Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

Ваттметр показывает активную мощность, потребляемую цепью и равную сумме активных мощностей, выделяемых каждой гармоникой тока в отдельности:

ваттметр W

P = P(1) + P(3) + P(5) =U(1) I(1) cos ϕ(1) +U(3) I(3) cos ϕ(3) +

	+U(5) I(5)		cos ϕ(5)		=	310	1, 23		cos(−85o ) +	77,5 3,88	cos 0o +
		40 0,39			2		2			2 2
	+			cos 79o =167, 4				Вт.
		2	2

5. Определение мощности искажения.

В соответствии с (1.26) для определения мощности искажения необходимо определить полную S, активную P и реактивную Q мощности.

Полная мощность

S =UI =

U(1)2

+U(3)2

+U(5)2

I(1)2 + I(3)2

+ I(5)2

= 228 2,9 = 661, 2 ВА;

активная мощность P =167, 4 Вт;

реактивная мощность

Q =Q +Q +Q = I 2

( X

− X

C (1)

) + I 2 ( X

L(3)

− X

C (3)

) +

(1)

(3)

(5)

(1)

L

(1)

(3)

2

1,23

2

3,88 2

+I(5)

( X L(5) − XC (5) ) =

(31,4

−283) +

(94,2 −94,2) +

2

2

0,39 2

(157 −57) =182,72 вар.

+

2

Мощность искажения

T =

S 2 − P2 −Q2 =

661, 22 −167, 42 −182,722

= 613 ВА.

Задача 2.

Дано: в цепи (рис. 1.9) действуют два источника: e1 (t) = 60 +30sin(ωt +30o ) + 60sin 2ωt В, e2 (t) = 30

параметры цепи: R1 = 60 Ом, ωL2 = 30 Ом, ωL3 =10 Ом,

В;

1 =40 Ом.

ωC3

31

Найти: показания измерительных приборов.

Решение.

Расчет цепи (см. рис. 1.9) осуществляется для каждой гармоники в отдельности.

1. Расчет постоянной составляющей (нулевой гармоники).

Для постоянной составляющей индуктивность имеет нулевое сопротивление, а емкость – бесконечно большое (рис. 1.10). С учетом сказанного цепь стала одноконтурной, ток и напряжение определяются по закону Ома:

	I1(0)	= I2(0)	=	E1(0) − E2(0)	=	60 −	30	= 0,5	А;
				R1		60
			UC (0) = E2(0)		= 30 В;

активная мощность

P(0) = E1(0) I1(0) = 60 0,5 = 30 Вт.

2. Расчет первой (основной) гармоники.

Расчетная схема для первой гармоники приведена на рис. 1.11, на схеме цифры указывают сопротивления элементов в Омах, источник e2 (t) на схеме отсутствует (заменен короткозамкнутым участ-

ком), т.к. этот источник содержит только постоянную составляющую. Комплексное действующее значение ЭДС первого источника

на первой гармонике E&1(1) = 30 e j 30o В. Поскольку по условию зада- 2

32

чи необходимо определить показания приборов, то для дальнейших расчетов будем использовать действующее значение ЭДС источника

E1(1) = 30 В.

2

Сопротивление третьей ветви

Z 3(1) = jX L3(1) − jX C3(1) = j10 − j40 = − j30 Ом,

сопротивление второй ветви

Z 2(1) = jX L2 (1) = j30 Ом.

Очевидно, что во второй и третьей ветвях наблюдается резонанс токов, при этом входное сопротивление идеального параллель-

ного контура	(фильтр-пробки) равно нулю.							Поэтому I1(1) = 0 А;
P(1) = 0 Вт. Все	входное		напряжение				приложено к параллельному
контуру:
UC (1) =		E1(1)		X C	=		30	40 =	40	В.
	X L						2 (40 −10)
			3(1)					2
		− X C
	3(1)		3(1)

3. Расчет второй гармоники.

Расчетная схема для второй гармоники имеет такой же вид, как и для первой гармоники (рис. 1.12), но необходимо определить новые значения реактивных элементов, помня о том, что индуктивное сопро-

33

тивление возрастет в два раза, а емкостное сопротивление уменьшится в два раза. Новые значения сопротивлений указаны в омах на схеме (см. рис. 1.12). В третьей ветви наблюдается резонанс напряжений, и сопротивление этой ветви будет равно нулю, следовательно, входное сопротивление цепи

Z(3) = R1 = 60 Ом.

