Текст

ройства могут быть самыми различными: от обычных прокладок из де-

рева или резины до специальных стальных пружин (рис. 10.41).

5. Применение виброгасителей. Динамический виброгаситель пред-

ставляет собой дополнительно присоединённую массу (рис. 10.42), уп-

ругие связи которой и сама масса подобранные соответствующим обра-

зом, позволяют нейтрализовать колебания от возмущающей нагрузки. 6. Изменение режима работы машин. Понижение или повышение

числа оборотов ротора машины может привести к такому же эффекту,

как и повышение или, соответственно, уменьшение жёсткости конст-

рукции, т.е. к уменьшению динамического коэффициента.

Контрольные вопросы

1.Какие виды динамических нагрузок вы знаете?

2.Какие основные законы, сформулированные И. Ньютоном, лежат

воснове динамики?

3.Какие виды колебаний Вы знаете? Дайте их характеристики.

4.Какие методы описания колебательных процессов используются в динамике?

5.Сформулируйте принцип Даламбера.

6.Что называется степенью свободы масс?

7.Какие допущения при определении степени свободы масс обычно вводятся в инженерных расчетах?

8.На каких предпосылках и как может быть получено дифференци-

альное уравнение движения точечной массы с одной степенью свободы?

9.Дайте характеристику свободным затухающим и незатухающим колебаниям.

10.Дайте определения основным параметрам свободных колебаний

(круговой частоте, технической частоте, амплитуде, периоду) и запиши-

те их выражения.

451

11.Что такое коэффициент затухания колебаний?

12.Почему вибрационная динамическая нагрузка является опасной для сооружений?

13.Какие колебания называют вынужденными?

14.Какими параметрами характеризуются вынужденные колеба-

ния?

15.Что называется динамическим коэффициентом?

16.В каких случаях при определении динамических усилий и пе-

ремещений можно использовать динамический коэффициент?

17.Какое явление в динамике называют резонансом?

18.Какое явление называется ударом и результатом чего оно явля-

ется?

19.Что называется динамическим коэффициентом при ударе?

20.Как и в каких случаях определяется динамический коэффициент при ударе?

21.Сформулируйте допущения определения частот свободных ко-

лебаний в системах с несколькими степенями свободы. На основании какого принципа строительной механики определяется динамической перемещение любой сосредоточенной массы системы?

22.Какие колебания упругой системы называются главными?

23.Что называется главными формами колебаний?

24.Что называется спектром колебаний?

25.Как записывается уравнение частот для определения частот свободных колебаний в системах с несколькими степенями свободы?

26.Что называется амплитудным значением инерционной силы при действии вибрационной нагрузки, и как она определяется?

27.Какие уравнения необходимо составить для определения ам-

плитудных значений инерционных сил при действии вибрационной на-

грузки?

452

28.На основании какого принципа строительной механики опреде-

ляются максимальные динамические усилия и перемещения в системах с

несколькими степенями свободы при действии вибрационной нагрузки?

29.Как при действии вибрационной нагрузки определить динами-

ческие усилия и перемещения в любой момент времени?

30.Какие упрощения расчетов возможны при определении сво-

бодных колебаний, динамических усилий и перемещений в симметрич-

ных расчетных схемах?

31.Сформулируйте принципы статического и динамического мето-

дов расчета на сейсмические воздействия.

32.Перечислите основные способы защиты сооружений от вибра-

циоонных явлений.

453

Глава 11

ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ СООРУЖЕНИЙ

11.1. Основные положения

Системы, применяемые в качестве строительных конструкций долж-

ны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что если какие-либо случайные причины выведут систему из состояния рав-

новесия, то после удаления этих причин система должна вернуться в первоначальное положение.

Например, простая балка (рис. 11.1, а), загруженная поперечной на-

грузкой, находится в состоянии устойчивого равновесия, так как под действием нагрузки она прогибается во вполне определённом направле-

нии, на точно установленную величину, и, следовательно, принимает единственно возможное положение.

Теперь рассмотрим длинную гибкую стойку (рис. 11.1, б), один кото-

рой заделан, а к другому, совершенно свободному, приложена сжи-

мающая сила. Такая стойка не всегда будет находиться в устойчивом равновесии. При малой величине нагрузки она остаётся прямой и испы-

тывает простое сжатие, но при постепенном увеличении нагрузки на-

ступит момент, когда прямолинейная форма станет неустойчивой, и

появится возможность искривления стойки причем в любую из двух сторон в плоскости наименьшей жёсткости. В этом случае к действую-

щим напряжениям сжатия в сечениях стойки добавятся напряжения от изгиба. Описанный случай называют продольным изгибом, т.е. изгибом,

вызванным продольной силой, действующей вдоль оси стержня, при ко-

тором происходит качественное изменение напряжённо-

деформированного состояния центрально сжатого стержня при дости-

жении нагрузки какой-то определённой величины.

454

Таким образом, при заданной схеме сооружения и заданной схеме на-

грузки устойчивость равновесного состояния зависит от величины на-

грузки. Для каждой конкретной расчётной схемы можно найти такую нагрузку, при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой и возможно другое, качественно новое деформированное состояния, тоже являющееся состоянием равновесия.

