Погрешности косвенных измерений

В физических экспериментах чаще всего искомая величина непосредственно измерена быть не может, а является функцией других непосредственно измеряемых величин. Например, чтобы определить объем цилиндра, надо измерить его диаметр Dи высотуh, а затем вычислить объем по формуле

.

Величины Dиhизмеряются с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величинаVтакже содержит ошибку. Погрешность вычисленной величины выражается через погрешности измеренных величин.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) или среднюю квадратичес­куюошибку. Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина является функцией несколькихпеременных(Х, Y, Z).Путем прямых измерений мы можем найти , а также оценить их средние абсолютные ошибки или средние квадратические ошибки . Тогда средняя арифметическая погрешность

где – частные производные функциипо Х, Y, Z, вычисляемые для средних значений .

Средняя квадратическая погрешность

.

Для примера выведем формулы погрешности для вычисления объема цилиндра. Средняя арифметическая погрешность величины объема

,

где Dиh– ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра.

Средняя квадратическая погрешность величины объема

,

где _Dи_h– ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра.

Если формула погрешности представляет собой выражение, удобное для логарифмирования (произведение, дробь, степень), то вначале целесообразно вычислить относительную погрешность. Например, чтобы рассчитать среднюю арифметическую погрешность физической величины надо проделать следующие действия:

1) прологарифмировать выражение;

2) продифференцировать его;

3) объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки;

4) взять выражение перед разными дифференциалами по модулю;

5) заменить знаки дифференциалов dна знаки абсолютной погрешности. В итоге получится формула для относительной погрешности

 = /;

6) вычислить абсолютную погрешность =.

Проиллюстрируем последовательность действий на примере выражения для объема цилиндра:

;

;

;

.

Аналогично можно рассчитать относительную среднюю квадратическую погрешность:

.

Правила представления результатов измерения

1. Результаты измерений и вычислений фиксируются в форме предлагаемых таблиц. Единица величины указывается рядом с символом величины в головке таблицы. Например,dмкм.

2. Погрешность округляется до одной значащей цифры. Например, правильно = 0,04, неправильно= 0,0382.

3. Последняя значащая цифра результата должна иметь тот же порядок величины, что и погрешность: правильно = 9,830,03, неправильно= 9,8260,03;

4. Если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать нормализованную форму записи числа:х=a[10ⁿ], гдеа= 19. Правильно= (5,270,03)10^-5, неправильно= 0,00005270,0000003,= 5,2710^-5 0,0000003,= 0,0000527310^-7,= (5273)10^-7,= (0,5270,003)10^-4.

5. Если результат имеет размерность, ее необходимо указывать: правильно g= (9,820,02) м/c², неправильноg= (9,820,02).