Тогда

	I1(2)		= I3(2)		=		E1(2)			=				60				=		1							А;
														2 60									2
								R1
				2					60					1						1				2
P(2) = E1(2) I1(2)			=	I1(2)	R1			=							=												60 = 30 Вт;
											2			2
																						2
			UC (2) = I3(2) X C											=		20			В.
													3( 2 )					2
Показания приборов
		2		2				2									2						1				2
амперметра А	I1 =	I1(0)		+ I1(1)		+ I1(2)					=			0,5				+											= 0,866 А;
																							2
				2				2						2											2					40 2		20		2
вольтметра V	UC =		UC (0)			+ UC (1)					+ UC (2)						=			30							+					+			=
																														2		2
= 43, 6 В;
ваттметра W P = P(1)		+ P(2) + P(3)						= 30 + 30 = 60 Вт.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.При каких условиях ток, равный сумме двух периодических токов, является непериодическим?

2.Верно ли утверждение:

а) комплексное значение тока I&ветви является суммой комплексных значений гармоник тока I&(1) , I&(2) , I&(3) ,K этой ветви;

34

б) действующее значение тока ветви является суммой действующих значений гармоник тока этой ветви;

в) мгновенное значение тока ветви является суммой мгновенных значений гармоник тока этой ветви;

г) символическое изображение тока ветви является суммой символических изображений гармоник тока этой ветви;

д) баланс мощности цепи негармонического тока определяется по формуле S%ист = S%потр ;

е) в цепях с источниками негармонических воздействий всегда полная мощность S ≠ P2 +Q2 ;

ж) для цепи, содержащей последовательно соединенные резистор и емкость (индуктивность), активная мощность определяется по форму-

ле P =UI cos ϕ, если входное напряжение u(t) =U0 + 2U sin ωt ;

з) для несинусоидальных периодических напряжений

Um U = 2 ?

3. Задан ток i(t) = 4 +30 2 sin ωt +5 2 sin 3ωt , А. Определить,

во сколько раз амплитуда первой гармоники напряжения на потребителе больше амплитуды третьей гармоники, если в качестве потребителя используется:

а) идеальная индуктивность; б) идеальная емкость.

4. Последовательно соединенные резистор и индуктивность имеют одинаковые сопротивления ( R = ωL ). На каком из элементов действующее значение несинусоидального напряжения больше, если входное несинусоидальное напряжение:

а) не содержит постоянной составляющей; б) содержит постоянную составляющую?

Изменится ли ответ, если вместо индуктивности включить конденсатор?

5. Параллельно соединенные резистор и индуктивность имеют одинаковые проводимости ( G =1ωL ). Действующее значение како-

го тока ( IR или IL ) больше, если напряжение на входе цепи несину-

35

соидально и не содержит постоянной составляющей? Изменится ли ответ, если вместо индуктивности включить конденсатор?

6.Ток ветви электрической цепи содержит постоянную составляющую и три первые нечетные гармоники. Как изменится действующее значение тока, если:

а) начальную фазу первой гармоники изменить на 180° , 90° ; б) изменить период тока?

7.К цепи с последовательно соединенными RLC-элементами

приложено напряжение u(t) =U0 + 2U sin ωt . При какой частоте ω

активная мощность в цепи имеет: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?

8.Какая из гармоник будет наиболее ярко выражена (иметь набольшую амплитуду) в кривой тока электрической цепи, подключенной к источнику несинусоидальной ЭДС, содержащей первую, вторую и третью гармоники, если цепь содержит:

а) идеальную емкость; б) идеальную индуктивность;

в) реальную катушку индуктивности?

9.К цепи (рис. 1.13) приложено напряжение, содержащее первую и вторую гармоники, амплитуды этих гармоник равны между

собой. Действующие значения токов первой	гармоники:	I1 = 1 А,
I2 = 8 А, I3 = 2 А, I4 = 4 А. Определить действующее значение напря-
жения на источнике ЭДС.
R1	L	R2

R1	L	R2
e(t)
i1	i2	i3
Рис. 1.13

C	e(t)						C
i4
				Рис. 1.14

10. В цепи (рис. 1.14) ток содержит первую и третью гармоники. Амплитуда тока третьей гармоники в два раза меньше амплитуды тока первой гармоники. Действующие значения напряжений первой гармо-

36

ники: U R1 = 40 В, U L =10 В, U R2 = 20 В, UC =90 В. Определить дейст-

вующее значение напряжения на источнике ЭДС.

11. Параметры цепи (рис. 1.15): R1 =50 Ом, L = 2 мГн, частота основной гармоники ω=5000 рад/с. Подобрать емкости С1 и С2 так, чтобы цепь была настроена в резонанс напряжений для основной гармоники и не пропускала ток третьей гармоники.

