Центробежный момент инерции:

J x1y1 = ∫ x1 y1dA = ∫(x cosα + y sinα )( y cosα − xsinα )dA =

A		A
= J xy cos2 α − J y		sin 2α		+ J x	sin 2α	− J xy sin 2 α =
		2			2
= J xy cos 2α +	J x − J y		sin 2α
		2

4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции

Главными осями называются такие оси координат, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Пользуясь теоремой о моментах инерции при повороте осей координат, найдем положение главных осей:

J x y = J xy cos 2α +					Jx − J y						sin 2α = 0.
1	1							2
Разделим каждое из слагаемых на cos 2α :
	J		+ tg2α	J x			− J y		= 0 ,
		xy					2
откуда
		tg2α = −					2Jxy				.
						J	x	− J
									y

Полученный угол α откладывается против часовой стрелки относительно исходной системы координатных осей.

Моменты инерции в главных осях координат принимают экстремальные значения. Для

доказательства возьмем первую производную от J x по α и приравняем ее к нулю:

1

dJ x1

= − J

2sinα cosα + 2J cosα sinα − J

2 cos 2α =

dα

x

y

xy

= 2(J y cosα sinα − J x sinα cosα − J xy cos 2α ) = 0

Или:

J y − J x

sin 2α − J

cos 2α = 0 , откуда tg2α = −

2Jxy

,

2

xy

Jx − J y

то есть среди множества осей, которые можно провести через заданную точку именно относительно главных осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения.

Взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии, являются главными осями.

48

Очевидно, что каждой элементарной площадке, расположенной по одну сторону от оси симметрии, соответствует точно такая же по другую сторону, для которой произведение координат отличается только знаком. Таким образом, центробежный момент инерции

J xy = ∫ xydA = 0.

A

Главные оси можно провести через любую точку сечения, однако наибольший интерес представляют главные оси, проходящие через центр тяжести (главные центральные оси).

Интересно, что, если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой (Jx = Jy, Jxy = 0), то, согласно теореме о моментах инерции при повороте осей координат, у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы. В некоторых случаях такие фигуры легко указать: они имеют более двух осей симметрии (равносторонний треугольник, квадрат, другие правильные многоугольники, круг, кольцо).

49