Кузнецовой Теория электрических цепей часть 2

2.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Четырехполюсники принято
условно изображать так, как это						I&1	I&2	2
показано на рис. 2.1. Это «про-						1	U&
ходной» четырехполюсник. В нем						U&1		2
электрическая энергия передается						1′		2′
слева направо. Одну пару выводов
называют	первичной		(входной),			Рис. 2.1
а другую –	вторичной (выходной)
и обозначают соответственно 1–1′ и 2–2′. Входной ток обозначают I&1 ,
входное напряжение –			U&1 , ток и напряжение на выходе –				I&2 и U&2 .
Четырехполюсник является передаточным звеном между источни-
ком питания и нагрузкой. К выводам 1–1′, как правило, присоеди-
няется источник питания, к выводам 2–2′– нагрузка.
Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, оп-
ределяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут
быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных
величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними
системой двух уравнений, которые называются уравнениями четы-
рехполюсника.
Пусть схема четырехполюсника содержит n независимых кон-
туров. В качестве первого (рис. 2.2) выберем контур, включающий
в себя источник энергии на зажимах 1–1′, в качестве второго – контур,
включающий в себя приемник, присоединенный к зажимам 2–2′.
Напряжение на входных зажимах четырехполюсника U&1							будем рас-
						сматривать как входное. Та-
I&1			I&2	2		кое включение принято на-
1	I&11	I&22	U&			зывать прямым.
U&1				2	Z н	Составим	уравнения
1′				2′		по методу контурных токов:
	Рис. 2.2
								51

I &		= I&			, I&				= I&			;
1			11				2			22
Z		11	I&	+ Z			12		I&		+ Z			13	I&	+K=U&			;	(2.1)
			11						22						33			1
Z			I&	+(Z						+ Z				) I&		+ Z		I& +K= 0;
		21						22					н				23
			11												22			33
KKKKKKKKKKKKKKKKK
Поскольку		Z нI&22				=U&2 ,						то,			перенеся величину U&2 в					правую
часть второго уравнения, приведем систему уравнений к виду
Z		11	I&	+ Z			12		I&		+ Z			13	I&	+K=U&			,
			11						22						33			1
Z 21I&11 + Z 22 I&22											+ Z 23 I&33 +K= −Z нI&22 ,									(2.2)
																		123

−U&2

KKKKKKKKKKKKKKKKK

Учитывая, что правые части всех уравнений, кроме первых двух, равны нулю, получим на основании принципа наложения следующее решение:

I&1 = I&11 = ∆∆11 U&1 + ∆∆21 (−U&2 ) + ∆∆13 0 +K+ 0;

(2.3)

I&2 = I&22 = ∆∆12 U&1 + ∆∆22 (−U&2 ) + ∆∆13 0 +K+ 0.

Коэффициенты в (2.3) имеют размерность проводимости. Введем соответствующие обозначения:

∆∆11 =Y 11; − ∆∆22 =Y 22 ; − ∆∆21 =Y 12 ; ∆∆12 =Y 21 .

Тогда записанные в Y-форме уравнения четырехполюсника, связывающие токи с напряжениями, имеют вид

I&		=Y U&	1	+Y U&	2	;
	1	11		12			(2.4)
		=Y U&		+Y U&
I&							.
	2	21	1	22	2

Полученные соотношения запишем в матричной форме:

I&	=[Y ] U&	.

52

Для

линейной пассивной

цепи

∆12 = ∆21 , а следовательно,

Y 12

= −Y 21 .

Из четырех

Y-параметров

независимых

три, так как

Y 12

= −Y 21 .

Решив (2.4) относительно напряжений U&1 и U&

2 , получим за-

писанные в Z-форме уравнения четырехполюсника, связывающие

напряжения и токи:

U&

1

= Z

11

I&

+ Z

12

I&

;

1

2

(2.5)

= Z

I&

+ Z

I&

U&

2

22

,

21

1

2

где

Z11 =

Y

22

;

Z 22 =

Y 11

;

Y 11Y 22

−Y 12 Y 21

Y 11Y 22 −Y 12 Y 21

(2.6)

−Y 12

−Y 21

Z12 =

;

Z 21 =

,

Y 11Y 22

Y 11Y 22 −Y 12 Y 21

−Y 12 Y 21

при этом Z12 = −Z 21 . Из четырех Z-параметров независимых три.