12. Цепь (рис. 1.16) подключена к источнику периодического негармонического напряжения u(t) =100 +100 2 sin ωt +50 2 sin 2ωt В; параметры цепи: R2 = ωL1 =1 ωC1 =1 ωC2 . Определить полную мощностьикоэффициент мощности.

13. Цепь (см. рис. 1.17) подключена к источнику периодического негармонического напряжения u(t) =100 +100 2 sin1000t В; пара-

метры цепи: R = 100 Ом; С = 10 мкФ; L = 0,1 Гн. Определить показания измерительных приборов.

14. Цепь (рис. 1.18) подключена к источнику негармонического напряжения u(t) =100 + 200 2 sin(103 t + 45o) +100sin 2 103 t В; пара-

метры цепи: R = 200/3 Ом, С1 = 10 мкФ, С2 = 5 мкФ. Подобрать L1 и L2 так, чтобы на участке L1 – С1 на первой гармонике был резонанс напряжений, а на участке L2 – С2 резонанс токов на второй гармонике; определить показания измерительных приборов, мощность искажения.

15. Цепь (рис. 1.19) подключена к источнику негармонического напряжения u(t) = 42 +15 2 sin(100t +30o) +6 2 sin(200t +60o) В; па-

раметры цепи: R0 = 200 Ом, R1 = R2 = 100 Ом, С2 = 10 мкФ, L1 = 0,1 Гн.

37

Определить показания измерительных приборов, мгновенное значение uab (t) .

16. Цепь (рис. 1.20) подключена к источнику негармонического напряжения u(t) = 9sin ωt + 6 cos 2ωt В; параметры цепи: R1 = 3 Ом,

на первой гармонике X C1(1) = 4 Ом, X L2 (1) = 3 Ом, X C3(1) =12 Ом. Определить мгновенные значения токов всех ветвей и напряжения uab (t) .

R0

a

R1 C1

a

L1	C2	u(t)	L2	C3
u(t)
	R2	V
R1				b
A	b
			Рис. 1.20
	Рис. 1.19

17. К двухполюснику приложено периодическое негармониче-

ское напряжение u(t) =1 +8sin ωt + 4sin(2ωt + 75o) + 4sin(3ωt +15o) В,

под действием которого протекает периодический негармонический ток i(t) =10 +10 2 sin(ωt + 45o) +5 2 sin(2ωt +30o) А. Определить ак-

тивную, реактивную, полную мощности и мощность искажения.

38

1.7. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Задание

1.По номеру варианта вычертить схему, подлежащую расчету,

ивычислить параметры элементов цепи.

2.Найти мгновенные и действующие значения токов в ветвях.

3.Составить баланс активных мощностей.

4.Определить мгновенное напряжение между точками a и b, вычертить график его изменения во времени.

Выбор варианта

Расчетная цепь выбирается из 35 схем, приведенных на рис. 1.21–1.56.

Выбор варианта производится по последним двум цифрам зачетной книжки или задается преподавателем по его усмотрению.

Параметры цепи выбираются следующим образом:

e1 (t) = 5 (−1)n (M +1) + 20 (−1)(n+1) M sin1000t + +6 (M + 0,5)sin 3000t, B,

e2 (t) = 3 (−1)(n+1) (M +1) + 22 (M + 2)sin1000t + +10 (−1)n (M +1,5) sin 3000t, B,

j(t) = (−1)n M +5 (−1)n (M −1)sin1000t +

+2 (M +1)sin 3000t, A,

R1 = R2 = R3 = 20 Ом,

X L1 = 0,1 (100 + N + M ) Ом,

X C1 = 0,3 (100 + N − M ) Ом,

X L2 = 0,15 (100 + N − M ) Ом,

X C2 = 0, 45 (100 + N + M ) Ом,

39

X L3 = 0, 2 (100 + N + M ) Ом, X C3 = 60 Ом,

где n – номер варианта, M выбирается согласно табл. 1.1.

Таблица 1 . 1

	Форма				Значение M для потоков
	обучения	АСУ	АТ	АТП	АЭП	КРЭС	КТЭИ	ТК	ЭС	АТПП
	Очная	1	4	7	1,2	4,2	7,2	1,4	4,4	1,4
	Заочная	2	5	8	2,2	5,2	8,2	2,4	5,4	8,4
	Ускорен-	3	6	9	3,2	6,2	9,2	3,4	6,4	9,4
	ная

40