Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

110

Таблица 13.1 (продолжение)

Диффузия

m~ S ,

m – масса, переносимая через площадку S;

m~Δt ,

t – время;

m~ gradρ ;

m D ρz S t

– закон Фика.

Знак «–» означает, что перенос массы происходит в сторону уменьшения плотности (концентрации).

D – коэффициент диффузии;

		2
	D	м	.
		с

D1 vλ

3

Теплопроводность

Вязкость

(внутреннее трение)

Q ~ S

,

Q – энергия, переноси-

fx – модуль силы,

с которой

мая через площадку S;

один слой площадью S дей-

Q ~

t

,

ствует на другой;

Q ~ gradT ;

T

f

η

u

S

Q æ

z

S t

x

z

– закон Фурье.

– закон Ньютона.

Знак «–» означает, что по-

ток тепла идёт в сторону

уменьшения

температу-

ры.

æ – коэффициент теп-
лопроводности;						η – коэффициент вязкости;
	æ		Вт			η Па с .
			м К
				.
Для идеального газа:
æ	1	c ρ v		λ		η	1	ρ v λ
	3	V					3

Численная оценка

λ

7	м
2 10

; v 1 103 мс ;

ρ 1

кг м3

;

2	кг
μ 2,8 10	моль

D	2	4	5		м2
	3	10	7 10		с

1 5 8,31 103 8 10 7

æ3 2 2,8 10 2

5 10	2	Вт
		м К

η1 103 2 10 7 7 10 5 Па с 3

Демонстрации: 1) Теплопроводность твёрдых тел 2) Внутреннее трение в газах

111

Лекция 14

2.9.3. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса (на примере внутреннего трения)

Рассмотрим два слоя газа, расстояние меж-

ду которыми равно 2 λ		, движущихся па-
раллельно друг другу со скоростями u1			и u2
u1 ,u2	v (РИС. 14.1).

В среднем последнее столкновение молеку-

лы происходит на расстоянии λ	.	Поэтому
мы берём u1 u z λ , u2 u z	λ	.

Благодаря тепловому движению молекулы переходят из одного слоя в другой, соударяются друг с другом и обмениваются им-

пульсами (см. «АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР»), в

т. ч. компонентами импульса, соответствующими упорядоченному движению, поэтому ния слоёв выравниваются.

Потери импульса слоя 1 за время t

z

S

z

x

Рис. 14.1

импульсы упорядоченного движе-

p
1

N m u
12	0	1

,

где m0 – масса молекулы, N12 – число молекул, перешедших из слоя 1 в слой 2; импульс, приобретённый слоем 1,

p 1

N m u
21	0	2

,

где N21 – число молекул, перешедших из слоя 2 в слой 1. Изменение импульса слоя 1

p	N m u
1	12	0	1

N m u
21	0	2

.

Нужно найти N12 и N21:

N		n	S	v	t	N
12		6				21

(ср. 2.2.3), n – концентрация газа,

p1

так как m0n = ρ – плотность газа,

f	x

z 2 λ

, поэтому

так как N = const. Изменение импульса слоя 1

		m n			S		v u2 u1 ;
			0
			6
	p			1		S	v ρ u2 u1 ;
	1
	t			6
	u2		u1				u	z ,
							z

fx 16 ρ vλ uz S .

	По закону Ньютона	fx η	u	S
			z

1. Механика37

112

,отсюда

η1 ρ vλ

3

.

1.11. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея

Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчёта эквивалентны. Никакими опытами, поставленными внутри ИСО, нельзя определить, движется ли она или покоится.

1.11.1. Преобразования Галилея

y		y′	t′
		t
			K′
	K	O′	x′
O			x

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется относи-

тельно системы K со скоростью v (РИС. 14.2).

Зная координаты и время в системе отсчёта K, найдём координаты и время в системе K′ и наоборот, т. е. найдём связь между x, y, z, t и x′, y′, z′, t′ (ТАБЛ. 14.1).

В классической механике время во всех системах отсчёта течёт одинаково.

Рис. 14.2		Таблица 14.1
	Преобразования Галилея
K′ → K		K → K′
x x vt		x x vt
y y		y y
z z		z z
t t		t t

1.11.2. Следствия из преобразований Галилея

Инвариант преобразований – физическая величина, которая не изменяется при переходе из одной системы отсчёта к другой, т. е. величина, значения которой одинаковы во всех системах отсчёта.