Уравнение (2.5) запишем в матричной форме:

U& =[Z ] I& .

Наиболее распространенной формой записи уравнений четырехполюсника является такая запись, при которой входные ток и напряжение выражаются через выходные напряжение и ток. Согласно (2.3) можно записать

	∆22 ∆	1				∆22		∆
U&1 =U&	2 ∆ ∆	+ I&2		=U&	2		+ I&2		.	(2.7)
			∆12			∆		∆
	12				12		12
			∆

Подставим (2.7) в первое уравнение (2.3):

∆11

∆22

∆

∆21

I&1 =

U&

+ I&2

−U&2

=

∆

2

∆12

∆

∆12

(2.8)

∆

∆

∆

∆ ∆

=U&2

22 −

+ I&2

11

21

11 .

∆ ∆12

∆

∆ ∆12

53

Введем обозначения:

A11

=

∆22

–

величина безразмерная;

∆

12

A12

=

∆

–

величина, измеряемая в омах;

∆

12

A21 =

∆11 ∆22

−

∆21

∆ ∆

– величина, измеряемая в сименсах;

12

∆

A22

=

∆11

–

величина безразмерная.

∆

12

При этом будут справедливы соотношения:

U&

= A U&

+ A I&

;

1

11

2

12

2

(2.9)

I&

= A U&

2

+ A I& .

1

21

22

2

В матричной форме эти уравнения имеют вид

U&			=[ A]
	1
I&
1

U&2& ;I2

A	A
[ A] = 11	12	.
A21	A22

Уравнения (2.9) называют уравнениями четырехполюсника

	в А-параметрах. Учитывая, что		∆12 = ∆21 ,			можно показать, что оп-
	ределитель матрицы А равен единице:
	det( A) = A11 A22 − A12 A21 = ∆22		∆11 −	∆		∆11 ∆22		∆21
							−			=
						∆ ∆12		∆
		∆12	∆12	∆12						(2.10)
		∆22 ∆11 − ∆11 ∆22 + ∆12 ∆21
	=		=1.
		∆2
	12

Итак det( A) = A11 A22 − A12 A21 =1.

Из соотношения (2.10) следует, что для определения U&1 и I&1

достаточно знать только три коэффициента из четырех, т.е. среди А-параметров только три независимые, аналогично для Z-, Y-форм.

Таким образом, зная, что Y, Z, A-параметры зависят от параметров элементов и конфигурации схемы четырехполюсника, можно сформулировать связь входа и выхода, не прибегая к расчету токов

54

и напряжений во внутренней части четырехполюсника, которая может представлять собой весьма сложную электрическую цепь.

Имеются и другие соотношения, связывающие в смешанной форме токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Приведем без вывода уравнения четырехполюсника в H- и G-параметрах:

U&			H
&	1		=	11
I2			H21

H	12		I&
H22			&	;
			U2

I&		G
&		=	11
1
U2		G21

G		U&
12		&	1	.
G22		I2

Все параметры в общем случае – комплексные числа. Соотношения, связывающие между собой параметры в различных формах

записи, приведены в табл. 2.1 ( ∆Z , ∆Y ,

∆H , ∆ A

–

определители соот-

ветствующих матриц).

