3.3. Основное уравнение гидростатики. Эпюры гидростатического давления

Это уравнение есть уравнение равновесия жидкости, находящейся под действием только сил тяжести.

В уравнении Эйлера (3.11) проекции ускорений для земных условий равны:

Х, У = 0; Z = -g.

Тогда уравнение (3.11) можно представить в виде

(3.12)

Уравнение (3.12) является дифференциальным уравнением равновесия жидкости, находящейся под действием сил тяжести. Преобразуем его. поскольку, то , т.е. в любом случае всегда остается величиной постоянной, но запишем ее по-иному:

= idem; (3.13)

idem – здесь и в дальнейшем употребляется только в смысле «одно и то же», т.е. имеющее одно и то же значение в рассматриваемой области (в объеме или на линии) лишь в данный момент времени, в отличие от const, означающей постоянство величины во времени. В выражении (3.13) Z – геометрический напор; - пьезометрический напор;- гидростатический напор.

Проиллюстрируем величину рисунком 3.10.

Рис.3.10

Для точек 1 и 2 в сосуде

; (3.14)

так как Z₁ – Z₂=h, то

(3.15)

Уравнения (3.13), (3.14) или (3.15) называются основным уравнением гидростатики.

Вывод: потенциальная энергия в любой точке покоящейся жидкости является величиной постоянной.

Эпюры гидростатического давления есть графическое выражение закона изменения давления по глубине жидкости.

Рассмотрим несколько типовых случаев.

1. Сосуд с вертикальными плоскими стенками заполнен жидкостью на глубину h и открыт сверху, т.е. на поверхности действует атмосферное давление р_ат (рис.3.11).

Рис.3.11 Рис.3.12

Согласно уравнению гидростатики атмосферное давление передается равномерно по всей глубине h, а давление от столба жидкости - по линейному закону: p = γh. Так как сосуд окружает среда с атмосферным давлением, то действие атмосферного давления через жидкость на стенки компенсируется давлением извне, т.е. силовое воздействие на стенки сосуда окажет только давление столба жидкости.

Гидростатическое давление направлено по нормали к стенкам сосуда согласно его свойству.

2. Сосуд с вертикальными плоскими стенками заполнен жидкостью, на поверхности которой создано избыточное давление р_о (рис.3.12). В этом случае силовое воздействие на стенки оказывает как избыточное давление на поверхности, так и давление от столба жидкости.

3. Сосуд с наклонной плоской поверхностью, открытый сверху (рис.3.13).

Рис.3.13 рис.3.14

Построение эпюры аналогично предыдущим случаям.

4. Сосуд, стенка (стенки) которого имеет криволинейную поверхность, например АВ (рис.3.14).

Для построения эпюры гидростатического давления, действующего на поверхность АВ, необходимо через определенный интервал по глубине h провести касательные плоскости к кривизне поверхности и к ним по нормали линии действия давления. Закон изменения давления в этом случае повторит форму криволинейной поверхности.

3.4. Сила гидростатического давления на плоские поверхности

Давление, созданное в жидкости, действуя на поверхности различных устройств и их элементов, создает силу. Плоскими поверхностями могут быть стенки различных резервуаров, тела плотин, клапаны, щиты и затворы.

Определим величину силы, действующей на плоскую поверхность, и точку ее приложения.

Рис.3.15

Представим (рис.3.15) сосуд, наполненный жидкостью и имеющий плоскую стенку ОМ под углом α к горизонту. В плоскости этой стенки наметим оси координат ОУ и ОХ. Ось ОХ направим перпендикулярно к плоскости чертежа.

На стенке сосуда наметим некоторую плоскую фигуру АВ любого очертания, имеющую площадь . Из точки О проведем ось ОХ, нормальную к направлению АВ, т.е. ось ОХ совместим с плоскостью чертежа. Будем мысленно вращать фигуру АВ вокруг оси ОУ так, чтобы эта фигура совместилась с плоскостью чертежа.

Выделим на площади фигуры бесконечно малую поверхность в виде полоски d, погруженную на глубину h. При этом расстояние полоски от оси ОХ равно y. гидростатическое давление в области бесконечно малой плоскости согласно основному уравнению гидростатики будет

.

Тогда сила давления на элементарную площадку

. (3.16)

Интегрируя выражение (3.16) в пределах площади ω и заменив h = у·sinα, получим

. (3.17)

Интеграл представляет собой статический момент площади фигуры АВ относительно оси ОХ. Из механики известно, что

= y_с,(3.18)

где у_с – расстояние центра тяжести площади фигуры АВ относительно оси ОХ.

Подставив (3.18) в (3.17) и заменив y_csinα = h_c, получим силу, действующую на площадь ω:

(3.19)

Это означает, что сила давления P жидкости на плоскую фигуру, погруженную в жидкость, равна произведению этой площади ω на гидростатическое давление в ее центре тяжести (p_o+γh_c).

Из формулы (3.19) следует, что сила Р состоит из двух сил: силы р_оω и силы γh_сω. Сила p_оω создает равномерную нагрузку и приложена в центре тяжести фигуры площадью ω. Сила γh_сω создает неравномерную нагрузку и поэтому точка ее приложения не совпадает с центром тяжести фигуры. Эта точка называется центром гидростатического давления; обозначается она буквой d. Для нахождения точки приложения силы γh_сω применим теорему механики о моменте равнодействующей силы: момент равнодействующей силы относительно оси ОХ равен сумме моментов от элементарных сил:

. (3.20)

Интеграл представляет собой момент инерцииI_x площади ω относительно оси ОХ. Из механики известно, что

, (3.21)

где I_c - момент инерции площади относительно оси ОХ, проходящей через центр тяжести.

Подставим выражение (3.21) в (3.20):

. (3.22)

Из выражения (3.22) следует, что центр гидростатического давления y_d находится ниже центра тяжести на величину эксцентриситета .