Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

41

42

43

Пример расчета

Рассмотрим схему, представленную на рис. 1.57, с параметрами:

L1 = 0,1 Гн,

C1 = 10 мкФ, С2 = 3,33 мкФ,

L3 = 75 мГн,

а активные сопротивления

R4 = 100 Ом, R5 = 200 Ом.

Источники энергии:

j(t) =5 + 2sin(1000t + 45o) −

−0,1 2 sin 2000t, A

e(t) =300 + 400sin(1000t −45o) +

+10 2 sin 2000t, B.

Расчет токов ветвей Расчет постоянной составляющей (рис. 1.58) с учетом того,

что XL(0) = 0, XC(0) = ∞.

Токи первой и второй ветви равны нулю, ток третьей, четвертой и пятой ветвей определяется по закону Ома:

I3(0)	= I4(0)	= I5(0)	=	E(0)		=		300	= 1	А .
				R4	+ R5		100 + 200

44

Напряжение на участке a – b также определяется по закону Ома,

Uab(0) = I4(0) R4 =1 100 =100 В.

Баланс мощности для основной гармоники:

I4(0)2 (R4 + R5 ) = E(0) I5(0) ,

	a
I3(0)	R5	I5(0)

I4(0)	R4
	E(0)

b

12 (100 + 200) = 300 1,

Рис. 1.58

300 Вт = 300 Вт.

Таким образом, активная мощность P(0) = 300 Вт, реактивная

мощность Q(0) = 0 ВАр.

Расчет первой (основной) гармоники. Определим параметры схемы для частоты ω1 =1000 радс:

X L1 (1)	= ω1L1				=1000 0,1 =100 Ом,
X C1 (1)	=	1			=		1			=100 Ом,
		ω C					103 10 10−6
		1	1
X L (1)	= ω1L3				=1000 75 10−3					= 75 Ом,
3
X C2 (1)	=	1				=	1				= 300 Ом.
		ω C		2				103 3,33 10−6
		1

Источник тока и напряжения на первой гармонике имеют задающие воздействия

J&(1)	=	2	e j 45o =1 + j А, E&(1)	=	400	e− j 45o = 200 − j200 В.
	2			2

На последовательном участке X L1 (1) − X C1 (1) наблюдается резонанс

напряжений. Следовательно, Z1(1) = 0, U&ab(1) =U&cb(1) = −U&J (1) . Определим методом двух узлов напряжение между точками a

и b (см. рис. 1.57), для чего потенциал т. b примем равным нулю

( ϕ&b = 0 ):

45

−J&(1) +

E&

(1)

U&ab(1) =

R5

,

1

+

1

Z 234(1)

R5

где

Z

=

jX L3(1) (− jX C2 (1) )

+ R =

j75 (− j300)

+100

=100 + j100 =

234(1)

jX L

− jX C

4

j

(75

−300)

2 (1)

3(1)

=100

2e− j 45o

Oм.

Тогда

U&ab(1)

=

−1 − j +1 − j

=80 − j160 =178,886e− j 63,435o В.

1

+ 0,005

100 + j100

По закону Ома

I&4(1)

=

U&ab(1)

=

80 − j160

= −0, 4 − j1, 2 =1, 265e− j108,435o A.

Z 234(1)

100 + j100

По формуле токов в параллельных ветвях

I&

= I&

jХL

o

j75

3(1)

=1, 265e− j108,435

=

jХL

− jХC

2(1)

4(1)

2 (1)

j(75 −300)

3(1)

=1, 265e− j108,435o

(−

1

) = 0,133 + j0, 4 = 0, 422e j 71,565o A.

3

По 1-му закону Кирхгофа

I&3(1) = I&4(1) − I&2(1)

= −0, 4 − j1, 2 −0,133 − j0, 4 = −0,533 − j1,6 =

=1,686e− j108,435o A.

Ток I&5(1) можно определить по обобщенному закону Ома:

I&5(1)

=

−U&ab(1)

+ E&(1)

=

−80

+ j160 + 200 − j

200

= 0,6

− j0, 2 =

R5

200

= 0,633e− j18,435o A

46

или по 1-му закону Кирхгофа

I&5(1)

= J&(1)

+ I&4(1)

=1 + j −0, 4 − j1, 2 = 0, 6 − j0, 2

A.

Баланс мощности для основной гармоники:

S%

=U&

*

*

J (1)

J (1) + E&

I 5(1) =

ист(1)

5(1)

= (−80 +160 j) (1 − j) + (200 − j200) (0, 6 + j0, 2) = 240 + j160 ВА,

S%E (1)

= PE (1) + jQE (1)

=80 + j240 ВА, S%J (1) = PJ (1)

+ jQJ (1) =160 − j80 ВА.

S%

= P

+ jQ

(1)

,

потр(1)

потр(1)

потр

P

= I

2 R

+ I 2

R

= (1, 265)2 100 + (0, 633)2 200 = 240 Вт,

потр(1)

4(1)

4

5(1) 5

Q

= −I 2

X

C 2 (1)

+ I 2

X

L 3 (1)

+ J 2 ( X

L 1 (1)

− X

C 1 (1)

) =160, 0008 ВАр.

потр(1)

2(1)

3(1)

(1)

Расчет второй гармоники. Определим параметры схемы для

частоты ω2

= 2ω1 = 2000 рад с:

E&(2)

=10 В, J&(2)

= 0,1e jπ = −0,1 A,

X L1 (2)

= 2 X L1 (1)

= 200 Ом,

X С1 (2)

=

X С1 (1)

= 50 Ом,

2

X L3 (2)

= 2 X L3 (1)

=150 Ом,

X С3 (2)

=

X С3 (1)

=150 Ом.