Таблица

2 . 1

Определяемый

Z

Y

H

A

параметр

Y

22

−

Y

12

∆

H

H

12

A11

∆ A

A

A

Z

11

Z

12

∆

Y

∆

Y

H

22

H

22

Z

21

21

Z 21

Z 22

Y21

Y 11

H21

1

1

A

−

−

22

∆Y

∆Y

H22

H22

A21

A21

Z 22

Z12

1

H12

A22

−

∆ A

∆

Z

− ∆

Z

Y

11

Y

12

H

11

− H

11

A

A

Y

12

12

Z

Z11

Y 21

Y 22

H21

∆H

−

1

A

−

21

11

∆Z

∆Z

H11

H11

A

A

12

12

∆

Z

Z

12

1

−

Y

12

A12

∆ A

H11

H12

A22

A22

H

Z

22

Z 22

Y 11

Y 11

Z 21

1

Y21

∆Y

H21

H22

−

1

A

21

Z 22

Z 22

Y 11

Y 11

A22

A22

Z11

∆Z

−

Y22

−

1

−

∆H

−

H11

A11

A12

A

Z

21

Z 21

Y 21

Y 21

H21

H21

1

Z 22

∆Y

Y 11

H22

1

A21

A22

−

−

−

−

Z 21

Z 21

Y 21

Y 21

H21

H21

55

Рассмотрим наиболее подробно вывод уравнений четырехполюсника в A-параметрах.

2.3. РЕЖИМ ОБРАТНОГО ПИТАНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

При выводе уравнений четырехполюсника в предыдущем разделе мы предполагали, что источник энергии был подключен к вы-

	водам 1–1′. Поменяем мес-		I&1
	тами	полюса четырехполюс-		I&2	2
	ника:	подсоединим источник	1
			U&1	U&2
	к выводам 2 – 2′, а к выводам Z н
	1–1′–	сопротивление нагруз-	1′		2′
	ки Z н	(рис. 2.3). Такое вклю-		Рис. 2.3
	чение называют обратным.

Запишем уравнения четырехполюсника в А-параметрах с учетом того, что направление токов в нем относительно принятого на рис. 2.2 изменится на противоположное:

U&1 = A11U&2 − A12 I&2 ;

−I&1 = A21U&2 − A22 I&2 .

Решим эти уравнения относительно U&2 и I&2 :

	U&		=			∆1	; I&			=	∆2	,
		2				∆A		2			∆A
где ∆A	– определитель А-матрицы,							∆A =1 . Тогда
	U&	= ∆ = A U&							1	+ A I&				;
	2			1	22					12			1	(2.11)
	I&	= ∆			= A U&					+ A I&			,
				2
	2				21			1		11		1
где ∆1	и ∆2 – определители, для которых в ∆A первый и второй стол-
бец заменены соответственно на U&1								и I&1 . Уравнения (2.11) – уравнения

четырехполюсника при обратном питании, а (2.9) – соответственно при

56

прямом питании. Уравнения четырехполюсника при обратном питании отличаются от уравнений четырехполюсника при прямом питании местоположением коэффициентов А11 и А22. Отсюда условие симметричности четырехполюсников: А11 = А22.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ А-ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ РЕЖИМОВ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ И ХОЛОСТОГО ХОДА

Режимам холостого хода (хх) и короткого замыкания (кз) при прямом и обратном питании четырехполюсника соответствуют схемы рис. 2.4 (а, б – режимы хх и кз при прямом питании; в, г – при обратном питании).

I&1 = I&1x	I&2 = 0				I&1	= I&1к	I&2	2
1		2			1
U&1х	U&2				U&1к			U&2 = 0
1′		2′			1′			2′
а							б
1	I&2 = I&2x		2		1	I&1	I&2 = I&2к		2
U&1	U&2х				U&1 = 0		U&2к
1′		2′			1′				2′
	в				Рис. 2.4		г
		Прямое питание
Режим холостого хода. При I&2 = 0 , Z 2						= ∞ соотношения (2.9)
принимают вид
		(U&1 )I&2 =0			= U&1x = A11U&2x ,
		(I&1 )		=0	= I&1x = A21U&2x .
			I&2

57

Со стороны выводов 1–1′в режиме холостого хода входное сопротивление четырехполюсника

(Z1вх )Z 2 =∞	U&				A
	= Z1x =	1x	=		11	.	(2.12)
		&
		I			A
		1x			21
Режим короткого замыкания. Учитывая, что в этом случае
Z 2 = 0, U&2 = 0 (см. рис. 2.4, б), соотношения (2.9) будут иметь вид
(U&1 ) &	=U&1к = A12 I&2к;
U2 =0
(I&1 ) &	= I&1к = A22 I&2к.
U2 =	0

Со стороны выводов 1–1′ входное сопротивление четырехполюсника

(Z

1вх

)

=0

= Z

1к

=

U&1к

=

A12

.

