого действуем всеми операторами aˆ налево, а всеми операторами aˆ† направо, используя (12.40) и эрмитово сопряженное¨ соотношение:

aˆ|ψz = z|ψz ,

ψz |aˆ† = ψz |z ,

ψ

Hˆ

|

ψ

z

=

ψ

z |

¯hω

(z z + 1 )

ψ

z

=

¯hω

( z 2

+ 1 ).

z |

2

2 |

2

| |

2

12.7.1. Временная эволюция когерентного состояния*

Для изучения временной эволюции когерентного состояния воспользуемся представлением Гайзенберга:

		ˆ
|ψz (t) = Ut|ψz ,
aˆ|ψz = z|ψz	ˆ	ˆ
	Utaˆ|ψz = Utz|ψz = z|ψz (t) .

6Это называется — нормальное упорядочение.

12.7. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА* 351

ˆ −1 ˆ −iωt

Мы знаем, что aˆг(t) = Ut aˆUt = e aˆ, поэтому

ˆ	ˆ		ˆ −1 ˆ				iωt
Utaˆ|ψz	= UtaˆUt				Ut|ψz		= aˆг(−t)|ψz (t) = e aˆ|ψz (t) .
					ψz (t)
		aˆг(−t)
Таким образом,					|
eiωtaˆ|ψz (t) = z|ψz (t)							aˆ|ψz (t) = e−iωtz|ψz (t) .

Мы получили, что исходное состояние |ψz эволюционировало за время t

в состояние	|ψz (t) , которое снова	оказалось собственным для оператора						aˆ	,
			iωt
но уже с собственным числом z(t) = e−				z. Средние значения координаты
и импульса (вещественная и мнимой части					√		z) зависят от времени так
						2

же, как для классического осциллятора, при этом дисперсии координаты и импульса остаются неизменными, т. е. волновой пакет осциллирует как целое, не расплываясь.

Мы получили временную эволюцию когерентного состояния с точностью до зависящего от времени фазового множителя. Точную временную эволюцию когерентного состояния мы можем легко получить, разложив его по базису чисел заполнения.

12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел заполнения**

Результаты данного подраздела можно получить более громоздким и прямолинейным путем,¨ подставляя в уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) волновую функцию, разложенную по |n и исследуя рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения7. Однако мы нашли полезным для любознательных студентов использовать более изощренный¨ подход (поставив на заголовок лишнюю звездочку)¨ .

Мы можем разложить произвольную волновую функцию по базисным

состояниям |n =

(ˆa†)n

|0 :

√

n!

∞

∞

(ˆa†)n

∞

cn

(ˆa†)n |0 = f (ˆa†)|0 .

|ψ = n=0 cn|n = n=0 cn

√

|0 =

n=0

√

n!

n!

Таким образом, волновая функция может быть представлена как результат действия на основное состояние |0 некоторой функции f от оператора aˆ†.

7Читатель может проделать эти вычисления в качестве упражнения.

352

ГЛАВА 12

Функция f задается¨ с помощью формального степенного ряда:

f (x) = ∞ √cn xn.

n=0 n!

Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением волновой функции |ψ . Вопрос о сходимости ряда, который задает¨ функцию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физического смысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следует требовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции:

ψ 2 = ∞ |cn|2 = ∞ 1 dnf (0) 2 . n! dxn

n=0 n=0

Производная здесь понимается как формальная производная ряда. Оператор aˆ† действует на волновую функцию, представленную как f (x)

путем¨ умножения на x, а оператор aˆ действует как ∂x∂ .8

Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) переписывается следующим образом:9

aˆ|ψz = z|ψz					df		= zf.
					dx
Решая это уравнение, находим:
f (x) = c · ezx		|ψz = c · ezaˆ† |0 .
zaˆ†			zn	n				zn
		∞					∞
|ψz = c · e	|0 = c		n! (ˆa†)			|0 = c		√		|n .
		n=0					n=0		n!
		∞	(z z)n				2
ψz = |c|2				= |c|2 e|z| .
		n=0	n!

Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состояние:

			−	|z|2		zaˆ†	|0 .		(12.41)
				2
		|ψz = e				· e
	8	Проверьте это. Предварительно выведите,				используя (12.8), следующую формулу:
	[ˆa, (ˆa†)n] = n(ˆa†)n−1. Мы можем также символически написать aˆ =							∂	. Для сравнения
								∂aˆ†
	см. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу».
	9	Мы также получаем еще¨ одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлет-

воряющих уравнению aˆ†|ψ = z|ψ , которое переписывается в виде x f (x) = z f (x).