[W ]=		55	103	Н м	= 343,75см3 .
		160		106	Н м2
	x

Находим в сортаменте двутавр №27 с моментом сопротивления Wx=371см3 и моментом инерции Jx=5010см4.

Расчет на жесткость.

Определим прогибы характерных сечений балки D, K, L по методу Мора. Для этого построим эпюры единичных моментов, прикладывая к разгруженной от внешних сил балке единичные силы к точкам D, K и L.

			1			(70z − 15z2 )							2		z							1							2			1				1				1					1				1				64,03
	δ D = ∫											3
																dz +									25					+ 4 41,25			+ 50					+					50			+	4 47,5				=
						EJ x																							3			2				3									3									EJ x
			0																		6EJ x																			6EJ x									6
			1 (70z − 15z2 )						1		z									1							1				1				2					1					2					1				42
δ K = ∫									3					dz +
																								25					+ 4 41,25			+ 50						+					50			+ 4		47,5				=
						EJ x												6EJ x									3				2														3					3					EJ x
			0																																3				6EJ x
		1 (70z − 15z2 )						1		z									1								1				1				2					1					2					5
δ L = −∫							3																						+ 4 41,25
												dz				−								25								+ 50				−						50				+ 4		47,5			+ 30 1						−
						EJx											6EJx										3				2														3					6
		0																																	3				6EJx
1			2
− ∫ 30z				dz = − 74,17
0	EJ	x				EJ	x
	Максимальный прогиб
							δ							=		δ			=			74,17				=				74,17 кН м											= 7,4 10−3 м.
									max								L					EJ			x				2 108 кН м2 5010 10−8											м4

Так как δmax>[f]=3мм, то номер двутавра, подобранный из условия прочности, не обеспечивает жесткость конструкции.

Условие жесткости:

74,17 ≤ [f ],

EJ x

откуда требуемый момент инерции

	[J		]=	74,17	=	74,17 кН м		= 12380см4 .
		x		E[f ]		2 108 кН м2 3 10−3	м

Выбираем в сортаменте двутавр №36 с моментом инерции Jx=13380см4.

5.10. Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, когда силовая линия не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Рассмотрим балку произвольного поперечного сечения, нагруженную сосредоточенной парой сил, плоскость действия которой наклонена под углом α к оси x сечения.

69

Разложим пару сил на составляющие:

Mx=Msinα,

My=Mcosα.

На основании принципа суперпозиции, величина нормального напряжения в точке сечения с координатами x и y равна:

σ(M ) = σ(M x , M y ) = σ(M x ) + σ(M y ) =							M x y	+	M y x
										.
							Jx
									J y
Найдем положение нейтральной линии:
σ	н.л.	=	M x yн.л.	+	M y xн.л.	= 0 ,
			Jx		J y

откуда

	yн.л.	= −	M y Jx
			M x		J y

M

Учитывая, что y

M x

xн.л. - уравнение прямой линии, проходящей через начало координат.

= ctgα , можно записать

	y		= −ctgα	J x	x		.
		н.л.		J y		н.л.

Таким образом, если уравнение силовой линии:

yс.л. = tgα xс.л. = kxс.л. ,

то для нейтральной линии:

	y		= −	1	J	x	x		.
		н.л.		k J y				н.л.

Из аналитической геометрии известно, что условие перпендикулярности двух прямых y1=k1x и y2=k2x:

k1 = − k1 .

2

70

Для общего случая поперечного сечения J		≠ J		, т.е.	J x	≠ 1	и k ≠ −	1	, что означает,
	x		y		J y		1	k2

что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна силовой линии. Угловой коэффициент нейтральной линии:

tgβ = −ctgα J x .

J y

Максимальное напряжение действует в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии

Условие прочности при изгибе в двух плоскостях для опасной точки K с координатами xK, yK, определяемыми относительно главных центральных осей сечения:

		=	M max yK	+	M max xK	≤ [σ].
	σmax		x		y
			J x		J y

Если форма сечения такова, что опасная точка имеет координаты xK=xmax, yK=ymax (например, прямоугольник, двутавр, швеллер),

то условие прочности можно записать через моменты сопротивления:

	σmax =	M max	+	M max	≤ [σ].
		x		y
		Wx		Wy

Для таких форм поперечного сечения, как круг и все правильные многоугольники, у которых все центральные оси – главные, случай косого изгиба невозможен. Для таких сечений условие прочности можно записать следующим образом:

				σmax	=	M maxu	max	≤ [σ],
						Σ
						Jx
где	M max = M 2		+ M 2	- результирующий изгибающий момент, umax – кратчайшее
	Σ	x	y
расстояние от нейтральной линии до опасной точки

71

Так как для круглого сечения umax = d2 = ymax , условие прочности в данном случае можно записать как при обычном прямом изгибе:

	σmax =	M max	≤ [σ].
		Σ
		Wx

Для квадратного сечения условие прочности может быть записано в том же виде, что и для прямоугольного.

Полное перемещение при косом изгибе определяют через перемещения в направлениях главных центральных осей δx и δy:

δ = δ x2 + δ y2 .

Пример.

Определить полное перемещение концевого сечения консольной балки прямоугольного сечения, нагруженной сосредоточенной силой F.

Проекции силы F на главные центральные оси поперечного сечения: Fx=Fsinα,

Fy=Fcosα.

Перемещение по направлению оси x находим методом Мора:

72