Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

130

				2	x					dx
	m		d			kx r					,
			dt		2					dt
	2	x			r dx			k
	d								x 0.
	dt	2			m dt			m
	Обозначим ω0			k		и
				m

k

m

x

O

									Рис. 16.5
	r	2β	,
	m
β – коэффициент затухания;
				2	x		dx
				d		2β		2
					2			ω x 0	(16.7)
				dt			dt	0

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.

1. Сильное затухание (β ≥ ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

				0					0
		β	2	2	t			2	2	t
x t A e			β	ω		A e		β β	ω
1						2

– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальных условий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.

x

x0

0

t

Рис. 16.6

2. Слабое затухание (β < ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

41 Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическое уравнение.

			131
	x t A e		βt	cos ωt φ			,
	0
где
		ω	ω β
				2	2
				0

– циклическая частота затухающих колебаний.

(16.8)

Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальных условий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

Амплитуда затухающих колебаний

A t A e	βt
0

;

период затухающих колебаний

T	2π			2π			.
	ω			ω02 β2

С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся во II семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).

График решения (16.8) при φ = 0 показан на РИС. 16.7.

x

0

T

t

Рис. 16.7

Демонстрация: Маятник с песком

132

Лекция 17

1.14.4. Вынужденные колебания

Пружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, при наличии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силой

F F0 cosΩt ,

Ω – циклическая частота вынуждающей силы. Сила

(РИС. 17.1).

F

направлена горизонтально

m k

O	x

Рис. 17.1

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр

F

.

В проекции на ось x

		2	x
	m	d
		dt	2

	kx r	dx
		dt

F0 cosΩt

,

так как Fупр x = –kx,

Обозначим	k	2
	m	ω0

Fсопр x = –rvx. Получим

	2	x		r	dx
	d
	dt	2		m dt

	,	r	2β и
		m

F0 m

k m

x

f0

;

	F	cosΩt
	0
	m

.

2	x		dx
d		2β		2		cosΩt
	2			ω x f	0		(17.1)
dt			dt	0

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1) (ищем решение при слабом затухании – β < ω0)

x t x1

общее решение ОДУ

x1 t A1e

t x2 t ;

частное решение НДУ

βt cos ωt φ ;

133

x	2	t

A2 cos Ωt

φ
0

.

(17.2)

Здесь

ω

ω β
2	2
0

; A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подста-

новкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).

Общее решение x1(t) быстро затухает. В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.

Производные функции x2(t)

dx2	A Ωsin Ωt φ		,	d2x	A Ω2 cos Ωt φ		.
dt	2	0		dt2	2	0

Подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):

2		2βΩA sin Ωt φ		2
Ω A cos Ωt φ				ω A cos Ωt φ
2	0	2	0	0	2	0

f	0	cosΩt

.

(17.3)

Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):

f0 cosΩt f0 cos Ωt φ0	φ0 f0	cos Ωt φ0 cosφ0	sin Ωt φ0	sinφ0	.

Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а за-

тем sin (Ωt + φ0):

	2		2		f	cosφ	,
Ω		A ω A
		2	0	2	0	0
	2βΩA f			sinφ .
		2	0		0

(17.4)

Разделив нижнее равенство на верхнее, получим

	tgφ	2βΩ
		2	2
	0
		ω	Ω
		0

.

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.

Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы

(17.4):

A	f	cosφ			f			1			f					1							f				,
	0		0			0						0													0
2		2	2		2		2				2		2	1							0
	ω Ω				ω Ω			2			ω		Ω			2	2						2			2	2
									φ												2				2
		0			0			1 tg			0					4β Ω					ω	Ω				4β Ω
									0							0
																ω	Ω	2
																2	2

A				f		0			.	(17.5)
2		0
		2	Ω	2		2	2	Ω	2
		ω					4β

Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определения

				A		0		f0		,	A	0.
					2			ω2			2
								0
Функция (17.5) должна иметь максимум. Условие экстремума
					1							2
							2		ω2		Ω2 2 Ω 8β2Ω2
dA									0
	0					2								0
2		f	0												,
dΩ							ω2		Ω2 2 4β2Ω2 3 2
								0

134

2β	Ω Ω ω0	Ω	0	Ω 2β		ω0	Ω	0	;
2	2	2			2	2	2

при Ω = 0 функция A2(Ω) имеет минимум, а при

Ω			ω 2β
			2	2
	рез		0

(17.6)

– резонансной циклической частоте – максимум. Имеет место резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.

Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентах затухания изображены на РИС. 17.2.

A2

β = 0

β1

β2 < β1

0

Ωрез ω ω0

Ω

Рис. 17.2

Из формулы (17.6) и РИС. 17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.

1.15. Механические волны

1.15.1. Уравнение бегущей волны

Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменение какой либо физической величины с течением времени.

