- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
Элементарные изгибающие моменты могут быть записаны: dМy = dN x ,
dМx = dN y ,
dМz = dQy x + dQx y .
Следовательно:
M y |
= ∫σ x dA |
|
|
A |
|
M x |
= ∫σ y dA |
(1.7) |
|
A |
|
M z = ∫(τ zy x −τ zx y)dA
A
Выражения (1.6) и (1.7) называются интегральными уравнениями равновесия.
1.9. Понятие о перемещении и деформации
Рассмотрим физический объект произвольной формы в декартовой системе координат. Зафиксируем внутри тела точку В до приложения внешних сил. Предположим, что В1 – положение точки В после приложения внешних сил.
Тогда вектор ВВ1 можно считать вектором полного перемещения точки В. u, v, w – проекции вектора полного перемещения на оси x, y, z соответственно.
Зафиксируем до приложения сил точки В и С, расстояние между которыми равно s. Пусть точки В1 и С1 - новые положения точек В и С после приложения системы внешних сил. Предположим, что расстояние между ними равно s+ s.
17
s – абсолютное изменение длины отрезка ВС - называется абсолютная линейной деформацией.
Величина ε = lim |
s |
- это относительная линейная деформация. |
s→0 |
s |
|
Кроме линейных деформаций существуют также угловые деформации. Проиллюстрируем их. Выделим точки О, В, С до приложения к объекту внешних сил. Пусть О1, В1, С1 – положения выбранных точек после нагружения объекта.
Тогда, γ = lim |
(В Оˆ С − В1Оˆ |
1С1 ) - угловая деформация. |
О → |
В |
|
О → |
С |
|
1.10. Теорема Кастилиано
Теорема Кастилиано предназначена для определения перемещений точек упругой системы.
Частная производная от потенциальной энергии деформации системы по силе равняется перемещению точки приложения данной силы по ее направлению.
Если u – потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела под действием системы внешних сил {Fn}, то
∂u = δ ,
∂Fn n
где δn – перемещение n-й точки.
Доказательство проведем, рассмотрев два порядка приложения внешних сил.
1порядок
1.Нагрузим тело системой сил {Fn}. При этом тело приобретает потенциальную энергию деформации u.
2.Увеличим силу Fn на бесконечно малую величину dFn. Потенциальная энергия получит
∂u
приращение ∂Fn dFn .
Таким образом, суммарная потенциальная энергия будет равна u + ∂u dFn
∂Fn
18
2 порядок
1. Нагрузим тело в точке n бесконечно малой силой dFn, при этом точка n получит перемещение dσn. Потенциальную энергию деформации определим как работу этой силы по теореме Клапейрона:
I= 12 dFn dδ n .
2.Приложим к телу систему внешних сил {Fn}, в результате точка n получит дополнительное перемещение σn. Потенциальная энергия деформации тела увеличится на величину u, и, кроме того, сила dFn совершит дополнительную работу на перемещении σn:
I= dFn δ n .
Врезультате при втором порядке приложения внешних сил потенциальная энергия
деформации определяется как 12 dFn dδ n + u + dFn σ n .
Предполагая, что величина потенциальной энергии деформации тела не зависит от порядка приложения сил, получим
u + |
∂u |
dF = |
1 dF dδ |
|
+ u + dF δ |
|
. |
|
|
n |
n |
||||||
|
|
n |
2 |
n |
n |
|
||
|
∂Fn |
|
|
|
|
|
Слагаемым 12 dFn dδ n можно пренебречь в силу того, что это величина второго порядка
малости. Тогда |
∂u |
dF = dF δ |
|
, откуда: |
|
|
|
||||
|
∂Fn |
n |
n |
|
|
|
|
n |
|
∂u = δ , что и требовалось доказать.
∂Fn n
Недостатком теоремы Кастилиано является то, что с ее помощью можно определять перемещения только тех точек упругой системы, к которым приложены внешние силы.
1.11. Теорема Бетти-Максвелла
Теорема Бетти (теорема о взаимности работ)
Работа силы первого состояния на перемещении, вызванном силой второго состояния, равняется работе силы второго состояния на перемещении, вызванном силой первого состояния:
19
F1δ12 = F2δ 21
Первый индекс в обозначении перемещений показывает точку и направление перемещения, второй – причину перемещения.
Докажем теорему, рассмотрев два порядка приложения сил.
1 порядок
1. Нагрузим балку силой F1.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F1 на перемещении σ11:
u1 = 12 F1 δ11 .
2. Добавим силу F2.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F2 на перемещении σ22 и силы F1 на перемещении σ12:
u1 = 12 F2 δ 22 + F1 δ12 .
2 порядок
1. Нагрузим балку силой F2.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F2 на перемещении σ22:
u2 = 12 F2 δ 22 .
2. Добавим силу F1.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F1 на перемещении σ11 и силы F2 на перемещении σ21:
u2 = 12 F1 δ11 + F2 δ 21.
20