1. Абсолютность одновременности

События, одновременные в одной системе отсчёта, одновременны и в другой. Это следует из того, что время является инвариантом преобразований Галилея:

t	t	t	1	t	2	.
1	2

37 Параграфы 1.11-1.14 выносятся на конец I семестра.

113

2. Инвариантность длины отрезка

y

y′

Пусть отрезок

1-2

покоится относи-

t

t′

тельно системы отсчёта K′

(РИС. 14.3).

2

l′

Его длина в этой системе отсчёта равна

1

l′. Выразим l′ через координаты концов

отрезка в системе K′:

2

2

l

.

x2

x1

y2 y1

K′

Свяжем координаты концов стержня в

O′

x′

K

системе отсчёта K′

с координатами в

системе отсчёта K через преобразова-

O

x1

x2

x

ния Галилея:

l x

vt x

2

y

2

Рис. 14.3

2

1

vt

y

2

1

x

x

2

y

2

l

2

1

y

2

1

– длина отрезка в системе отсчёта K. Это означает, что длина отрезка – инвариант преобразований Галилея:

l l inv .

3. Инвариантность интервала времени

Пусть интервал времени между двумя событиями 1 и 2 в системе отсчёта K′

t t 2

t 1

.

Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта K

Так как

t	1	t
		1

и

t2

t 2

t

,

t

t2 t

t . 1

inv

.

4. Классический закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью счёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта K

	u u v		.
Доказательство
По определению скорости
ux	dx		dx	.
	dt	, ux	dt

u

относительно системы от-

Выразим ux через координату и время в системе отсчёта K′:

ux		dx vdt				dx
		dt				dt		v ux v .
Аналогично получим
u	y	dy , u		dy u					y	u	;
		dt	y		dt					y
			u u				.
				z		z

114

5. Инвариантность ускорения

По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′

		du		,
a		dt
в системе отсчёта K
a		du
		dt

(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

				d u v			du	a ;
u	u v , a			dt			dt
		a a inv			.

6. Инвариантность массы и силы

Постулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:

					F F inv
	m m inv			,		.
II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:
	F			F ma .
			ma

1.12. Специальная теория относительности

1.12.1. 4-пространство

Время относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.

4-радиус-вектор:

	ict
		x
r				,
		y
		z

здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль 4-радиуса-вектора

r x2 y2 z2 c2t2 inv

(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).

Мировая точка – точка в 4-пространстве. Мировая линия – кривая в 4-пространстве.

ПРИМЕР

Материальная точка покоится в 4-пространстве. Мировая линия – траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) – изображена на РИС. 14.4.

115

x

0

ict

Рис. 14.4

1.12.2. Преобразования Лоренца

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени38 (см. 1.1.2).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется

относительно системы K со скоростью v (РИС. 14.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.

Искомые преобразования должны иметь вид

x f x

t g x,

где f и g – функции, которые нужно найти.

При сдвиге координаты в системе отсчёта щие сдвиги в системе K′

,t,v , t ,v ,

K на x и времени на t соответствую-

	x		f x x,t t,v f x,t ,v ,
	t g x x,t t,v g x,t ,v .

Это возможно только тогда, когда f и g – линейные функции x и t:

x a x a vt ,
	1	2
	a
		x a t.
t	3
	v	4

Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны. Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 14.2.

38 Упрощённый вывод (для двумерного пространства-времени x, t) приведён в ПРИЛОЖЕНИИ. Делать его на лекции не рекомендуется из-за громоздкости элементарных алгебраических преобразований.

K′ → K

x	x vt
			2
	1	v
		c	2

yy

zz

	t	v		x
		c	2
	t
				2
	1		v
			c	2

116

Таблица 14.2

Преобразования Лоренца

K → K′

x		x vt
								2
		1				v
						c		2
	y y
	z z
		t	v				x
t			c	2
							2
		1			v
					c		2

Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость. Из опыта известно, что c – скорость света в вакууме.

При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках (например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна

1.ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

2.Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.

117

Лекция 15

1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца

1. Инвариантность интервала

Интервал между событиями 1 и 2

	2		2					2					2			2			2
S		c		t		t			x		x			y	y		z	z		.
	12				2		1			2		1
														2	1		2	1

Интервал – инвариант преобразований Лоренца:

S12 inv .

