l

где интеграл ∫ z dΩ1 представляет собой статический момент площади грузовой эпюры

0

относительно оси y и может быть вычислен

l

∫ z dΩ1 = Ω1zц.т. , 0

где zц..т. - абсцисса точки центра тяжести грузовой эпюры. Окончательно получаем

I = bΩ1 + kΩ1 zц.т. = Ω1 (b + k zц.т. ) = Ω1 f2 (zц.т. ) .

Таким образом, по правилу Верещагина интеграл Мора определяется как произведение площади грузовой эпюры Ω1 на расположенную под центром тяжести грузовой эпюры ординату единичной эпюры f2(zц.т.), отнесенное к жесткости поперечного сечения EJx. Если грузовая эпюра является линейной, то произведение в формуле Верещагина обладает свойством коммутативности.

Пример.

Определить перемещение среднего сечения консольной балки:

Поскольку обе эпюры являются линейными, при вычислении способом Верещагина возьмем площадь единичной эпюры и ординату грузовой эпюры, соответствующую положению точки центра тяжести единичной эпюры:

δ		=	1	l2 5Fl =	5Fl3	.
	С
			EJx	8 6	48EJx

5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Определим функцию изогнутой оси балки y(z).

65

Из дифференциальной геометрии известно, что кривизну плоской кривой можно определить

1= y′′

ρ(1+ y′2 )3/ 2 .

Очевидно, что в области упругого деформирования угол наклона касательной к изогнутой оси балки Θ → 0, то есть

Θ ≈ tgΘ = y′ → 0 .

Следовательно, величиной y′2 в приведенной выше формуле можно пренебречь, тогда

1ρ = y′′ .

С другой стороны, в соответствии с формулой (5.5),

ρ1 = EJM x .

x

Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид

y′′ = M x .

EJx

С учетом дифференциальных зависимостей при изгибе dMdz x = Qy ; dQdzy = q

получим следующие выражения для внутренних силовых факторов:

y′′EJx = M x ; y′′′EJ x = Qy ; yIV EJ x = q .

5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров

Пример.

Определить перемещение среднего сечения консольной балки:

Эпюра внутреннего изгибающего момента для данного случая описывается функцией

Mx=Fz,

дифференциальное уравнение упругой линии балки

66

y′′ =

M x

=

Fz

.

EJ

x

EJ

x

Функция угла поворота сечений балки

y′ = ∫l

Fz

dz =

Fz2

+ C ,

2EJ

0

EJ

x

x

функция перемещения точек балки

l

Fz2

Fz

3

y = ∫

+ C dz =

+ Cz + D ,

6EJ x

0

2EJx

где C и D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (условий

закрепления балки).

В рассматриваемом случае граничные условия: y(z=l)=0; y’(z=l)=0.

Применяя второе условие, получим

Fl2

+ C = 0, откуда C = −

Fl2

.

2EJ

x

2EJ

x

Из первого условия

Fl3

+ Cl + D = 0 , откуда

6EJ

x

D = −

Fl

3

− Cl = −

Fl3

+

Fl3

=

Fl3

.

6EJ

6EJ

2EJ

3EJ

x

x

x

x

Окончательно

y =

F

z

3

−

Fl2

z +

Fl

3

.

6EJ

2EJ

3EJ

x

x

x

Перемещение среднего сечения балки

l

F

l3

Fl2

l

Fl3

5Fl

3

y z =

=

−

+

=

.

6EJx

8

2EJx

2

3EJ x

2

48EJx

Это совпадает со значением, вычисленным ранее по формуле Верещагина.

На основе метода непосредственного интегрирования получено уравнение начальных параметров:

EJx y(z) = EJx y0

+ EJx

Θ0 z +

M z

2

F z3

+

q z4

−

q

(z − c)4

0

+

0

0

0

+

2!

3!

4!

4!

+ ∑

M

(z − a )2

+ ∑

F (z − b )3

+

q (z − d

)4

− ∑

q (z −l

)4

i

i

i

i

i

i

i

i

2!

3!

4!

4!

i

i

i

где: y0, Θ0 линейноеперемещение и угол поворота балки в начале координат (геометрические начальные параметры),

M0, F0, q0 - силовые факторы в начале координат (статические начальные параметры),

ai, bi, di, ei – координаты приложения сосредоточенных силовых факторов Fi, Mi, начала и конца участков распределенной нагрузки qi.

Начало координат всегда помещается в крайнюю левую точку балки. 67

Знаки слагаемых: сосредоточенные и распределенные силы Fi и qi считаются положительными, если они направлены вверх, момент сосредоточенной пары сил Mi считается положительным, если пара сил действует по часовой стрелке.

5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе

Пример.

Для заданной балки двутаврового поперечного определить из расчета на прочность номер двутавра и провести расчет на жесткость. Материал балки – сталь Ст3 с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа, допускаемый прогиб [f]=(0,0005÷0,001)·3 м.

Расчет на прочность.

Для определения положения опасного сечения построим эпюры Qy и Мх. Из эпюры Мх очевидно, что опасным является сечение D.

Условие прочности:

σ	max	= σ	D	= 55кН м	≤ [σ ],
				Wx

откуда требуемый момент сопротивления

68