Предполагая, что от порядка приложения сил потенциальная энергия деформации не зависит, приравняем потенциальные энергии деформации полученные при первом и втором порядке приложения сил F1 и F2:

u1 + u1 = u2 + u2 - то есть

12 F1 δ11 + 12 F2 δ 22 + F1 δ12 = 12 F2 δ 22 + 12 F1 δ11 + F2 δ 21 ,

откуда F1δ12=F2δ21, что и требовалось доказать.

Теорема Максвелла (теорема о взаимности единичных перемещений)

Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения системы, когда F1=F2=1. Очевидно, что при этом δ12=δ21.

Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого состояния.

1.12. Основные принципы сопротивления материалов

Принцип неизменности первоначальных геометрических размеров

Основан на малости упругих деформаций, которые составляют всего 0,001…0,005%, что дает возможность пренебрегать изменениями в расположении внешних сил и составлять уравнения статики для недеформируемого состояния системы. В качестве примера рассмотрим следующую стержневую конструкцию, для которой необходимо оценить прочность и жесткость стержней, являющихся функцией внутренней силы N.

Под действием силы F первоначальный угол α положения стержней изменяется до некоторой величины α*, заранее неизвестной и зависящей от величины деформации стержней. Последнюю можно определить лишь при знании внутренней силы N, которая равна реакции R в точке крепления стержней, определяемой из уравнения статического равновесия. В свою очередь в уравнение статического уравнения входит угол положения стержня. Таким образом, если использовать деформируемую систему, то задача становится неразрешимой. Принцип неизменности первоначальных геометрических размеров позволяет решить задачу об определении внутренней силы N, используя недеформируемое состояние системы. Из суммы проекций на вертикальную ось имеем:

2Rcosα=F,

откуда продольные усилия в стержнях

N = R =	F
		.
	2 cosα

Принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил)

Рассмотрим балку, нагруженную силами F1, F2 и F3:

21

Обозначим перемещение точки C под действием каждой из этих сил, приложенной по отдельности, соответственно σc(F1), σc(F2) и σc(F3)

Тогда в пределах области упругих деформаций перемещение точки C под действием всех сил

σc(F1,F2,F3)=σc(F1)+σc(F2)+σc(F3)

Результат действия совокупности факторов равен сумме результатов от действия каждого фактора в отдельности.

Принцип Сен-Венана

Особенность приложения внешней нагрузки оказывает влияние на результат ее действия лишь на расстоянии от точки ее приложения меньше характерного размера поперечного сечения.

Для иллюстрации рассмотрим три стержня одинаковых геометрических размеров с одними и теми же условиями закрепления, но с различным способом приложения силы F.

Напряжение, возникающее в поперечных сечениях стержней, в основном объеме одинаково и не зависит от характера приложения внешней нагрузки.

22

1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения

В общем случае нагружения, как известно, возникает шесть ВСФ (N, Qx, Qy, Mx, My, Mz). Потенциальная энергия деформации является функцией внутренних силовых факторов. На основе принципа независимости действия сил потенциальную энергию деформации нагруженного тела можно определить следующим образом:

U (N, Qx , Qy , M x , M y , M z ) = U (N )+U (Qx )+ U (Qy )+ U (M x )+ U (M y )+ U (M z ).

1.14. Основные виды расчетов

Метод расчета по допускаемым напряжениям

Алгоритм метода:

1.Выявляют точку в объеме элемента конструкции, в которой возникает максимальное напряжение. Для этого сначала определяют положение опасного сечения, а затем в этом сечении ищут положение опасной точки.

2.В соответствии с видом деформации рассчитывают величину максимального напряжения.

3.Сопоставляют расчетное максимальное напряжение с предельно допустимым, полученным на основе эксперимента.

Условие прочности может быть записано в виде:

σmax≤[σ],

где [σ]– предельно допустимая величина напряжения.

Метод расчета по разрушающим нагрузкам

Данным методом определяют не максимальное напряжение в точке, а величину предельной нагрузки, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь или не изменяя существенно свою форму. Ее сопоставляют с рабочей нагрузкой и делают вывод о работоспособности конструкции.

F

[пред] = n

F

Метод расчета по допускаемым перемещениям (расчет на жесткость)

Применяется в зависимости от требований, предъявляемых к конструкции во время ее эксплуатации.

23