Например, на рис. 11.2, а – в показаны расчётные схемы соответст-

венно кольца, параболической арки и рамы, сечения которых при ука-

занной нагрузке испытывают напряжения центрального сжатия, но при достижении нагрузками величин, обычно называемых критическими (qcr

или Fcr), появляется новая изогнутая форма равновесия.

Выход системы из первоначального состояния равновесия называется

потерей устойчивости, а нагрузка, при небольшом превышении кото-

рой возможно осуществление новой устойчивой формы равновесия, –

критической нагрузкой.

Явление потери устойчивости в строительных конструкциях опасно тем, что изменение их напряжённо-деформированного состояния приво-

дит к многократному увеличению напряжений в сечениях элементов расчётной схемы. Кроме того, сам процесс потери устойчивости проис-

ходит очень быстро (во многих случаях мгновенно). Оба этих фактора практически приводят разрушению сооружения. В мировой строитель-

ной практике известно достаточное число катастроф крупных инженер-

ных сооружений, происшедших в результате потери устойчивости.

Первые исследования потери устойчивости сжатых упругих стержней были выполнены Л. Эйлером (1744 г.).

Построение математической модели при решении задач устойчивости значительно сложнее, чем при решении задач прочности, поэтому при выборе расчётной схемы для одиночных стержней и рам вводятся до-

полнительные допущения, практически приводящие все реальные зада-

455

чи к идеализированным, но позволяющие описать получение решения на

основе достаточно простой математической модели.

1.Полагают, что расчётная схема образована из идеально прямых стержней;

2.Считают, что стержни расчётной схемы до момента потери устой-

чивости испытывают только продольные деформации;

3.В момент потери устойчивости для сплошных стержней учиты-

ваются только деформации изгиба, т.е. как и при решении задач прочно-

сти, влиянием продольных и поперечных деформаций пренебрегают; 4. Предполагают, что критическое состояние конструкции при дей-

ствии нескольких сжимающих сил достигается путём одновременного их возрастания с сохранением постоянного соотношения между ними;

5. Рассматривают потерю устойчивости при бесконечно малых де-

формациях, что позволяет использовать при решении задач известное из курса сопротивления материалов приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

′′	M (x)	.	(11.1)
y (x) = −

EI

Общеприняты и часто встречаются статический, энергетический и динамический критерии устойчивости. Однако в данной книге будет ис-

пользован в основном первый критерий, позволяющий решать задачи устойчивости консервативных систем, т.е. систем, в которых работа,

совершаемая внешними силами, не зависит от пути, проделываемого силами при переходе из начального состояния расчётной схемы в конеч-

ное (как и при решении задач прочности). Пример консервативных сис-

тем показан на рис. 11.1, б и 11.2, где направление приложенных нагру-

зок не меняется при потере устойчивости.

При использовании статического критерия устойчивости предполага-

ется , что система после потери устойчивости занимает новое равновес-

ное состояние, качественно отличное от первоначального, а следова-

456

тельно, в равновесии находится и любой бесконечно малый элемент этой системы. Записав дифференциальные уравнения равновесия беско-

нечно малого элемента в деформированном состоянии под действием внутренних и внешних сил и проинтегрировав эти уравнения, можно найти форму потери устойчивости и критическую нагрузку

11.2. Устойчивость центрально сжатых прямолинейных стержней

Постановка задач устойчивости прямолинейных стержней зависит от степени свободы рассматриваемой расчётной схемы. В данном случае под степенью свободы будем понимать число независимых параметров

W, полностью определяющих возможные перемещения всех точек рас-

чётной схемы.

Устойчивость стержней очень большой жёсткости, когда для упро-

щения расчёта можно считать EI→ ∞, определяется податливостью опорных связей, Например, для стойки с упругой опорой, изображённой

на рис. 11.3, а, степень	свободы W = 1, так как её положение определя-
ется одним параметром –	углом поворота α вокруг нижней неподвижной

опоры. Степень свободы стойки из трёх звеньев (рис. 11.3, б) W = 2, так как положение всех трёх звеньев может быть определено при помощи двух параметров – линейных перемещений шарниров А и В.

Для реальных упругих систем (рис. 11.3, в) степень свободы W = ∞,

так как, чтобы полностью определить её деформированную схему, необ-

ходимо знать перемещения всех точек.

Критическую нагрузку расчетных схем, состоящих из стержней большой жёсткости, находят, составляя уравнения равновесия для пред-

полагаемой формы потери устойчивости.

Покажем это на конкретных примерах.

457

Пример 11.1. Требуется определить критическую силу для абсолют-

но жёсткой стойки (рис. 11.4, а), имеющей одну упругоподатливую опору (пружину) с коэффициентом жёсткости r.

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости. Стойка имеет одну степень свободы, так как её положение определяется воз-

можным поворотом вокруг шарнирно неподвижной опоры А. Зададим этот поворот (рис. 11.4, б) и обозначим величину смещения точки при-

ложения сжимающей силы – δ.

2. Рассмотрим равновесное состояние полученной формы потери ус-

тойчивости (рис. 11.4, в), в котором реакция упругоподатливой опоры

R = r δ.

