- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
2.2.4. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение служит вероятностной моделью для многих явлений. Рассмотрим последовательность n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых может произойти один из двух исходов. Обозначим через p вероятность «успеха» в отдельном испытании и - q вероятность «неудачи». Для каждого отдельного испытания i введем случайную величину , которая может принимать два значения: 1, если испытание закончилось «успехом» и 0, если – «неудачей». Случайная величина η - число «успехов» при n независимых испытаниях в схеме Бернулли будет равна сумме независимых случайных величин , т.е.. (2.37)
Отсюда следует, что случайная величина η может принимать возможные значения m=0,2,…,n. Вероятность того, что случайная величина η после завершения всех испытаний примет значение m можно найти по формуле Бернулли
P (η =m) = , m=0, 1, … ,n. (2.38)
Определение. Случайная величина η имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения, m=0, 1,…, n с вероятностями по формулам (2.38).
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей биномиальное распределение. Из формулы (2.20) и свойств математического ожидания и дисперсии для суммы несовместных случайных
величин следует, что
,
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут соответственно равны
M(i)=1p+0q=p,
D(i)=12 p+02 q – p2=pq.
Для случайной величины η, имеющей биномиальное распределение с параметрами n и p, математическое ожидание и дисперсия имеют вид:
M(η)=np, D(η)=npq.
Пример 2.9. В коробке находятся 3 однотипных изделия, при этом каждое может быть или бракованным, или стандартным. Рассмотрим случайную величину, которая определяет число бракованных изделий в коробке. «Успехом» отдельного испытания будем считать наличие в коробке некоторого числа бракованных изделий. Тогда случайная величина может принять значения x1=0, x2=1, x3=2, x4=3 (варианты количества бракованных изделий) и имеет биномиальное распределение. Требуется найти вероятности событий, которые будут соответствовать значениям случайной величины. Последовательно при i=0, 1, 2, 3 из формулы (2.38) получим вероятности для возможных значений этой случайной величины:
p1=P(=0)= ; p2 =P(=1)= ;
p3 =P(=2) = ; p4 =P(=3) = .
Теперь можно записать таблицу для ряда распределения:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
pi |
q3 |
3pq2 |
3p2q |
p3 |
Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (2.21) и (2.23) соответственно
M()=3p, D()=3 p q .
2.2.5. Распределение Пуассона
Определение. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром распределения >0, если она принимает значения m= 0,1, 2,…
с вероятностями
pm= P ( =m ) = , m= 0,1,2,… (2.39)
Пример 2.10. Рассмотрим случайную величину , равную числу покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t0 до T. Появление покупателей - случайные события и происходят в случайные моменты времени.
Сделаем следующие предположения.
1. Вероятность появления одного покупателя за малый промежуток времени пропорциональна, т. е. равна
а > 0,
где - бесконечно малая величина при.
2. Если за малый промежуток времени уже произошло одно событие, то условная вероятность появления в этом же промежутке другого события стремится к 0 при
3. События на непересекающихся промежутках времени являются независимыми случайными величинами.
В этих условиях можно доказать, что число покупателей, посетивших супермаркет в промежутке времени от t0 до T распределено по закону Пуассона с параметром
Вопросы для самопроверки
Как вычислить математическое ожидание и дисперсию:
а) для дискретной случайной величины?
б) для непрерывной случайной величины?
Как найти плотность вероятности для случайной величины, имеющей равномерное распределение?
Что такое нормально распределенная случайная величина?
Какие другие законы распределения известны?