Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
A i= x i , i=1, 2,
Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
pi = (Ai=( xi ), i=1, 2, .
События Ai
- несовместные события, которые
составляют разбиение пространства
элементарных событий Ω, т.е. Ω =
Ai
.
Тогда для вероятностей piвыполняются свойства
p
i
,
i=1, 2,
=1
. (2.2)
Закон распределения дискретной случайной величины задаетсярядом распределения.
Ряд распределения дискретной случайной величиныможет быть представлен таблицей, в первой строке которой помещают возможные значенияxi, а во второй - вероятностиpi, соответствующие этим значениям.
-
x1
x2
…xn ...
Pi
p1
p2
…pn…
Кроме ряда распределения, дискретная случайная величина может быть задана с помощью функции распределения.
Определение. Функция распределения F(x) случайной величины это такая функция переменнойx,которая равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем заданное x,
F (x)=P( x) (2.3)
для всех действительных чисел x.
Для дискретной случайной величины функция распределения определяется как сумма вероятностей для тех значений случайной величины, которые меньше заданного x. Обозначим черезВ(x) множество возможных значений случайной величины, предшествующих числуx:
B(x) = {xi: xi x}. (2.4)
Тогда формулу (2.3) можно записать в виде
F
(x)=
.
(2.5)
Приведем несколько примеров функций распределения дискретных случайных величин.
Пример 2.3. Правильный кубик подбрасывают один раз, и величина обозначает число очков, выпавшее на его верхней грани. Построим функцию распределения этой случайной величины.
Решение.
Обозначим
через X
возможные значения случайной величины
.
В данном примере X={1,2,3,4,5,6},
и вероятность появления грани с любым
количеством очков равна рi
=
.
Напишем ряд распределения этой дискретной случайной величины
-
х
1
2
3
4
5
6
р
Построим функцию распределения по формуле (2.5). Для этого на числовой оси отметим точки из множества X. Они разбивают числовую ось Ox на интервалы (-∞,1), [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,+ ∞) .
Последовательно
будем вычислять
функцию
распределения на каждом из указанных
выше интервалов. При любом
множествоB(x)={xi
: xi
x}
не содержит возможных значений случайной
величины,
т.е. является
пустым множеством. Тогда по формуле
(2.5)
F(x)=
0.
При любом
множество будет состоять из одного
значения - 1:
В(x)={xi : xi x}={1}. Тогда по формуле (2.5)
F(x)=
p1
=
.
При
любом
множествоB(x)={xi
:
xi
x}={1,2}.
Тогда по формуле
F(x)=
p1+
p2=
.
При любом
множествоB(x)={xi
:
xi
x}={1,2,3}.
Тогда
F(x)=
p1+
p2+
p3=
.
При любом
множествоB(x)={xi
:
xi
x}={1,2,3,4}.
Тогда
F(x)=
p1+
p2+
p3+
p4=
.
При любом
множествоB(x)={xi
:
xi
x}={1,2,3,4,5}
.Тогда
F(x)=
p1+
p2+
p3+
p4+
p5=
.
При любом
множествоB(x)={xi
:
xi
x}={1,2,3,4,5,6}
=X.
Тогда
F(x)=
p1+
p2+
p3+
p4+
p5+
p6=1.
Заметим, что при переходе от одного интервала к другому множество B(x) расширяется на одно значение и от пустого множества переходит к множеству всех возможных значений X={1,2,3,4,5,6}.
Все вычисления можно объединить в формулу
. (2.6)
Пример 2.4. Построим функцию распределения для появления числа гербов при трех подбрасываниях монеты (пример 2.1).
Решение. Ряд распределения был найден впримере 2.1.
-
ξ
0
1
2
3
Обозначим через Xмножество всех возможных значений этой случайной величиныX = { 0, 1, 2, 3 }. Заметим, что множествоB(x) при любомx является подмножествомX. Числа из множества X разбивают числовую ось на интервалы (-,0), [0,1), [1,2), [2,3), [3,+).
Пусть xлюбое число из интервала (-,0). Тогда множествоB(x) не содержит значений случайной величины, т.е. B(x) = Ø , следовательно,F(x)=0 при всехxиз (-,0).
Возьмем любое x.МножествоB(x) содержит значение 0:
B(x) ={0} иF(x)= p0
=
.
Возьмем x12.
МножествоB(x) ={0,1}, иF(x)
=p0+ p1=
.
Для всех x23множествоB(x) ={0,1,2}, иF(x)=p0+
p1+p2=
.
Для всех x3множествоB(x)={0,1,2,3}=X . Отсюда следует
F(x)=p0+ p1+p2+p3=
.
Запишем полученные значения функции распределения на отдельных интервалах в виде формулы
.
Построим график функции распределения F(x) дискретной случайной
величины
F
(x)
1
0 1 2 3 x