ξ

t1

t2

	 A	 B
0	x1	x2	x
		Рис. 17.3

135

Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со ско-

ростью v – скоростью волны; ξ = ξ(x, t). Из точки A в точку B волна придёт через время t2 – t1 (РИС. 17.3):

,t1

x

x

ξ x1

,t1

.

(17.7)

ξ x2 ,t2 ξ x1 ,t1 ξ x2

2

1

v

Положим x1 = 0. Тогда в уравнении (17.7) x2 → x, t2 → t, t1

t

x

:

v

ξ 0,t f t

, ξ x,t ξ

x

f

x

0,t

t

v

;

v

ξ x,t f

t

x

(17.8)

v

– уравнение бегущей волны; t

x

– фаза волны.

v

1.15.2. Волновой фронт

Волновой фронт (волновая поверхность) – геометрическое место точек, в ко-

торых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе.

Часто встречающиеся примеры – плоский и сферический волновой фронт - показаны на РИС. 17.4.

Плоская волна

Сферическая волна

волновая поверхность – плоскость

волновая поверхность – сфера

Рис. 17.4

	136
	Волны
продольные	поперечные
колебания в направлении	колебания в направлении
распространения волны	перпендикулярном направлению
	распространения волны
ПРИМЕРЫ
Звуковая волна	Электромагнитная волна
	Волны на шнуре
	Волны на поверхности жидкости

Демонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости

2)Волны на поверхности жидкости

3)Волновая машина со связями

1.15.3.Гармоническая волна

Гармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна – процесс рас-

пространения гармонических колебаний в пространстве. Уравнение гармонических колебаний

f t Acos ωt φ0 .

Уравнение бегущей волны

ξ x,t f

t

x

Acos

ωt ωx φ

Acos

v

0

v

ξ x,t Acos

ω

t

x

φ

0

v

– уравнение плоской бегущей гармонической волны.

Характеристики гармонической волны

		x
ω t				φ0	,
		v

Скорость v Начальная фаза φ0

Циклическая частота ω

	Период T	2π
		ω

Частота ν 2ωπ T1

Амплитуда A – максимальное значение колеблющейся величины

(17.9)

Длина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного полного колебания:

137

λvT 2πv v

ων

.

Волновое число

k	2π		ω		2πν	–1
	λ		v		v	, [k] = м .

Запишем уравнение (17.9) через волновое число:

ξ x,t Acos ωt kx φ
0

.

«Мгновенная фотография» гармонической волны

ξ
A	ξ(x, t)	ξ(x, t + t)

0

x

–A

λ

Рис. 17.5

Демонстрация: Волновая машина

В общем случае (при произвольной форме волнового фронта) уравнение бегущей гармонической волны

k

– волновой вектор;

k

v

ξ x,t Acos		0
		ωt kr φ

.

,

1.15.4. Волновое уравнение

Продифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.8) по x, затем по t:

ξx

1 v

ξt

f

f

,

,

2ξ 1 f ;

x2 v2

2ξ f ;t2

сравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

	2ξ	1 2ξ		(17.10)
	x2	v2 t2

– волновое уравнение.

Общее решение волнового уравнения

138

	x		x
ξ x,t f1 t		f2 t
	v		v
прямая волна		обратная волна

Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

139

II семестр

Лекция 18

3. Электродинамика

3.1. Электромагнитное поле

3.1.1. Поле

Поле – любая изменяющаяся в пространстве физическая величина.

	Поле
скалярное	векторное
температурное поле T(x, y, z)	гравитационное поле
изображается изолиниями	изображается силовыми линиями

Силовые линии изображают так, чтобы их густота была пропорциональна модулю векторного поля.

3.1.2. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда

Электрический заряд – квантовое число, характеризующее частицу как источник электромагнитного взаимодействия (см. 0.3 и 7.4.2).

В классической физике электрический заряд – скалярная алгебраическая величина – характеристика электрически заряженного тела, т. е. тела, на которое действует электромагнитное поле (см. 3.1.3);

[q] = Кл.

Также электрическим зарядом часто называют саму заряженную частицу (тело).

Элементарный заряд – минимальный (по модулю) электрический заряд частиц, наблюдаемых в свободном состоянии42;

e = 1,60·10–19 Кл.

Электрически изолированная система – система тел, для которой сумма элек-

трических зарядов частиц, появившихся в этой системе, равна нулю.

Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический заряд любой электрически изолированной системы не изменяется в любых процессах, происходящих в этой системе:

qi

const

.

Линейная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на еди-

ничный участок протяжённого заряженного тела:

42 Кварки, электрический заряд которых по модулю равен	1e	и	2e	(см. 7.5.1), в свободном со-
	3		3

стоянии не наблюдаются.