2

На параллельном участке X L3 (2) − X С3 (2)

наблюдается резонанс то-

ков. Следовательно,

Z 23 = ∞ и U&ad =U&ab , I&4(2) = 0, I&5(2) = J&(2) = −0,1 A.

Определим по 2-му закону Кирхгофа напряжение:

U&ab(2)

=U&ad (2) = E&(2)

− I&5(2) R5 =10 + 0,1 200 = 30 В.

По закону Ома

I&

=

U&ab(2)

=

30

= j0, 2 = 0, 2e j 90o A ,

− jX C (2)

2(2)

− j150

2

а ток

I&3(2) = −I&2(2) = − j0, 2 = 0, 2e− j 90o A .

47

Определим напряжение на источнике тока по обобщенному закону Ома:

ϕ&	= ϕ&	a	− J&	(2)	( jX	L (2)	− jX	C (2)	) +U&	J (2)	,
b
						1		1
U&J (2) = −U&ab + J&(2) ( jX L (2)								− jX C (2) ) = −30 − j15 = 33,541e− j153,435o В.
							1		1

Определим баланс мощности для второй гармоники. Мощность источников:

S%

=U&

*

*

J (2) + E&

I 5(2) = (−30 − j15) (−0,1) +10 (−0,1) = 2 + j1,5 ВА,

ист(2)

J (2)

5(2)

S%E (2)

= −1 ВА, S%J (2) =3 + j1,5 ВА.

Мощность потребителей:

S%

= P

+ jQ

,

потр(2)

потр(2)

потр(2)

P

= I 2

R

+ I 2

R

= 0 + (0,1)2

200 = 2 Вт,

потр(2)

4(2)

4

5(2)

5

Q

= −I 2

X

C 2 (2)

+ I

2

X

L 3 (2)

+ J 2 ( X

L 1 (2)

− X

C

1 (2)

) =1,5 ВАр.

потр(2)

2(2)

3(2)

(2)

Определение мгновенных значений токов и напряжений

i (t) = 0, 422

2 sin(1000t + 71,565o) + 0, 2

2 sin(2000t +90o),

2

i (t) =1 +1,686

2 sin(1000t −108, 435o) + 0, 2

2 sin(2000t −90o),

3

i (t) =1 +1, 265

2 sin(1000t −108, 435o),

4

i (t) =1 + 0,633

2 sin(1000t −18, 435o) −0,1

2 sin 2000t,

5

uab (t) =100 +178,886

2 sin(1000t −63, 435o ) +30

2 sin 2000t,

uJ (t) =178,886

2 sin(1000t −63, 435o ) +33,541 2 sin(2000t −153, 435o ).

48

2. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Четырехполюсником называют сколь угодно сложную электрическую цепь, имеющую четыре внешних зажима, через которые она может взаимодействовать с внешними цепями. Трансформатор, фильтр, линию электропередачи, мостовую схему и т.д. можно рассматривать как четырехполюсник.

Теория четырехполюсников позволяет устанавливать связи между напряжениями, токами двух ветвей, подключенных к четырем зажимам сколь угодно сложной цепи, без исследования режимов работы ее отдельных участков.

Суть теории заключается в следующем:

1.Пользуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника, можно определять напряжения и токи на его входе

ивыходе, не рассматривая процессы, происходящие внутри четырехполюсника.

2.Сложная электрическая цепь может быть рассмотрена как совокупность объединенных по определенной схеме простейших четырехполюсников. Теория четырехполюсников позволяет рассчитать параметры такого составного четырехполюсника при помощи параметров входящих в него четырехполюсников.

3.Получаемые таким образом значения электрических величин на входе и выходе позволяют оценить режим работы канала передачи в целом. При этом обобщенные параметры четырехполюсника позволяют сопоставить и правильно оценить передающие

свойства электрических цепей, различных по своим свойствам

иструктуре.

4.Теория четырехполюсников позволяет находить структуру

иэлементы четырехполюсника по заданным характеристикам, т.е. решать задачу синтеза.

49

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Четырехполюсники классифицируются по разным признакам. Они могут быть активными и пассивными, симметричными и несимметричными, линейными и нелинейными, обратимыми и необратимыми, эквивалентными и неэквивалентными.

Активные четырехполюсники – это четырехполюсники, которые содержат ветви с нескомпенсированными источниками энергии, при этом напряжение на разомкнутых зажимах не равно нулю. Пассивные четырехполюсники либо не содержат источников энергии, либо, если они есть, то суммарное их действие взаимно компенсируется внутри четырехполюсника таким образом, что напряжение на входных и выходных зажимах равно нулю. Примерами пассивных четырехполюсников являются трансформатор, электрический фильтр, мостовая схема. В дальнейшем рассматривается теория пассивных четырехполюсников, так как активный четырехполюсник может быть заменен эквивалентным ему пассивным четырехполюсником и вынесенным за его зажимы эквивалентным источником ЭДС.

Если четырехполюсник симметричный, то перемена мест подключения входных и выходных зажимов не изменит токораспределения во внешней цепи.

В линейных четырехполюсниках связь между токами и напряжениями имеет линейную зависимость. В таких четырехполюсниках нелинейные элементы (вольт-амперные характеристики их имеют нелинейный характер) отсутствуют.

Обратимые четырехполюсники – это такие четырехполюсники, для которых справедлив принцип взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какая пара зажимов выбрана в качестве входных.

Эквивалентные четырехполюсники – это такие четырехполюсники, при взаимной замене которых входные и выходные токи и напряжения не изменятся. Четырехполюсники также подразделяются по схемам соединения входящих в них элементов: Т-, П-, Г-образные,

мостовые и др.

50