М Mz>0 М

	y		y
x	z	z	x

против часовой стрелки М Mz<0 М

	y	y
x	z	z	x
	по часовой стрелке

1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе

Пример. Для нагруженной консольной балки построить эпюры Qy и Мх

12

1. Построение эпюры Qy.

Вданном случае будет один участок: 0≤z≤2l. Для произвольного сечения с координатой z:

Qy(z)=-F+q*z.

Получена линейная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Qy(z) в начале и конце участка:

Qy (0) = −2q l + q 0 = −2q l ; Qy (2l) = −2q l + q 2l = 0 .

2. Построение эпюры Mx. Рассмотрим два участка балки. 1-й участок: 0≤z1≤l:

M x (z1) = 2ql z1 − q z1 z21

Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Мх(z1) в начале и конце участка:

Вначале участка M x (0) = 2ql 0 − q 0 02 = 0.

Вконце участка M x (l) = 2ql l − q l 2l = 1,5ql2 .

2-й участок: 0≤z2≤l:

M x (z2 ) = 2ql (z2	+ l) − q (z2	+ l)	(z2 + l)	+ ql	2	.
			2
	13

Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Мх(z2) в начале и конце участка:

В начале участка M x (0) = 2ql l − q l 2l + ql2 = 2,5ql2 .

Вконце участка M x (l) = 2ql 2l − q 2l 22l + ql2 = 3ql2 .

1.7.Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе

Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную произвольной нагрузкой qz.

Вокрестностях точки B вырежем бесконечно малый участок балки длиной dz. В силу малости участка можно принять q=const:

Запишем условия статического равновесия:

	n
	∑Fiy =0 : Qy + q dz − Qy − dQy =
	i
	n								dz
	∑M B (Fi ) = 0 :Qy dz + M x				+ q dz
									2
	i
	Слагаемым q dz	dz	можно пренебречь, тогда
		2				dM x
			Qy =
						dz
			q =	d 2M			x
						dz2

0 q = dQy dz

− M x − dM x = 0 .

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Зависимость (1.4) используется для анализа возрастания или убывания функции Mx слева направо:

если Qy>0, то Mx возрастает; если Qy<0, то Mx убывает;

если q=0, Qy=const, то Mx=Qy*z+C – наклонная прямая; если q=const, то Qy=q*z+D – наклонная прямая,

M = q z2 + Dz + B – квадратичная парабола, где C, D, B – постоянные интегрирования.

x 2

14

Основные закономерности при построении эпюр Qy и Mx

1.От действия сосредоточенной силы на эпюре Qy – скачок на величину силы в сторону знака ее воздействия; на эпюре Mx – перелом, острие которого направлено в сторону действия силы.

2.От сосредоточенной пары сил на эпюре Mx – скачок на величину пары в сторону, противоположную знаку ее воздействия.

3.Если участок пустой (ничем не загружен), на эпюре Qy – прямая, параллельная базе; на эпюре Mx – прямолинейная зависимость.

4.Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, то на

эпюре Qy – наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q; на эпюре Mx – квадратичная парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия распределенной нагрузки.

5.Если на участке действия распределенной нагрузки на эпюре Qy наклонная прямая пересекает базу, то в соответствующем сечении на эпюре Mx – экстремум.

1.8.Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия

Рассмотрим тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил.

Выделим произвольное сечение данного тела.

15

Пусть величина площади сечения равна А. Выделим элементарную площадку dA с координатами x, y. В связи с тем, что площадка dA бесконечно мала, примем закон изменения внутренних сил, действующих на ней, равномерным, что позволяет заменить эти силы только главным вектором силы dR.

Введем следующие обозначения:

dN	= σ – нормальное напряжение;
dA
dQy		= τ		,	dQx	= τ		– касательные напряжения.
dA			zy				zx
					dA

В обозначениях касательного напряжения первый индекс указывает ось, перпендикулярную площадке, второй – ось, в направлении которой оно действует.

Размерность напряжений – Па [Н/м2].

Полный вектор напряжений P = σ 2 +τ		2	+τ 2 .
		zy	zx
На основании вышесказанного:				= τ zx dA ,
dN = σ dA, dQy		= τ zy dA, dQx
то есть
N = ∫σ dA
			A
Qy	= ∫τ zy dA			(1.6)
			A
Qx	= ∫τ zxdA
			A
			16