Интервальная оценка дисперсии нормального распределения

Построим доверительный интервал для дисперсии D=σ²наблюдаемой случайной величины~по случайной выборкепри неизвестном математическом ожидании.

Введем случайную величину (статистику) , (3.36)

которая согласно утверждению 2 теоремы Фишера имеет распределение сстепенями свободы. Поскольку плотность распределения этого закона асимметрична, доверительный интервал, соответствующий надежности β, найдем из формулы (3.31) в виде:

. (3.37)

Обычно доверительный интервал для случайной величинывыбирают так, чтобы вероятность ее попадания за пределы этого интервала влево и вправо была одинаковой ( рис. 3.9):

.

Тогда условия для определения значений и будут иметь вид:

, . (3.38)

По таблице квантилей - распределения ( табл. С приложения) найдем

, . (3.39)

Рис. 3.9

Неравенства эквивалентны неравенствам , поэтому

.

Следовательно, интервал

(3.40)

является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности β.

Пример 3.3. По данным выборочного контроля найти выборочное математическое ожидание и несмещенную оценку дисперсии нормальной случайной величиныξ.Найти доверительные интервалы для них, соответствующие доверительной вероятностиβ = 0,98.

Таблица 3.4

	42	43	45	46	48	51	52	54
	1	2	3	6	4	3	1	1

Решение. Выборочное математическое ожидание найдем по формуле (3.14), используя табл.3.4

При .

Несмещенную выборочную дисперсию вычислим по формуле (3.19):

,.

Доверительный интервал для математического ожидания определим по формуле (3.35). При из таблицы А приложения находим квантиль распределения Стьюдента. Вычислив предельную ошибку,

получим искомый доверительный интервал для математического ожидания:

.

Границы доверительного интервала для дисперсии определим по формуле (3.20). По таблице квантилей распределения χ²(см. табл. С приложения) приопределим квантили:

, .

Подставив эти значения, а также и в формулу (3.20), получим искомый доверительный интервал для дисперсии

.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется выборкой?

2.Как произвести оценку выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии?

3.Как найти функцию распределения для дискретной случайной величины?

4.Что такое несмещенная оценка параметра?

5.Дайте определение состоятельной оценки.

6.Что такое интервальная оценка?

Заключение

В результате изучения выше приведенного материала студент может приступить к выполнению контрольной работы и проверить свои ответы на вопросы самоконтроля. Затем после выполнения лабораторных работ может приступить к ответам на вопросы экзаменационного теста и получить оценку за проделанную работу.