При расчете по допускаемым напряжениям используется модель идеально упругого материала, при расчете по разрушающим нагрузкам – модель идеально упруго-пластичного материала.

2.6. Предельное состояние конструкции

Под предельным состоянием конструкции понимают такое ее состояние, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям.

Различают три вида предельных состояний:

по несущей способности: при достижении этого состояния конструкция теряет способность сопротивляться внешнему воздействию или получает такие остаточные деформации, которые не удовлетворяют требованиям эксплуатации;

по развитию чрезмерных деформаций от статических или динамических нагрузок, при которых в конструкции, сохраняющей прочность, появляются необратимые деформации, не удовлетворяющие эксплуатационным требованиям;

по образованию и развитию трещин, когда в конструкции, сохраняющей прочность, появляются трещины, вследствие чего дальнейшая эксплуатация становится невозможной (потеря водонепроницаемости, опасность коррозии).

36

3. Установочная лекция к модулю №3. Растяжение- сжатие: прочность жесткость, энергия, интеграл Мора

3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии

Задача исследования напряженного состояния заключается в определении зависимости величины вектора напряжения в точке от положения секущей площадки. Для этого сделаем сечение стержня под произвольным углом α. Aα - величина площади произвольного сечения, А

– величина площади сечения перпендикулярного к продольной оси стержня.

Определим напряжения на площадке Aα .

P = N = N cosα , Aα A

	где Aα	=	A
			cosα

NA = σ z - напряжение в поперечном сечении, перпендикулярном продольной оси. Тогда:

P=σzcosα.

Разложим вектор напряжения Р на две составляющие – нормальную σα и касательную τα:

σα = P cosα = σ z cos2 α ,

τα = P sinα = 12 σ z sin 2α .

Изменяя угол наклона площадки Aα, получим:

						N
1.	σ α = σ z				=
						A
	при α = 0 :
	τ	α	= 0
2.		σα = 0
	при α = 90 :			= 0
		τα
		σ		=	1	σ		=		N
3.	при α = 45 : α				2		z			2A
					1					N
		τα		=	2	σ z		=	2A

37

Выводы:

1.Максимальное нормальное напряжение возникает в сечениях, перпендикулярных продольной оси.

2.Продольные волокна стержней не давят друг на друга в направлении осей поперечного сечения.

3.Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, наклоненных под углом 45º к продольной оси стержня.

На основе этих выводов можно объяснить особенности деформации и разрушения материалов при испытаниях на растяжение. Так, пластическая деформация на начальной стадии (образование полос Чернова-Людерса) и разрушение пластичных материалов происходят по плоскостям действия максимальных касательных напряжений. Для хрупких материалов сдвиговой механизм деформации затруднен, поэтому их разрушение происходит по плоскости действия максимальных нормальных напряжений.

3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии

Определим потенциальную энергию деформации стержня, нагруженного сосредоточенной силой F.

Запишем уравнение энергетического баланса:

I=U+K,

где: I – работа внешних сил, приложенных к стержню, U – потенциальная энергия деформации,

K – кинетическая энергия.

Предполагая, что нагружение статическое, т.е. масса стержня не получает ускорения, K=0. Работу внешних сил определим по теореме Клапейрона:

	I =	1 F l =		1 N l .
		2		2			Nl
	Подставим в эту формулу полученное ранее выражение для удлинения					l =		:
							EA
	I = U =		1 N 2l		.
			2 EA

Для стержня с переменной площадью поперечного сечения (A = A(z)), нагруженного распределенной силой (N = N(z)), потенциальная энергия деформации определяется через интеграл:

	I = U = ∫	N 2 (z)	dz	(3.1)
		2EA(z)
	l

38

3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия

Интеграл Мора используется для определения перемещений точек произвольных сечений элементов конструкций. Выведем интеграл Мора для случая растяжения-сжатия. Для простоты рассмотрим стержень постоянной жесткости поперечного сечения, нагруженного сосредоточенной силой F.

Определим перемещение произвольного сечения C стержня, используя теорему Кастилиано. Функция продольной силы для любого сечения этого стержня N=N(F).

Т. к. в точке С отсутствует внешняя сила, использовать напрямую теорему Кастилиано для опредления перемещения нельзя. Поэтому приложим в точке С фиктивную силу Ф.

Функция продольной силы примет вид:

N=N(F)+N1*Ф

где N1 – коэффициент пропорциональности.

Определим физический смысл коэффициента N1. Для этого снимем внешнюю силу F, а фиктивную силу Ф приравняем к единице:

Функция продольной силы при F = 0, Ф = 1 будет равна:

N = 0 + N1 1 = N1

Таким образом, N1 – это внутренняя продольная сила, возникающая при условии разгрузки элемента конструкции от внешних сил и нагружении в точку, перемещение которой определяется, единичной безразмерной силой.

Потенциальная энергия деформации, в соответствии с формулой (3.1),

	U = ∫	(N(F) + N Φ)2 dz	.
		1
	l	2EA

Для определения перемещения точки С используем теорему Кастилиано:

	δ c	=	∂U	= ∫	2(N(F) + N1Φ)N1dz	.
			∂Φ		2EA
				l

39