3. Для данного равновесного состояния составим уравнение равнове-

сия таким образом, чтобы в него входили известные величины и сила

Fcr. Таким уравнением является

∑МА = 0; − Fcr·δ + R·l = − Fcr·δ + r δ ·l = 0, откуда Fcr = rl.

Пример 11.2. Требуется определить критическую силу и форму по-

тери устойчивости для стойки (рис. 11.5, а), состоящей из трёх абсолют-

но жёстких звеньев и имеющей две упругоподатливых опоры (пружин)

с одинаковыми коэффициентами жёсткости r. Стойка имеет горизон-

тальную ось симметрии, проходящую через центр звена CD.

Решение. 1. Зададим возможную форму потери устойчивости. Стойка имеет две степени свободы, так как её положение определяется возмож-

ными поворотами звеньев AC и DB соответственно вокруг опор А и B.

Зададим эти повороты (рис. 11.5, б) и обозначим величины смещений упругоподатливых опор как δ1 и δ2.

2. Рассмотрим равновесное состояние выбранной возможной формы потери устойчивости (рис. 11.5, в), в котором реакции упругоподатли-

вых опор будут R1 = r δ1 и R2 = r δ2.

458

3. Для определения критической силы составим следующие уравне-

ния равновесия:

	∑ M Dверх = 0;	Fcr·2δ2 + R2·l + HB·2l = 0;	(а)
	∑ MCверх = 0;	Fcr·2δ1 + R2·2l + HB·3l = 0.	(б)
Реакцию HB	выразим через значения R1 и R2 из уравнения равновесия
∑МА = 0;	HB·5l + R1·l + R2·4l = 0, HB = − 0,2( R1 + 4R2),

подставим ее в уравнения (а) и (б) и после несложной группировки ве-

личин относительно δ1 и δ2, получим:

− 0,4 rl·δ1 + (2Fcr − 0,6 rl) δ2 = 0,

(в)

(2Fcr − 0,6 rl) δ1− 0,4 rl· δ2 = 0.

Полученная система уравнений (в) является однородной и может иметь нулевое решение при δ1= δ2= 0, что соответствует первоначально-

му равновесному состоянию (см. рис. 11.5, а). Ненулевое решение она будет иметь, если нулю будет равен определитель, составленный из ко-

эффициентов при неизвестных δ1 и δ2:

D =		−0,4rl	(2Fcr −0,6rl)		= 0.
		(2Fcr −0,6rl)	−0,4rl
Раскрывая определитель, получим
		(0,4rl)2 − (2 Fcr − 0,6 rl)2 = 0,

откуда найдем два значения критической силы: Fcr(1) = 0,1rl и Fcr(2) = 0,5rl.

4. Формы потери устойчивости для каждой полученной критической силы определим, подставив их значения в одно из уравнений системы

(в).
При	F(1)	= 0,1rl	имеем: − 0,4 rl·δ + (0,2rl − 0,6	rl) δ = 0,	откуда δ =
	cr		1	2	1
− δ2.
При	F(2)	= 0,5rl	имеем: − 0,4 rl·δ + (rl − 0,6 rl) δ = 0, откуда δ = δ .
	cr		1	2	1 2

Формы потери устойчивости, соответствующие полученным значе-

ниям критических сил, показаны на рис. 11.6, т.е. для рассматриваемой симметричной расчётной схемы мы получим две формы потери устой-

459

чивости: кососимметричную (рис. 11. 6, а) и симметричную (рис. 11. 6,

б), причём наиболее опасной является первая форма, для которой значе-

ние критической силы меньше.

Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: в

расчётных схемах, в которых центральному сжатию подвергаются абсо-

лютно жёсткие стержни, порядок системы уравнений, составленных для определения критических сил, равен числу степеней свободы.

При решении задач с бесконечным числом степеней свободы, интег-

рируя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня после поте-

ри устойчивости, получаем бесконечное множество возможных форм потери устойчивости и соответствующих им критических сил, из сово-

купности которых для практических целей необходимо знать минималь-

ную.

В литературе данный метод использования статического критерия обычно называют методом непосредственного интегрирования диффе-

ренциального уравнения изогнутой оси стержня. Обеспечивая совокуп-

ность решений, данный метод при принятых допущениях является точ-

ным способом расчёта на устойчивость. Его преимуществом является наиболее чёткое выявление физической сущности рассматриваемого яв-

ления, недостатком – громоздкость получаемых уравнений при исследо-

вании расчётных схем, состоящих из нескольких стержней.

Рассмотрим применение метода непосредственного интегрирования на классической задаче Л. Эйлера – потере устойчивости шарнирно опёртого стержня (рис. 11.7, а). Зададим для такого стержня наиболее простую возможную форму потери устойчивости (рис. 11.7, б) и рас-

смотрим её равновесное состояние (рис. 11.7, в). Из уравнений равнове-

сия легко показать, что в данной форме равновесия горизонтальные опорные реакции в точках А и В равны нулю. Рассмотрим произвольное сечение стержня с координатами x и y, для которого из равновесия верх-

460