Доказательство

Докажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 образований Лоренца:

	2	2	2	dx	2	dy	2	dz	2	2	2	2	dx	2	dy		2
	dS12	c dt								, dS12	c dt
	через время и координаты в системе отсчёта K:
Выразим dS12

– инвариант пре-

dz	2	.

	dt	v		dx
		c	2
	dt
					2
			v
	1
			c	2

, dx

	dx vdt
			2
		v
	1
		c	2

,

dy dy

,

dz dz

;

		2 2				v2					2							2		2	2
			c dt						dx			2vdxdt dx							v dt			2vdxdt				dy2 dz2
	dS 2					c2
12													1	v2
														c2
					2
	c2 v2 dt2						v			1		dx2
							2
					c										2				2	2 2				2			2		2	2
													dy			dz				c dt			dx		dy			dz		dS12	,
					v	2
			1
					c2

ч. т. д.

2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)

y	t	y′	t′

l0

1 2

	K′
	O′		x′
	K
O	x1	x2	x
	Рис. 15.1

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′; для простоты расположим его вдоль оси x′ (РИС. 15.1). Длина отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится, – соб-

ственная длина отрезка l0 l .

Выразим длину отрезка в системах отсчёта K′ и K через координаты его концов:

l x x ,

0 2 1

l x2 x1.

Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:

118

l		x	2	vt				x	1	vt				x	2	x		1			l
0					v	2					v	2					v		2			v	2
		1						1						1							1
					c	2					c	2					c	2				c	2

,

время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, что

		v	2
l l	1
			2
0		c

,

l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.

3. Замедление хода движущихся часов

y

y′

Имеются часы с пружинным (или дру-

t

t′

гим) маятником, покоящиеся относи-

тельно системы отсчёта K′ (РИС. 15.2).

Период колебаний маятника в системе

отсчёта,

относительно которой

точка

подвеса маятника покоится ( x1 x2 ), –

K′

период собственных колебаний

T0 T

,

O′

x′

K

T t

t

[события 1 и 2 – два последо-

2

1

O

x

вательных прохождения маятником

положения равновесия (или любой

Рис. 15.2

другой фазы колебаний]. В системе от-

счёта K события 1 и 2 происходят в

точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятника

T t2 t1 .

Выразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:

t

v

x

t

v

x

t

t

T

2

c

2

2

1

c

2

1

2

1

,

2

2

2

v

v

v

1

1

1

c

2

c

2

c

2

					T	T
						0
							v	2
						1
							c	2
T > T0 – ход движущихся часов замедляется.
4. Относительность одновременности
Если события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (t										t ),
								2		1
но в разных местах ( x				x ), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системе
			2	1
отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.
При t	t	и x	x возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеется
2	1	2	1

причинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.

119

5. Релятивистский закон сложения скоростей

y	t	y′	t′

Пусть материальная точка M движется

со скоростью u относительно системы отсчёта K′ (РИС. 15.3). Найдём её скорость в системе отсчёта K.

По определению, проекции скорости в системе отсчёта K′

	K′
O′	x′
K
O	x

Рис. 15.3

наты и скорости в системе отсчёта K′:

	dx		dy		dz	;
ux	dt	, uy	dt	, uz	dt

в системе отсчёта K

	ux	dx	, uy	dy	, uz	dz	.
		dt		dt		dt

Выразим эти проекции через коорди-

ux

Итак,

dx vdt

dt

v

dx

c

2

dx

, dy dy ,

dz dz ,

dt

;

v

2

v

2

1

1

c

2

c

2

v

2

v

2

v

2

dy

1

u

1

u

1

dx vdt

u

v

c

2

y

c

2

z

c

2

x

, uy

, uz

dt

v

dx

1

v

u

dt

v

dx

1

v

u

1

v

u

2

2

2

2

2

c

c

x

c

c

x

c

x

u

1

v2

u

1 v2

u

v

y

c

2

, u

z

c

2

u

x

, u

.

y

x

v u

v

u

z

v u

1

1

1

c2

x

c2

x

c2

x

.

Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом – исходя из определения и преобразований Лоренца:

adux

xdt

	du
	x
, ax	dt

…

1.13. Релятивистская динамика

1.13.1. Релятивистский импульс

Рассмотрим замкнутую механическую систему – два груза одинаковой массы m0, соединённых пружиной (РИС. 15.4). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она

разжимается и грузы движутся со скоростями

u 1

и u 2

.

Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.