4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)
а) Для элементарной струйки
Рис.4.7
В
элементарной струйке переменного
сечения (рис.4.7) выберем два произвольных
сечения 1-1 и 2-2 с живыми сечениями
и
.
Так как жидкость является сплошной
средой (без пустот и переуплотнений) и
приток и отток жидкости вдоль струйки
отсутствуют, то для несжимаемой жидкости
можно предположить, что объемные расходы
через сечения 1-1 и 2-2 должны быть равны
между собой:
dQ1 = dQ2 = сonst или (4.1)
U1d1 = U2d2 = сonst. (4.2)
уравнения (4.1), (4.2) называют уравнениями неразрывности, или сплошности.
Из уравнения (4.2) можно получить:
.
б) Для потока
Аналогичное уравнение можно составить и для потока, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей ввести средние скорости:
Q1
= Q2
= const; V1·ω1
= V2·ω2
= const;
.
4.3. Уравнение д.Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. График уравнения д.Бернулли
Это уравнение является основным в гидродинамике. Оно устанавливает связь между давлением, скоростью и положением жидкости в пространстве и может быть получено аналитически только для случая движения идеальной жидкости, т.е. жидкости, лишенной всех свойств реальной жидкости (абсолютно несжимаема и нерасширяема, а главное, абсолютно подвижна, т.е. лишена вязкости). Такой жидкости в природе не существует. Близок к ней жидкий гелий при температуре 2оК.
Представим себе элементарную струйку переменного сечения (рис.4.8).
Рис.4.8
Двумя
сечениями 1-1 и 2-2 с живыми сечениями d
1
и d
2
выделим отсек жидкости 1-1-2-2. допустим,
что за бесконечно малое время dt
этот отсек сдвинулся и занял новое
положение 1'-1'-2'-2'. Живые сечения при этом
переместились соответственно на
расстояния ds1
и
ds2.
Из рисунка 4.8 видно, что никакого изменения в пространстве не получил отсек жидкости 1'-1'-2-2, при движении он не совершил никакой работы, т.е. отсек жидкости 1-1-1'-1' с высоты Z1 как бы переместился до высоты Z2 и занял положение 2-2-2'-2' (на рисунке они заштрихованы).
На основании уравнения неразрывности делаем вывод, что массы жидкости в этих отсеках равны между собой, а скорость в сечении 2-2 по сравнению с сечением 1-1 возросла, т.е. произошло изменение кинетической энергии.
Для вывода этого уравнения используем известную из механики теорему об изменении кинетической энергии. Напомним, что эта теорема читается так:
изменение
кинетической энергии
рассматриваемого тела на некотором его
перемещении равно сумме работ от внешних
сил, приложенных к данному телу на том
же перемещении.
Какие же силы действуют в нашем случае?
Это силы тяжести и силы давления. Согласно упомянутой выше теореме можно записать:
dT=AG+Ap, (4.3)
где dT – изменение кинетической энергии; AG - работа от сил тяжести; Ap - работа от сил давления.
Изменение кинетической энергии
dT=
.
Работа от сил тяжести
.
Работа от сил давления
.
Сделаем подстановку составляющих в выражение (4.3):
.
Разделим
каждое слагаемое на
и сгруппируем:
.
(4.4)
Выражение (4.4) является расчетной формой уравнения Бернулли, т.е. в такой форме оно составляется при решении различных задач.
.
(4.5)
Выражение (4.5) является общей формой уравнения Бернулли.
Каждый из членов этого уравнения имеет линейную размерность и называется «напор», т.е. это удельная энергия, а удельная энергия – это энергия единицы веса жидкости, т.е. одного ньютона.
В формуле (4.5):
z– геометрический напор, или удельная потенциальная энергия положения;
-
пьезометрический напор, или удельная
потенциальная энергия давления;
-
скоростной напор, или удельная кинетическая
энергия.
Сумма перечисленных напоров составляет гидродинамический напор:
Нг.д
=
z+
+
.
Физический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что оно является уравнением закона сохранения энергии для движущейся жидкости.
Для лучшего понимания смысла полученного уравнения (4.4) представим его графически (рис.4.9).
Рис.4.9