(2.13)

Z 2

&

A

I

1к

22

Обратное питание

Учитывая, что при обратном питании А11 и А22 меняются местами, можно получить еще два уравнения (см. рис. 2.4, в, г). В режиме холостого хода входное сопротивление со стороны выводов 2–2′

Z 2 x =	U&		2x	=	A
					22	.	(2.14)
	&
	I	2x			A
					21

Со стороны выводов 2–2′ в режиме короткого замыкания входное сопротивление четырехполюсника

			=	U&				=	A
Z		к			2к				12	.	(2.15)
	2			&					A
				I	2	к
									11
Сопротивления Z1к , Z1х ,				Z 2к ,				Z 2 х		называют параметрами ко-

роткого замыкания и холостого хода. Выразим А-параметры через эти сопротивления. С этой целью из (2.14) вычтем (2.13):

Z

2

х

− Z

2к

=

A22

−

A12

=

A11 A22 − A12 A21

=

1

.

A21

A11

A21 A11

A21 A11

58

После деления

Z1х

=

A11 A21

= A2

,

Z 2 х − Z 2к

1 A21 A11

11

получим

A11 =

Z1х

.

(2.16)

Z 2 х − Z 2к

Учитывая (2.12) – (2.15), получим

A

= A Z

2к

,

A

=

A11

, A

=

A11

Z

2

х

.

(2.17)

12

11

21

22

Z

Z1х

1х

Уравнение det( A) = A11 A22 − A12 A21 =1 –

проверочное.

2.5. НАГРУЗОЧНЫЙ РЕЖИМ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА КАК РЕЗУЛЬТАТ НАЛОЖЕНИЯ РЕЖИМОВ ХОЛОСТОГО ХОДА

И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

Пусть к выводам 2–2′ четырехполюсника подключено сопротивление нагрузки Z 2 . При этом U&1 , I&1 и U&2 , I&2 связаны соотношениями (2.9). Отсоединим сопротивление Z 2 (режим холостого хода). Отрегулируем входное напряжение U&1х так, чтобы напряжение на выходных разомкнутых зажимах U&2 х стало равным напряжению U&2 в нагрузочном режиме:

U&1х = A11U&2 ; I&1х = A21U&2 .

Замкнем выводы 2–2′ (U&2 = 0 , режим короткого замыкания). Отрегулируем входное напряжение U&1к так, чтобы ток на выходных зажимах I&2к стал равным току I&2 в нагрузочном режиме, тогда

U&1к = A12 I&2 ; I&1к = A22 I&2 .

59

При сложении получим

U&1х + U&1к = U&1; I&1х + I&1к = I&1 .

Полученные соотношения показывают, что рабочий режим четырехполюсника (нагрузка Z 2 подключена к выводам 2–2′) можно

воспроизвести путем наложения режимов холостого хода и короткого замыкания, т.е. можно смоделировать нагрузочный режим, в некоторых случаях требующий источников большой мощности, наложением крайних нагрузочных режимов (холостого хода и короткого замыкания), тогда такие источники не нужны (нагрузка не потребляет мощности!).

2.6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

Любой четырехполюсник можно свести к сопротивлениям или проводимостям, соединенным по Т- или П-образной схеме (рис. 2.5). Эквивалентной схемой замещения реального четырехполюсника называется простейший трехэлементный четырехполюсник (Т- или П-образ- ный), имеющий такие же Z, Y или A-параметры, как и заданный четырехполюсник.

Три сопротивления Т- или П-схем должны быть рассчитаны с учетом того, что схема замещения должна обладать такими же А-параметрами, какими обладает заменяемый ей четырехполюсник.

I&1	I&2		1	I&1	Z 0	I&2
1		2				2
Z 1	Z 2
U&1	Y 0	U&2	U&1	Y 1	Y 2	U&2
1′		2′	1′			2′
а					б

Рис. 2.5

60