Закон нагружения стержня:

откуда работу внешнего момента можно определить по теореме Клапейрона как

I = 12 M zϕ ,

где ϕ - угол поворота сечения, в котором приложен момент Mz. При статическом нагружении уравнение энергетического баланса

I=U,

откуда, учитывая, что ϕ = ∫Θdz , а также формулу (6.5), найдем потенциальную энергию

l

деформации при кручении:

M 2dz U = ∫ z .

l 2GJ ρ

6.4. Интеграл Мора для случая кручения

Определим угол поворота произвольного сечения C консольного стержня, нагруженного в свободном сечении скручивающим моментом.

Пусть внутренний крутящий момент для этого случая равен Mz=Mz(F).

Для определения угла поворота можно использовать теорему Кастилиано, но она применима лишь для сечений, в которых приложены внешние нагрузки. Чтобы обойти это неудобство, приложим в сечении C фиктивный момент Φ:

Теперь внутренний крутящий момент будет равен M z = M z (F) + M1z Φ.

Для определения коэффициента пропорциональности M1z разгрузим стержень от внешней нагрузки, а фиктивный момент Φ приравняем к единице:

80

При этом внутренний крутящий момент M z = M z (0) + M1z 1 = M1z . Таким образом, M1z

– это внутренний момент, возникающий в сечениях элемента конструкции, если разгрузить его от внешних факторов, а к сечению, угол поворота которого определяется, приложить единичный безразмерный момент.

Потенциальная энергия деформации с учетом моментов Mz и Φ
U = ∫	(M z	(F) + M1z	Φ )2 dz
				.
		2GJρ
l

Применяя теорему Кастилиано и учитывая, что на самом деле Φ= 0 , находим искомый угол поворота:

ϕc	=	∂U			= ∫	M z (F)M1zdz	.
		∂Φ		Φ=0	l	GJρ

Полученное выражение есть интеграл Мора при кручении. Для случая k рабочих участков:

k	M zi (F)M1z			i
ϕ = ∑ ∫					dzi
	(GJ	)	i
i=1 li		ρ

Задача 1.

Для стержня, жестко защемленного одним концом, подобрать диаметр поперечного сечения из условий прочности и жесткости, если допускаемое напряжение на сдвиг [τ]=100 МПа, модуль сдвига G=8*104 Мпа, допускаемый угол закручивания [Θ]= 1град/м.

Для определения положения опасного сечения построим эпюру внутреннего крутящего момента Мz от внешних нагрузок.

Условие прочности:

81

τ max =

M max

=

16M max

W

πd 3 ≤ [τ ],

z

z

ρ

откуда необходимый диаметр

[d ]= 3

16M zmax

16 50кН м

π [τ ]

= 3 3,14 100 103 кН/м2

= 0,136м.

Построим эпюру абсолютных углов закручивания по характерным сечениям:

0,5

(10

− 20z)dz = 10z − 10z2

0,5

2,5

ϕ (0,5м) = ∫

=

,

0

GJρ

GJρ

0

GJρ

ϕ

=

10z − 10z2

1

GJρ

= 0,

1− 0

0

ϕ

= ϕ

+ ϕ

= 0 + 30 1 =

30

,

2− 0

0

2−1

1−

GJρ

GJρ

ϕ

= ϕ

+ ϕ

=

30

+ 50 1

=

80

.

3− 0

2− 0

3−

2

GJρ

GJρ

GJρ

Максимальный относительный угол закручивания

Θ

=

ϕ

max

=

80кН м м 32

= 0,01рад/м = 0,57град/м

3м 8 107 кН/м2

3,14 13,64 10−8 м4

max

L

это меньше, чем [Θ]= 1град/м, т.е. условие жесткости выполняется.

6.5. Кручение стержней некруглого профиля

Рассмотрим стержень прямоугольного сечения, работающий на кручение.

Определение напряжений и перемещений такого стержня является сложной задачей, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Связано это с тем, что при кручении стержней некруглого профиля гипотеза Бернулли неприменима. Поперечные сечения депланируют (искривляются):

Кручение называется свободным, если депланация сечений одинакова по всей длине стержня, и стесненным, если депланация разных сечений различна. Стесненное кручение можно создать, если жестко защемить один из торцов стержня, а к свободному – приложить крутящий момент.

Докажем, что при кручении в угловых точках прямоугольного сечения касательное напряжение отсутствует. Доказательство проведем от обратного.

82

Предположим, что в ближайшей к нам угловой точке возникает вектор касательного напряжения τ. Разложим этот вектор на две составляющие τzx и τzy. Так как боковые стороны стержня свободны от силового воздействия, то касательные напряжения на площадках, смежных с рассматриваемой, τxz=τyz=0. Это означает, что, согласно закону парности касательных напряжений, τzy=τzx=0 и, следовательно, τ=0. Таким образом, при кручении в угловых точках прямоугольного сечения касательных напряжений нет.

Закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения получен методами математической теории упругости и имеет следующий вид:

Максимальное касательное напряжение возникает посередине длинной стороны сечения и определяется по формуле:

τ max = M z ,

Wкр

причем момент сопротивления при кручении равен

Wкр = αb3 ,

где b – короткая сторона сечения,

α - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.

Касательное напряжение, действующее посередине короткой стороны, может быть найдено по формуле

τ * = γτ max ,

где γ - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.

Относительный угол закручивания определяется по формуле, аналогичной (6.5):

Θ = M z ,

GJкр

83